人教A版高二数学秋季培优班 第6讲 直线的方程（总部定稿版）（学生版）

第6讲直线的方程目录题型01点斜式与斜截式题型02两点式与截距式题型03直线的一般式与参数题型04直线方程综合与定点题型05直线与坐标轴围成三角形强化训练（共10题）知识小测（共5题）知识解读知识点01直线的点斜式方程方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．知识点02直线的斜截式方程如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．知识点03直线的两点式方程经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．知识点04直线的截距式方程若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．知识点05直线方程几种表达方式的选取在待定系数法中，采用斜截式通常设k、b两个待定参数；采用点斜式时，若所过点已知，则只需根据其他条件确定斜率k。在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式。一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式。从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏。知识点06直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．知识点07直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，是斜率不垂直于轴斜截式是斜率，是直线在y轴上的截距不垂直于轴两点式，是直线上两定点不垂直于轴和轴截距式是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距不垂直于轴和轴，且不过原点一般式、、为系数任何位置的直线知识点08直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线，，；于是与直线y=kx+b平行的直线可以设为y=kx+b₁，其中b₁≠b；当k≠0时，其垂线可设为y=-1/kx+b₂；当k=0时，其垂线应设为x=x₀。（2）从一般式考虑：且或，比例记忆式仅在各分母均有意义时使用（）与重合，，，于是与直线Ax+By+C=0平行的直线可以设为Ax+By+D=0（D≠C）；垂直的直线可以设为Bx-Ay+D=0。题型精讲题型1点斜式与斜截式【典例1】已知两点，以下各点一定在直线上的是（

）A． B． C． D．题型点播点斜式（1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标．（2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为．斜截式（1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距．（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用．（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用．【典例2】一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

【变式1】已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为．题型2两点式与截距式【典例1】若，则直线的方程为；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为．题型点播当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程．应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零【典例2】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【变式1】直线经过点，在轴上的截距为，在轴上的截距为，且满足，则直线的斜率为（

）A．2 B． C． D．或题型3直线的一般式与参数【典例1】已知直线的一个方向向量为，向量，若与是共线向量，则实数的值为（

）A． B．2 C． D．8题型点播让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：若x的系数不为0，通常令其为正；若x的系数为0，通常令y的系数为正；x、y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列。求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式。【变式1】设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．题型4直线方程综合与定点【典例1】已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为的周长为，若，则（

）A．2 B．4 C．-2 D．-4题型点播求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．合并含参数的项，令参数的系数为零，解方程组。【典例2】已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1】已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．题型5直线与坐标轴围成三角形【典例1】直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（

）A． B．C． D．题型点播（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定直线的斜率；已知截距或两点，则选择截距式或两点式。在求直线方程的过程中，确定方程类型后，第一步是把该方程的基本形式写出来，然后根据题意求待定参数。【变式1】已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（

）条A． B． C． D．强化训练（共10题）1．，和围成的三角形内部和边上的整点有（

）个.A．35 B．36 C．37 D．382．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（

）A． B． C． D．3．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（

）A．是一个半径为的圆B．上的点到的距离均为C．是两条平行直线D．是一条与相交的直线4．以为端点的线段的垂直平分线的方程为（

）A． B．C． D．5．已知直线.(1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点；(2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程.6．已知直线：，：．(1)若，求m的值．(2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程.7．已知直线经过点.(1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程；(2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程.8．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为．(1)求直线的方程（用表示）；(2)求锯成的面积的最小值．9．已知直线．(1)求恒过的定点的坐标；(2)若经过点，求直线的方程．10．已知的三个顶点．(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程．知识小测（共5题）1．“”是“直线与直线相互平行”的（

）A．充分非必要条件 B