人教A版高一数学秋季培优班 第7讲 函数的概念及其表示（总部定稿版）（教师版）

第7讲函数的概念及其表示目录题型01函数概念与同一函数判断题型02函数定义域及抽象函数定义域题型03函数定义域中的参数问题题型04函数求值与分段函数题型05函数值域的求法题型06函数解析式的求法题型07函数图象与应用强化训练（共12题）知识小测（共5题）知识解读函数的概念及其表示知识点01函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．区间表示：；；；；．知识点02函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点是形式简明，给定自变量的值即可求出相应的函数值．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点是直观形象，能够反映函数的变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．2．分段函数：分段函数的解析式应将函数在不同范围内的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明相应的自变量取值范围．知识点03函数定义域的求法1.确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根式的被开方数（式）大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．3.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．知识点04函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：令y=f(x)，将等式整理成关于自变量x的一元二次方程，再根据该方程有实数解所需满足的判别式条件，确定y的取值范围；同时还应结合函数的定义域进行检验；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．题型精讲题型1函数概念与同一函数判断【典例1】取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，当时，；当时，，又，当且仅当，即时取等号，所以或2；当时，，又，当且仅当，即时取等号，所以或1，综上，得的值域为故选：C.题型点播函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键．【典例2】下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，A错误；B选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，B错误；C选项，由，解得，故的定义域为，由，解得，的定义域为，且，故为同一函数，C正确；D选项，，的对应法则不同，D错误.故选：C【变式1】下列函数中与是同一函数的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误；B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确；C，与对应法则不同，不是同一函数，错误；D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误.故选：B题型2函数定义域及抽象函数定义域【典例1】函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】要使函数有意义，则，解得且，故函数的定义域为，故选：C题型点播1.如果是整式，那么函数的定义域是实数集R；2.如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；3.如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；4.如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集）5.满足实际问题有意义．当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解．【典例2】若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：，解得或，故定义域为：故选：D【变式1】函数的定义域为，函数，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】函数的定义域为，所以，所以需满足，解得且.故选：C.题型3函数定义域中的参数问题【典例1】设函数，若，则（

）A．或 B．或 C． D．【答案】C【详解】当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递增，又，若，此时，不合题设，所以，即，由，可得，整理得，解得或（舍去），所以．故选：C.题型点播利用转化与化归思想．【变式1】设函数若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，由，得.①时，，方程无解.②时，，或（舍去），.时，，则或（舍去）；时，无解.综上，.故选：B.题型4函数求值与分段函数【典例1】已知定义在上函数满足，若，则（

）A．1 B．16 C．128 D．256【答案】D【详解】由题设，则或，若，令，则对于任意有，而，不符；所以，则，故，由.故选：D题型点播求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果．【典例2】已知函数f(x)=xA．2 B．0 C．1 D．3【答案】A【详解】.故选：A.【变式1】已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】在上单调递减，且，而在上单调递增，要使存在最小值，结合分段函数的图象可得：，即，故选：D.题型5函数值域的求法【典例1】在实数集中定义一种运算“”，具有下列性质：①对任意a，，；②对任意，；③对任意a，，．则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在③中，令，则，所以．函数在时取最小值，最小值为；在时取最大值，最大值为5，所以函数的值域是．故选：B．题型点播求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：令y=f(x)，将等式整理成关于自变量x的一元二次方程，再根据该方程有实数解所需满足的判别式条件，确定y的取值范围；同时还应结合函数的定义域进行检验；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．【变式1】函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数中，，，则，而，因此，所以函数的值域为.故选：A题型6函数解析式的求法【典例1】已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（

）．A．1 B．2 C．3 D．以上都不对【答案】C【详解】由；又或,因为关于的方程只有一解，当为方程的唯一解时，，或方程无解，得；当不为方程的解时，，此时，满足题意；所以或或.故选：C题型点播1.解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择．2.已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法．3.函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程．【变式1】已知，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】令，则，所以，所以.故选：D.题型7函数图象与应用【典例1】函数的图象如图，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由图可知，的定义域为，且经过点，而，解得，所以.所以，解得.所以，所以不等式，得，即，等价于，解得，综上，所求不等式的解集为.故选：D.题型点播先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象．【变式1】如图，已知直角梯形ABCD的顶点、位于x轴上，顶点落在函数的图象上，分别为线段的中点，O为坐标原点，Q为线段与线段的交点.(1)求中点的坐标，以及线段的长度；(2)用不等式表示长度的大小关系.【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为、，是的中点，则，又轴，轴，顶点落在函数的图象上，所以，又是的中点，则，，因为，所以，又，，故，所以，；（2）结合图象可知，可得.强化训练（共12题）1．已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（

）A． B． C．2025 D．2027【答案】C【详解】由函数在定义域上是单调函数，且，知是一个常数，令，则，∴，∵在定义域上单调，且,∴，即∴.故选：C.2．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为；当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为；当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为；所以，所以A正确，BCD错误；故选：A.3．已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的定义域为C．函数的值域为 D．函数的值域为【答案】D【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误.4．若函数，满足，且，则（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【详解】令可得，所以；令可得；令可得，所以，所以，令可得，所以，所以.故选：D.5．（多选）对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】令，得，解得，故A正确；令，得，即，因为，，所以，故B错误；因，则，令，则，故C正确；又，，则，故D正确．故选：ACD6．已知函数的定义域为，集合．当时，；若，则实数的取值范围是．【答案】或【详解】要使函数有意义，则解得，所以集合．因为，所以，所以或，所以或．因为，所以①当时，，即，满足题意；②当时，解得．综上所述，实数的取值范围是．7．已知函数，若存在，且，使得成立，则实数k的取值范围是.【答案】【详解】当时，为增函数，且当时，，因为存在，且，使得成立，所以在时不单调或，即或，解得或，所以实数k的取值范围是.故答案为：.8．已知二次函数满足，且．(1)求的解析式；(2)若时，恒成立，求实数的取值集合．【答案】(1)(2)实数的取值集合为【详解】（1）设，又，所以，所以，又，所以，即，所以，解得，所以；（2）若时，恒成立，则的解集为，即的解集为，所以，所以，即，解得，所以实数的取值集合为．9．（1）已知函数．①若的定义域为，求实数m的值；②若的定义域为，求实数m的取值范围．（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域．（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【答案】（1）①②；（2）；（3）．【详解】解：（1）①由题意得不等式的解集为，所以化简得解得．故实数m的值为．②由题意得不等式在上恒成立．当时，或，若，则，符合题意；若，则，其定义域不是，不符合题意．当，即且时，则解得或．综上所述，m的取值范围是．（2）因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是．（3）因为函数的定义域为），即，所以，即的定义域为．10．（1）已知的定义域为，求的定义域．（2）求下列函数的值域：①；②．【答案】（1）；（2）①；②．【详解】解：（1）在函数中，，则．因此在函数中，，解得，所以函数的定义域为．（2）①函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为．②函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为．11．根据下列条件，求函数的解析式.(1)已知函数是一次函数，若，求的解析式.(2)已知，求的解析式.【答案】(1)或(2)【详解】（1）是一次函数，∴设（k），∴∴或或（2）令则，，12．求下列函数的定义域：(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；(2)已知函数的定义域，求函数的定义域.【答案】(1)(2)【详解】（1