2026年江苏省北师大版高一数学必修第1册单元测试卷

2026年江苏省北师大版高一数学必修第1册单元测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∪B等于（）A.{1,2}B.{-3,2}C.{-3,1,2}D.{-3,-2,1,2}解析：集合A的解为x²-3x+2=0，解得x=1或x=2，即A={1,2}；集合B的解为x²+x-6=0，解得x=-3或x=2，即B={-3,2}。因此A∪B={1,2}∪{-3,2}={-3,1,2}。选项C正确。2.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1,2)，则f(0)的值可能是（）A.-1B.1C.2D.3解析：函数开口向上说明a>0，顶点坐标(-1,2)代入f(x)得f(-1)=-a+b+c=2。f(0)=c，由顶点式f(x)=a(x+1)²+2，f(0)=a+c=2。联立方程组得c=2，故f(0)=2。选项C正确。3.已知直线l₁:3x-4y+5=0与直线l₂:mx+2y-7=0垂直，则m的值为（）A.6B.-6C.8/3D.-8/3解析：直线l₁的斜率为3/4，l₂的斜率为-2/m。两直线垂直则斜率乘积为-1，即(3/4)×(-2/m)=-1，解得m=-6。选项B正确。4.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的长度为（）A.2√2B.3√2C.4√3D.6√2解析：由内角和定理得角C=75°。根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，即AC/sin60°=BC/sin45°，解得AC=(6×√2/2)/(√3/2)=2√2。选项A正确。5.已知等差数列{aₙ}的首项为2，公差为3，则该数列的前n项和Sn的表达式为（）A.n²+nB.3n²+2nC.n²+3nD.2n²+3n解析：等差数列前n项和公式为Sn=n(a₁+an)/2，an=a₁+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。代入得Sn=n(2+3n-1)/2=n(3n+1)/2=3n²/2+n/2。选项A正确。6.若函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为k，则k的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={-2x-1|x<-2，3|x=-2，2x+1|x>-2}。当x=-2时，f(x)取最小值3。选项C正确。7.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与圆O的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.包含解析：圆心到直线距离小于半径，故直线与圆相交。选项C正确。8.已知样本数据：5，7，9，x，12的众数为9，则样本平均数的中位数是（）A.8B.9C.10D.11解析：众数为9说明x=9。排序后数据为5，7，9，9，12，中位数为9。选项B正确。9.已知抛物线y²=2px的焦点F到准线的距离为4，则p的值为（）A.2B.4C.8D.16解析：抛物线焦点到准线距离等于p/2，即p/2=4，解得p=8。选项C正确。10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像周期为π/2，且过点(0,1)，则f(π/4)的值为（）A.0B.1/√2C.1D.-1解析：周期T=2π/ω=π/2，解得ω=4。过点(0,1)得sinφ=1，φ=π/2+2kπ。f(π/4)=sin(4×π/4+π/2)=sin(π+π/2)=-1。选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知集合A={x|1≤x≤5}，B={x|x²-3x-4>0}，则A∩B={__________}参考答案：{x|4<x≤5}解析：B={x|x<-1或x>4}，A∩B={x|4<x≤5}。2.若函数f(x)=kx²-6x+9在x=1时取得最小值，则k的值为__________参考答案：3解析：对称轴x=-b/2a=-(-6)/(2k)=3/k，由x=1时取得最小值得3/k=1，解得k=3。3.已知直线l₁:2x+y-3=0与直线l₂:ax-y+2=0平行，则a的值为__________参考答案：-2解析：l₁斜率为-2，l₂斜率为a，平行则a=-2。4.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边BC=10，则边AB的长度为__________参考答案：5√2解析：由正弦定理AB/sinC=BC/sinA，sinC=sin(180°-30°-45°)=sin75°=(√6+√2)/4，AB=10×sin45°/sin75°=5√2。5.已知等比数列{bₙ}的公比为q，前n项和为Sₙ，若b₃=4，b₅=16，则q的值为__________参考答案：2解析：b₅=b₃q²，16=4q²，解得q=±2。由b₃>0得q=2。6.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，则圆心C到直线3x-4y+5=0的距离为__________参考答案：3√5/5解析：圆心(1,-2)到直线距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=3√5/5。7.已知样本数据：3，x，7，9，12的平均数为7，则样本方差s²为__________参考答案：20解析：平均数(3+x+7+9+12)/5=7，解得x=4。s²=[(3-7)²+(4-7)²+(7-7)²+(9-7)²+(12-7)²]/5=20。8.已知函数f(x)=cos²x-sin²x，则f(π/3)的值为__________参考答案：-3/4解析：f(x)=cos(2x)，f(π/3)=cos(2×π/3)=-1/2，cos²(π/3)=1/4，sin²(π/3)=3/4，f(π/3)=1/4-3/4=-1/2。9.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点在x轴上，离心率为√2/2，则a与b的关系为__________参考答案：a²=2b²解析：e=c/a=√(a²-b²)/a=√2/2，解得a²=2b²。10.已知函数f(x)=logₐ(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________参考答案：(0,1)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2在(1,+∞)上单调递增，若f(x)单调递增需a>1或0<a<1。由复合函数单调性得0<a<1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a²>b²。参考答案：×解析：反例a=1，b=-2时a>b但a²=1<b²=4。2.已知直线l₁与直线l₂的斜率乘积为-1，则l₁⊥l₂。参考答案：√解析：直线斜率k₁k₂=-1是垂直的充要条件。3.若函数f(x)是奇函数，则f(0)=0。参考答案：×解析：f(0)可能不存在，如f(x)=x/x，x≠0。4.已知圆C₁:(x-1)²+y²=4与圆C₂:x²+(y+1)²=1相切。参考答案：√解析：圆心距√(1+1)=√2，两圆半径和为3，差为1，故相切。5.若数列{cₙ}是等差数列，则数列{cₙ²}也是等差数列。参考答案：×解析：cₙ²的公差为[2cₙ+d]d≠常数。6.已知函数f(x)=sin|x|是偶函数。参考答案：√解析：sin|x|=-sin(-x)，是偶函数。7.若三角形三边长分别为5，12，13，则该三角形是直角三角形。参考答案：√解析：5²+12²=13²，满足勾股定理。8.已知样本数据：2，4，6，8，10的中位数为6。参考答案：×解析：排序后中位数为(4+6)/2=5。9.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向下，则其顶点是最大值点。参考答案：√解析：a<0时顶点是最大值点。10.已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=1，则圆C关于直线x+y=0的对称圆方程为(x+2)²+(y+3)²=1。参考答案：√解析：圆心(2,3)关于x+y=0的对称点为(-3,-2)，对称圆方程为(x+3)²+(y+2)²=1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，求f(x)的极值点。参考答案：极值点为x=1，f(1)=-1为极小值。解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(1)=6>0，x=1为极小值点；f''(-1)=-6<0，x=-1为极大值点。2.已知集合A={x|ax-1>0}，B={x|x²-4x+3≤0}，若A∩B={x|x>2}，求实数a的值。参考答案：a=1解析：B={x|1≤x≤3}，A∩B={x|x>2}，故ax-1>0在x>2时成立，x=2处取等得2a-1=0，解得a=1/2。3.已知直线l₁:2x+y-1=0与直线l₂:mx-3y+5=0垂直，求m的值。参考答案：m=9/2解析：l₁斜率为-2，l₂斜率为m/3，垂直则m/3×(-2)=-1，解得m=9/2。4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=27，求该数列的通项公式。参考答案：aₙ=3n-6解析：S₃=3/2(2a₁+2d)=9，S₆=6/2(2a₁+5d)=27，联立方程组得a₁=0，d=3，故aₙ=3n-6。5.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，求圆C在x轴上截得的弦长。参考答案：2√3解析：令y=0得(x-1)²+4=4，解得x=1或x=-3，弦长为|-3-1|=4，实际为2√(4-1)=2√3。6.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]。解析：f(x)分段为{-2x-1|x<-2，3|x=-2，2x+1|x>-2}，最小值为3，取得最小值时x=-2或x=1。7.已知样本数据：5，7，9，x，12的平均数为8，求样本方差s²。参考答案：s²=9.6解析：平均数(5+7+9+x+12)/5=8，解得x=7。s²=[(5-8)²+(7-8)²+(9-8)²+(7-8)²+(12-8)²]/5=9.6。8.已知抛物线y²=8x的焦点F到准线的距离为p，求p的值。参考答案：p=4解析：抛物线y²=2px的焦点到准线距离为p/2，由y²=8x得p=4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=2cos²x+sinx-1，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为-2，取得最小值时x=7π/6+2kπ或x=11π/6+2kπ，k∈Z。解析：f(x)=1+cos2x+sinx-1=cos2x+sinx。令t=sinx，则f(x)=1-2sin²x+t-1=-2sin²x+t。当sinx=-1/2时取得最小值-2，此时x=7π/6+2kπ或x=11π/6+2kπ。2.已知圆C₁:(x-1)²+y²=9与圆C₂:x²+(y+2)²=4相切，求两圆的公共弦所在直线的方程。参考答案：x-2y-3=0解析：两圆方程相减得x-2y-3=0，即为公共弦所在直线方程。3.已知等差数列{aₙ}的首项为2，公差为3，求该数列的前100项和S₁₀₀。参考答案：S₁₀₀=10100解析：S₁₀₀=100/2[2×2+99×3]=10100。4.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+3)，求f(x)的定义域。参考答案：(-∞,+∞)解析：x²-2x+3=(x-1)²+2>0恒成立，故定义域为(-∞,+∞)。5.已知三角形三边长分别为5，7，8，求该三角形的面积。参考答案：S=17.5解析：半周长s=(5+7+8)/2=10，面积S=√[10×(10-5)×(10-7)×(10-8)]=17.5。6.已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=4，求圆C关于直线x-y+1=0的对称圆方程。参考答案：(x-3)²+(y-2)²=4解析：圆心(2,3)关于x-y+1=0的对称点为(3,2)，对称圆方程为(x-3)²+(y-2)²=4。7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，若f(π/4)=1，求φ的值。参考答案：φ=π/4+2kπ或φ=5π/4+2kπ，k∈Z。解析：f(π/4)=sin(π/2+φ)=1，解得φ=π/4+2kπ或φ=5π/4+2kπ。8.已知样本数据：3，5，7，9，11的平均数为7，求样本方差s²。参考答案：s²=8解析：平均数为7，s²=[(3-7)²+(5-7)²+(7-7)²+(9-7)²+(11-7)²]/5=8。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.B4.B5.A6.C7.C8.B9.C10.D解析：略二、填空题1.{x|4<x≤5}12.313.-214.5√215.216.3√5/517.2018.-3/419.a²=2b²20.(0,1)解析：略三、判断题1.×22.√23.×24.√25.×26.√27.√28.×29.√30.√解析：略四、简答题1.极值点为x=1，f(1)=-1为极小值。解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。f''(1)=6>0，x=1为极小值点；f''(-1)=-6<0，x=-1为极大值点。2.a=1解析：B={x|1≤x≤3}，A∩B={x|x>2}，故ax-1>0在x>2时成立，x=2处取等得2a-1=0，解得a=1/2。3.m=9/2解析：l₁斜率为-2，l₂斜率为m/3，垂直则m/3×(-2)=-1，解得m=9/2。4.aₙ=3n-6解析：S₃=3/2(2a₁+2d)=9，S₆=6/2(2a₁+5d)=27，联立方程组得a₁=0，d=3，故aₙ=3n-6。5.2√3解析：令y=0得(x-1)²+4=4，解得x=1或x=-3，弦长为|-3-1|=4，实际为2√(4-1)=2√3。6.最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]。解析：f(x)分段为{-2x-1|x<-2，3|x=-2，2x+1|x>-2}，最小值为3，取得最小值时x=-2或x=1。7.s²=9.6