人教版数学八年级下册 期末考前满分冲刺之解答题（75题）（二十五种覆盖训练） 同步练习 含答案

思维导图期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图解答解答覆盖一二次根式的运算1．计算：(1)；(2)．2．计算：(1)(2)3．计算：(1)(2)覆盖二一次函数的图象与性质4．已知一次函数．(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象．(2)写出图象与轴、轴的交点的坐标．(3)求的面积．5．已知y与x成正比例关系，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)若点在这个函数的图象上，求a的值．6．已知正比例函数．(1)若点和点为函数图象上的两点，且，求a的取值范围；(2)若函数的图象经过点．①求此函数解析式；②如果x的取值范围是，求y的取值范围．覆盖三数据的分析7．开学初，刘老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐测试（满分为10分），根据测试成绩制作了下面两个统计图．(1)本次测试的学生中，得9分的学生人数是______人；(2)本次测试学生成绩的中位数是______，众数是______；并计算本次测试成绩的平均分；(3)经过一段时间的锻炼，刘老师对50名女生的仰卧起坐进行了第二次测试，测得成绩的最低分为8分，且得9分和10分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.9分，问第二次测试中得9分、10分的学生各有多少人？8．“寓教于劳，育才于勤”，劳动教育是德智体美教育实践的基本途径．某校为了增强学生对劳动教育的认识开展劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息．七年级10名学生的成绩是：92，80，76，93，80，74，80，68，83，94．八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，84．八年级抽取的学生成绩扇形统计图七年级、八年级抽取的学生比赛成绩统计表组别七年级八年级平均数8282中位数80m众数b78(1)上述图表中，，；(2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）；(3)该校七、八年级共有1200名学生参加的竞赛，请估计七八年级中成绩等级为D的共有多少人？9．河南博物院创建于1927年，是我国成立较早的博物馆之一，是中原地区规模最大的文物收藏、保护、研究与展示中心．为了解中学生对博物院展览的偏好，某校社会实践小组在参观完博物院的学生中随机抽取了20名，对《明清河南》和《国宝特展》两个专题陈列进行满意度打分（百分制，分数为整数）．【数据收集与整理】实践小组对随机抽取的20名参观同学的打分数据进行整理，成绩均高于85分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：），下面给出了部分信息：《明清河南》专题陈列的20份打分如下：86，87，90，90，90，91，92，92，93，94，95，95，96，96，97，98，99，99，100，100．《国宝特展》专题陈列的20份打分中，在B组的数据是：95，95，96，97，97，97．两个专题陈列满意度打分统计表（部分）专题陈列平均数众数中位数《明清河南》94a94.5《国宝特展》9598b请你根据上面的信息解答下列各题：(1)上述表中_____，_____，扇形统计图中D组所占圆心角的度数为_____；(2)关于这两个专题陈列满意度打分情况，下列结论一定正确的是_________；（填序号）①中位数均在B组的取值范围内；②得分在94分以上的一样多；③满分一样多．(3)博物院计划根据此次调查，从这两个专题陈列中选择一个作为“中学生最喜爱的文化窗口”进行重点宣传．请你结合上述统计量，给出推荐建议并说明理由．覆盖四平行四边形的证明10．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求四边形的面积．11．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求的长．12．如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)求证：．覆盖五勾股定理的解决应用13．如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）．(1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点滑动到点，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗杆的高度；(2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离（的长度）．14．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处．(1)求小凳子顶点与墙面的距离；(2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度．15．项目主题小区路灯维修梯子使用方案项目背景路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面．测量示意图说明：点、、、在同一竖直平面内问题解决：(1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由；(2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长．覆盖六特殊平行四边形的证明16．如图，菱形的对角线、交于点O，，．(1)证明：四边形是矩形；(2)若，，求的长度．17．如图，在四边形中，，，，过点作，，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若四边形的周长为36，，求四边形的面积．18．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接．(1)如图，点在边上，满足，连接，求证：；(2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形；(3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值．覆盖七一次函数的解决应用19．为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生．(1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？(2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．设租用辆甲型客车，租车的总费用为元．甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320①求与的函数解析式；②求学校租车最少的总费用．20．平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次．(1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围；(2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？21．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）．(1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式．(2)小红骑行了42分钟，应付多少元？(3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？覆盖八二次根式的规律22．小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小山的探究过程．请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：特例2：特例3：特例4：_____．（填写一个符合上述运算特征的例子）：(2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：_____．(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律化简：．23．【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律．第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……【规律发现】(1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________；(2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）；【规律应用】(3)利用上述规律计算：．24．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．第1个等式；第2个等式；第3个等式；第4个等式；第5个等式_________（根据规律填空）(2)观察、归纳、得出猜想．第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律．若（a，b均为正整数），则的值为_________．覆盖九尺规作图25．如图，在中，．(1)【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：①作边的中线；②再作点关于点的对称点，并连接、；(2)【推理证明】求证：四边形是菱形．26．如图，四边形是矩形．(1)实践与操作：①以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接；②过点作的垂线，垂足为（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．(2)猜想与证明：在（1）的基础上，猜想与的数量关系，并说明理由．27．小红学习了平行四边形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了矩形的一种作图方法．以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空：如图，四边形是平行四边形，对角线所在直线与相交于点．(1)用尺规完成以下作图：在射线上截取，连接，，在右侧作交射线于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：四边形是矩形．证明：∵四边形是平行四边形，，①．．∵②．．即：．在和中，，．．∴④．，∴OB=OD=OE=OF．．∴四边形是矩形．覆盖十勾股定理的证明28．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理；图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理．(1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理．(2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______；A．函数思想

B．整体思想

C．分类讨论思想

D．数形结合思想【知识应用】(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长．29．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．(1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理．(2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？(3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？30．三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形．(1)请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．(2)应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长．覆盖十一皮克定理31．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．你知道“皮克定理”吗？“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．任务：(1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______．(2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______．32．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．你知道“皮克定理”吗？“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．任务：（1）如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是_______．（2）已知：一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______．（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．33．根据以下思考，探索完成任务．皮克公式的探索与应用问题背景在单位面积为1的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．素材1如图，探索格点多边形的面积时，把多边形分割成小正方形和三角形，分别计算各个面积并相加，可求出多边形的面积．素材2奥地利数学家皮克证明格点多边形的面积公式，格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有关，面积公式可表示为（其中为常数）．问题解决任务1探索皮克公式在素材2中的两个网格图中，分别画出两个边长不同，且内部只含有4个格点的格点正方形，并根据所画的格点正方形，直接写出应满足的数量关系；任务2应用皮克公式在单位面积为1的正方形网格纸（共110个格点）中，画一个内部有18个格点的格点多边形，满足格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数，求该格点多边形的最大面积．覆盖十二两个一次函数相交求解34．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于两点．(1)求b的值，并结合图象写出关于的方程组的解；(2)求的面积；(3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点，若线段的长为4，求出a的值．35．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．

(1)求点A的坐标；(2)若点C在第二象限，的面积是5；①求点C的坐标；②直接写出不等式组的解集；③将沿x轴向左平移，点C、A、D的对应点分别为，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围．36．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点．(1)求n和k的值；(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标；(3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集．覆盖十三勾股定理的新定义37．阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确，若正确请证明，若不正确请举反例说明？(2)在中，两边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．(3)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求的值．38．定义：在中，若，，，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：(1)已知的三边长分别为4，5，6，则“类勾股三角形”．（填“是”或“不是”）(2)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，，，请求的度数．(3)如图2所示，在中，，且，求证：为“类勾股三角形”．39．定义：在，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：(1)命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是（填“真”或“假”）命题；(2)如图1，若等腰是“和谐勾股三角形”，其中，，求的度数；(3)如图2，在三角形中，，且．①当时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；②请证明为“和谐勾股三角形”覆盖十四一次函数中的特殊三角形40．已知一次函数图像经过点，．(1)求这个一次函数的表达式；(2)直线上存在点，使，求点的坐标；(3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标．41．如图在平面直角坐标系中，直线过点，．(1)求直线表达式．(2)在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值．(3)在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点．(1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______．(2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标．(3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标．覆盖十五一次函数中的绝对值43．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题．(1)作出函数的图象．①列表：x…012…y…0m210…其中，表格中m的值为______；②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点；③连线：画出该函数的图象．(2)观察函数的图象，探索函数性质：①当______时，函数有最大值，最大值为______；②写出该函数的其它性质(写一条即可)______；(3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为______．44．在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：．【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整．(1)列表：x…01234…y…20b0…根据表格中的信息可得_______．(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．【探索】(3)写出函数的一条性质________________．【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题：(4)关于x的不等式的解集为________________．(5)若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围．45．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)化简函数解析式：当时，__________；当时，__________；(2)根据（1）中的结果，请在图1的坐标系中画出函数的图象；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：__________；(4)结合函数图象，解决问题：若关于的方程只有一个实数根，求实数的取值范围．覆盖十六根式有理化46．观察下列各式的计算过程，寻找规律：；利用发现的规律解决下列问题：(1)化简式子；（为正整数）．(2)直接写出式子的值：；(3)计算：；（为正整数）．47．阅读下列材料，然后回答下列问题：在进行二次根式的运算时，我们常常会遇到这一类的式子，其实，我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．根据以上信息，完成下列问题：(1)若a是的小数部分，则的值为；(2)若，求的值；(3)计算：48．【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：(1)有理化因子与之间的关系是___________；A．互为相反数

B．绝对值相等

C．互为倒数(2)已知，求的值；(3)计算：的值．覆盖十七无刻度尺作图49．按要求完成作图(1)如图①，平行四边形中，，垂足为，交边于点．仅用无刻度的直尺在图中作线段，垂足为．(2)如图②，点，分别在平行四边形的边上，．连接，请过点作的垂线，垂足为（仅用无刻度直尺作图）．50．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使；(2)如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使．51．如图，在中，为对角线，，是的中线．

(1)在图1中用无刻度的直尺画出的高；(2)在图2中用无刻度的直尺画出的高覆盖十八一次函数中的行程问题52．某电机厂计划生产一批电机设备，其中这批设备包括型、型两种型号，如果生产2件型产品和3件型产品需成本21万元，如果生产5件型产品和4件型产品需成本35万元．(1)求生产一件型产品和一件型产品各需成本多少万元；(2)经市场调查，一件型产品售价为5万元，一件型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中型产品的件数是型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利不少于58万元，那么工厂生产型产品至少多少件？(3)甲、乙两车为电机厂运输一批电机设备过程中，甲、乙两车分别从P、Q两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向P地行驶，甲车到达Q地后，立即按原路原速返回P地（甲车掉头的时间忽略不计），到达P地后停止行驶，原地休息；甲、乙两车距Q地的路程（千米）与所用时间（时）之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题：①乙车的速度为______千米／时，在图中的括号内应填上的数是______．②直接写出甲车从Q地返回P地的过程中，与的函数关系式．③两车出发后______小时相距120千米时．53．甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：(1)甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车的速度是；(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；(3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．54．无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续上升，乙无人机继续匀速上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：(1)联合表演前，甲无人机的速度为_____，乙无人机的速度为_____，联合表演时长为_____；(2)求图中线段所在直线的函数解析式；(3)请直接写出两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间．覆盖十九（特殊）平行四边形的动点求55．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．(1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________．56．如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒．(1)用含的代数式表示的长．(2)连结，当时，的长为________．当时，的长为________．(3)当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值．(4)当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值．57．如图1，在矩形中，，点E在边上，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连结，当点P运动到点D时，．(1)当______秒时，平分矩形的面积；(2)连结，当的面积为6时，求t的值；(3)如图2，作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，求t的值．覆盖二十矩形的折叠58．综合与实践主题：研究矩形背景下的一类折叠问题，且折痕过矩形的其中一个顶点．已知矩形中，是上一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点落在矩形内或矩形的边上．【特殊位置研究】（1）如图1，若点恰好落在线段上，试求的度数．【一般路径探索】（2）如图2，已知，连接，试求的最小值．【图形拓展深化】（3）在（2）的条件下，连接，若是等腰三角形，试求的长．59．综合与实践折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．(1)操作发现：如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长，面积为．(2)类比探究：如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为．(3)拓展延伸：如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．60．【问题情境】数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片沿折叠，折痕与边分别交于点E，F，点C的对应点记为，点D的对应点记为．【特例探究】（1）如图1，折叠使点C与点A重合，为判断四边形的形状，小明写出了以下证明过程，请帮忙补全：证明：∵四边形是矩形，∴，∴，由折叠的性质得：，，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是．（2）如图2，若点F为的中点，延长交于点P．判断与的数量关系，并说明理由；【深入探究】（3）如图3，点F在上，且，若，，当点E为的三等分点时，直接写出的值．覆盖二十一几何中的函数表达、解析式61．如图1，在正方形中，点在的延长线上，连结，过点作于点，分别交对角线和边于点．(1)求证：．(2)如图2，连结，已知，设．①求关于的函数表达式．②当时，求四边形的面积．62．已知正方形ABCD，AB＝4，点P在边AD上运动，点M是线段CP上一动点．（1）如图1，当点P在A点时，若PM＝3CM，过点M作CM的垂线交BC于点Q，则＝_______；（2）如图2，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交AB于点N，记DP＝x，BN＝y，试求y关于x的函数表达式；（3）如图3，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交正方形对角线BD于点R，试判断MR和CP的数量关系，并说明理由．63．如图，正方形在平面直角坐标系中，、分别在轴、轴的正半轴上，．(1)求点坐标；(2)分别在上，连，，于F，设点横坐标为，的长为，求与的函数解析式；(3)在（2）的条件下，连并延长至，连交于，若，，求直线的解析式．覆盖二十二一次函数中的（特殊）平行四边形64．如图1，平面直角坐标系中，的四个顶点坐标分别为，则有，且；即平行四边形对角顶点横，纵坐标的和分别相等．如图2，已知直线；点，；为直线与上的动点．(1)设的横坐标分别为，分别用含有的式子表示的纵坐标；(2)若以点为顶点的四边形是平行四边形，求的坐标．65．直线与轴交于点，与轴交于点，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点在轴负半轴上，直线经过点，交轴于点．(1)请直接写出点，点的坐标，并求出的值；(2)点是线段上的一个动点（点不与、重合），经过点且平行于轴的直线交于，交于当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)点是轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，为何值时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？66．如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，．(1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式；(2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积；(3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标．覆盖二十三四边形的新定义67．【阅读理解】定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）．（1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______．

【迁移运用】（2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______．

【拓展延伸】（3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点．①请说明：；②请说明：．68．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

(1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．(2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；(3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度．69．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．

求证：四边形是“直等补”四边形．②若，求四边形的面积．(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．

覆盖二十四一次函数的新定义70．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即，定义理解：（1）如图2，若直线l的表达式为与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点）定义运用：（2）如图3，将直线l：沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离n的值；定义拓展：（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．71．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”．【定义辨析】（1）若点在上，则下列四个点①、②、③、④，在的“k倍伴随线”上的点有（填序号）；（2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（）；A．

B．

C．

D．【定义延伸】（3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是（填序号）；【定义应用】（4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值．72．【材料：学习理解】定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”．定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标．分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为．【任务1：特值感悟】若坐标为，①到的“纵横值”（直接写出）；②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）；【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为：（直接写出）；【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上，①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式．覆盖二十五正方形的综合与实践73．综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．(1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____；_____．(2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长．(3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长．74．综合与实践【问题情境】：在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动．如图1，正方形和正方形，连接，．【操作发现】：当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______；【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由；【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的值．75．综合与实践(1)如图1，正方形的对角线相交于点O，O又是正方形的一个顶点，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于正方形面积的，请给出证明．(2)如图2，连接．若正方形的顶点B在线段上，则线段，满足关系，请你给出证明．(3)如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，请直接写出的长．

思维导图期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图解答解答覆盖一二次根式的运算1．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把根式化为最简二次根式，再根据二次根式加减法法则计算即可得答案；（2）先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，再根据二次根式乘法法则计算，最后加减即可得答案．【详解】（1）解：；（2）解：．2．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)5【详解】（1）解：；（2）解：．3．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：；（2）解：．覆盖二一次函数的图象与性质4．已知一次函数．(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象．(2)写出图象与轴、轴的交点的坐标．(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)点的坐标为，点的坐标为(3)1【分析】（1）过图象上两个点画出直线即可；（2）通过坐标轴上点的坐标特征即可求出两点的坐标；（3）由（2）求出的两个点的坐标，求出的长，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】（1）解：令得，令，得：．，．过两点作直线即得到一次函数的图象，该函数的图象如图所示．（2）解：由（1）可得：点的坐标为，点的坐标为．（3）解：由（2）可知点，．．【点睛】本题考查了一次函数图象的画法，一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数的图象和性质等知识，熟记一次函数图象和性质是解决此题的关键，注意数形结合思想的运用．5．已知y与x成正比例关系，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)若点在这个函数的图象上，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了正比例函数的定义、解析式求解方法以及函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据正比例函数的形式设出解析式，利用已知x、y的值求出比例系数k，再结合点在函数图象上时横纵坐标满足函数解析式的性质求解参数．（1）根据正比例函数“”的定义设出函数解析式；将已知、代入解析式，构建关于k的方程；求解方程得到k的值，进而确定函数解析式；（2）利用“点在函数图象上则其坐标满足函数解析式”的性质，将代入（1）中所求解析式，构建关于a的方程；求解方程得到a的值．【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为∵当时，∴解得∴y与x的函数解析式为（2）解：∵点在的图象上解得．6．已知正比例函数．(1)若点和点为函数图象上的两点，且，求a的取值范围；(2)若函数的图象经过点．①求此函数解析式；②如果x的取值范围是，求y的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数的性质以及正比例函数的图象上点的坐标特征，解答该题时，充分利用了正比例函数图象上点的坐标特征．（1）先根据得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可（2）①利用正比例函数图象上点的坐标特征，将点代入该函数解析式，求得a值即可，②把分别代入解析式求得函数值，即可求得y的取值范围【详解】（1）解：由题意知正比例函数得图象上两点点和点，且，y随x的增大而减小，，；（2）①正比例函数的图象经过点，，解得，则此函数关系式为；②由①得，画出函数图像：

当时，；当时，，y的取值范围为．覆盖三数据的分析7．开学初，刘老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐测试（满分为10分），根据测试成绩制作了下面两个统计图．(1)本次测试的学生中，得9分的学生人数是______人；(2)本次测试学生成绩的中位数是______，众数是______；并计算本次测试成绩的平均分；(3)经过一段时间的锻炼，刘老师对50名女生的仰卧起坐进行了第二次测试，测得成绩的最低分为8分，且得9分和10分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.9分，问第二次测试中得9分、10分的学生各有多少人？【答案】(1)25；(2)9分，9分，8.7分；(3)第二次测试中得9分的学生有10人，得10分的学生有35人．【分析】（1）利用得9分的学生所占百分比乘以50，即可求解；（2）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；（3）由题意得，第二次测试中得8分的人数为5（人），设第二次测试中得9分的学生有x人，则得10分的学生有人，根据题意列出方程，求出的x值即可解答．【详解】（1）解：（人），（2）解：得8分的学生人数为（人），由统计图可知，得7分和得10分的学生人数都为10人，将50名女生测试的得分从小到大顺序排列，中位数为第25位和第26位的平均数，∵，∴中位数落在9分中∴中位数（分），由统计图可知，得9分的学生人数最多，∴众数是9分，本次测试的平均分（分）（3）解：由题意得，第二次测试中得8分的人数为（人），设第二次测试中得9分的学生有x人，则得10分的学生有人，由题意得，解得：，则，答：第二次测试中得9分的学生有10人，得10分的学生有35人．8．“寓教于劳，育才于勤”，劳动教育是德智体美教育实践的基本途径．某校为了增强学生对劳动教育的认识开展劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息．七年级10名学生的成绩是：92，80，76，93，80，74，80，68，83，94．八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，84．八年级抽取的学生成绩扇形统计图七年级、八年级抽取的学生比赛成绩统计表组别七年级八年级平均数8282中位数80m众数b78(1)上述图表中，，；(2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）；(3)该校七、八年级共有1200名学生参加的竞赛，请估计七八年级中成绩等级为D的共有多少人？【答案】(1)40；80；83.5(2)七年级的成绩较好，理由见解析(3)420人【分析】（1）先计算八年级成绩在C组的占比，进而可得的值，根据众数、中位数的概念求；（2）根据平均数、中位数、众数判断即可；（3）利用样本估计总体即可．【详解】（1）解：八年级10名学生的成绩在C组中的数据有3个，占，故成绩在D组的数据占，；七年级10名学生的成绩中，出现次数最多的是80，则；八年级10名学生成绩的中位数为从小到大第5、6位的平均值，则；（2）解：七年级的成绩较好，理由如下：七年级的众数80大于八年级的众数78，七年级学生对劳动知识的掌握情况更好；（3）解：人，答：估计七八年级中成绩等级为D的共有420人．9．河南博物院创建于1927年，是我国成立较早的博物馆之一，是中原地区规模最大的文物收藏、保护、研究与展示中心．为了解中学生对博物院展览的偏好，某校社会实践小组在参观完博物院的学生中随机抽取了20名，对《明清河南》和《国宝特展》两个专题陈列进行满意度打分（百分制，分数为整数）．【数据收集与整理】实践小组对随机抽取的20名参观同学的打分数据进行整理，成绩均高于85分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：），下面给出了部分信息：《明清河南》专题陈列的20份打分如下：86，87，90，90，90，91，92，92，93，94，95，95，96，96，97，98，99，99，100，100．《国宝特展》专题陈列的20份打分中，在B组的数据是：95，95，96，97，97，97．两个专题陈列满意度打分统计表（部分）专题陈列平均数众数中位数《明清河南》94a94.5《国宝特展》9598b请你根据上面的信息解答下列各题：(1)上述表中_____，_____，扇形统计图中D组所占圆心角的度数为_____；(2)关于这两个专题陈列满意度打分情况，下列结论一定正确的是_________；（填序号）①中位数均在B组的取值范围内；②得分在94分以上的一样多；③满分一样多．(3)博物院计划根据此次调查，从这两个专题陈列中选择一个作为“中学生最喜爱的文化窗口”进行重点宣传．请你结合上述统计量，给出推荐建议并说明理由．【答案】(1)90，97，18°(2)①(3)选择《国宝特展》专题陈列进行重点宣传，见解析【分析】（1）依据众数定义确定a，结合各组人数排序找准第10、11个数求出中位数b，利用百分比乘算出圆心角．；（2）根据题意并结合表格的数据逐项分析即可判断求解；（3）根据平均数、中位数和众数的意义分析即可判断求解；【详解】（1）解：∵《明清河南》打分数据里90出现了3次，次数最多，∴众数．∵一共抽取20份评分数据，《国宝特展》中：A组人数：（人），B组人数：6人，按分数从高到低依次排列，前8个数据为A组数据，第9至14个数据为B组数据，∵偶数个数据的中位数为排序后第10、11两个数的平均数，∴第10个数与第11个数都在B组，均为97，∴．D组所占百分比：，∴D组对应扇形圆心角度数：．（2）解：①∵两份评分的中位数都落在范围内，都属于B组，∴此结论正确．②∵《明清河南》高于94分的数据共有10个，《国宝特展》高于94分包含A组与B组，总个数为个，,∴两份评分中分数高于94分的数据个数不相等，∴此结论错误．③∵无法确定《国宝特展》里满分人数，无法比较满分人数的多少，∴此结论错误．综上，正确的是①．（3）解：推荐宣传《国宝特展》．∵《国宝特展》平均分、中位数、众数均高于《明清河南》，整体评分水平更高，更受学生喜爱，适合作为重点宣传内容．覆盖四平行四边形的证明10．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论；（2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵是中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：过点作于点，∵，，，∴，∴，在中，，，∴；∵四边形是平行四边形，∴，∴．11．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论；（2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可．【详解】（1）证明：，，，，，在和中，，，四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，，，∵，∴，，，．的长为．12．如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质可证，又因为，等量代换可得，根据同旁内角互补两直线平行，可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立；（2）根据平行四边形的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立．【详解】（1）证明：，，，，，四边形是平行四边形；（2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形，，，，在和中，，，．覆盖五勾股定理的解决应用13．如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）．(1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点滑动到点，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗杆的高度；(2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离（的长度）．【答案】(1)(2)【分析】（1）设旗杆的长为，则旗绳的长为，根据勾股定理建立方程，即可求解；（2）由题意可知：，，，过点作，垂足为，进而根据勾股定理求得，即可求解．【详解】（1）解：设旗杆的长为，则旗绳的长为．，，，解得：，答：旗杆的高度为；（2）解：由题意可知：，，，过点作，垂足为，则，，，，答：标杆与旗杆的水平距离为．14．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处．(1)求小凳子顶点与墙面的距离；(2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度．【答案】(1)小凳子顶点与墙面的距离为(2)小凳子宽的长度为，木杆的长度为【分析】（1）过作垂直于墙面，垂足为点，则，勾股定理即可求解．（2）延长交墙面于点，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则，由题意可知，OM=80cm由勾股定理得：AM=O答：小凳子顶点与墙面的距离为；（2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则CB=(x+70)cm,BN=(x+60)在中，由勾股定理得：，即(x+60)2解得：，

∴AB=60cm答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为．15．项目主题小区路灯维修梯子使用方案项目背景路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面．测量示意图说明：点、、、在同一竖直平面内问题解决：(1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由；(2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长．【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可；（2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长．【详解】（1）解：灯杆与地面垂直．理由如下：，，．是直角三角形．，即灯杆与地面垂直；（2）解：由题意得（）．∵，∴在中，（），（）．答：的长为．覆盖六特殊平行四边形的证明16．如图，菱形的对角线、交于点O，，．(1)证明：四边形是矩形；(2)若，，求的长度．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据两组对边分别平行的条件，判定四边形是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，得到是直角，由此可证明该平行四边形是矩形；（2）根据菱形对角线互相平分的性质，求出和的长度；再利用矩形的性质，得到与相等，结合勾股定理计算的长度即可得到的长度．【详解】（1）解：，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，平行四边形是矩形；（2）解：四边形是菱形，、，由（1）知，，在中，由勾股定理得：，四边形是矩形，．17．如图，在四边形中，，，，过点作，，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若四边形的周长为36，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)144【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证得四边形是菱形；（2）先证明四边形是矩形，从而得到，由四边形是菱形，，得到，，，根据勾股定理得到，从而得到，最后求得．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）解：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形，∵矩形的周长为36，∴，∵四边形是菱形，，∴，，，∴，∵，∴在中，根据勾股定理，，∴，∴．答：四边形的面积为144．18．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接．(1)如图，点在边上，满足，连接，求证：；(2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形；(3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)最小值为．【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证；（）证明，所以，，然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形；（）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，设与交于点，∴，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵正方形边长为，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形；（3）解：由（）知，四边形是正方形，∴，，∵正方形中，，，∴，∵点在的延长线上，且在上，∴四边形是矩形，∴，设，则，∴，在中，由勾股定理得：∵，∴当时，取得最小值，最小值为．∴的最小值为．覆盖七一次函数的解决应用19．为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生．(1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？(2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．设租用辆甲型客车，租车的总费用为元．甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320①求与的函数解析式；②求学校租车最少的总费用．【答案】(1)参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名(2)①；②最少是2800元【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；（2）①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，进一步确定关于的函数解析式即可；②根据题意，得，求解可得的取值范围，然后结合一次函数的性质，易得随的增大而增大，故当时，学校租车总费用最少，即可获得答案．【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名，根据题意得：，解得，答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名；（2）①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，∴租车的总费用；②根据题意，得，，在中，，随的增大而增大，∴当时，，∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元．20．平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次．(1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围；(2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？【答案】(1)，且为整数(2)安排甲型货船出航30次.乙型货船出航30次可使总运量最大.最大总运量为1800吨【分析】（1）先表示出乙型货船的出航次数，再根据的限制条件和总运营成本的限制列出不等式组，求解即可得到的取值范围；（2）列出总运量关于的一次函数，根据一次函数的增减性结合的范围，求出总运量的最大值，即可得到对应出航安排．解题的关键在于应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化情况，结合自变量的取值范围确定最值．【详解】（1）解：由题意知，甲型货船出航次，则乙型货船出航次，为非负整数，根据题意列不等式组：，解不等式，因此，且为整数；（2）解：设总运量为吨，根据题意得：，，随的增大而减小，，当时，取得最大值，此时（吨），乙型货船出航次数为（次），答：安排甲型货船出航30次，乙型货船出航30次，可使总运量最大，最大总运量为1800吨．21．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）．(1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式．(2)小红骑行了42分钟，应付多少元？(3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？【答案】(1)（所得结果进一取整，）(2)元(3)【分析】（1）先固定起步价2元，再用超出时间除以10，按“进一取整”算超时次数，乘以1.5元，合理写出费用表达式并注明取整规则．（2）先算出超出15分钟的时长，除以10后按规则进一取整，算出超时费，再加起步价2元，得到总费用．（3）先减去起步价算出超时费，再算出超时费对应的取整后次数，反推超出时间的不等式，进而解出总骑行时间的范围．【详解】（1）解：前15分钟固定收费2元，超出15分钟的时间为分钟，超时费每10分钟1.5元，不足10分钟按10分钟进一计费，应付费用（对所得结果进一取整，），（2），超出时间：分钟，，按规则进一取整为3，；（3）解：，（对的结果进一取整），（进一取整后），的值进一取整后为4，即满足：，，∴．覆盖八二次根式的规律22．小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小山的探究过程．请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：特例2：特例3：特例4：_____．（填写一个符合上述运算特征的例子）：(2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：_____．(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律化简：．【答案】(1)；(2)(3)证明见解析；(4)【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；（3）对（2）的等式的左边进行整理，即可求证；（4）利用（2）中的规律进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：；（2）解：特例1：特例2：特例3：用含的式子表示为：；（3）解：等式左边右边，故猜想成立；（4）解：．故答案为：．23．【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律．第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……【规律发现】(1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________；(2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）；【规律应用】(3)利用上述规律计算：．【答案】(1)7，2028；(2)（或）；(3)54【分析】（1）根据前几个等式两边的变化规律可得答案；（2）根据前几个等式两边的变化规律可得答案；（3）根据（2）中规律计算各数，再合并同类项可得答案．【详解】（1）解：；；（2）解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……以此类推，第个等式：；（3）解：．24．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．第1个等式；第2个等式；第3个等式；第4个等式；第5个等式_________（根据规律填空）(2)观察、归纳、得出猜想．第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律．若（a，b均为正整数），则的值为_________．【答案】(1)(2)(3)见解析(4)【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：第n个等式为，故答案为：；（3）证明：；（4）解：根据和，得，解得，∴，故答案为：．覆盖九尺规作图25．如图，在中，．(1)【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：①作边的中线；②再作点关于点的对称点，并连接、；(2)【推理证明】求证：四边形是菱形．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析【分析】（1）先作线段的垂直平分线，与交于点，连接即得到边上的中线，再延长至点，使，最后连接、，即可完成全部作图；（2）先由得出是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，结合利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，最后结合这一组邻边相等的条件，即可证明该平行四边形是菱形．【详解】（1）解：①如图所示，即为所求．②如图所示，点、、即为所求．（2）证明：∵，∴是等腰三角形．∵是边的中线，∴．∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．26．如图，四边形是矩形．(1)实践与操作：①以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接；②过点作的垂线，垂足为（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．(2)猜想与证明：在（1）的基础上，猜想与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据要求及垂线的作法作图即可；（2）由作图可知，根据矩形的性质得到，，进而得到，证明，可知．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：．理由如下：由作图可知．四边形是矩形，，．，，．在和中，，．27．小红学习了平行四边形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了矩形的一种作图方法．以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空：如图，四边形是平行四边形，对角线所在直线与相交于点．(1)用尺规完成以下作图：在射线上截取，连接，，在右侧作交射线于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：四边形是矩形．证明：∵四边形是平行四边形，，①．．∵②．．即：．在和中，，．．∴④．，∴OB=OD=OE=OF．．∴四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)；；；四边形是平行四边形【分析】（1）根据作图步骤即可作图；（2）先证明，即可证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）证明：∵四边形是平行四边形，，．．∵．．即：．在和中，，．．∴四边形是平行四边形．，∴OB=OD=OE=OF．．∴四边形是矩形覆盖十勾股定理的证明28．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理；图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理．(1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理．(2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______；A．函数思想

B．整体思想

C．分类讨论思想

D．数形结合思想【知识应用】(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长．【答案】(1)见解析(2)D(3)新修路的长为0.8千米【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明．（2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答；（3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答．【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明：∵，∴，∴；根据“总统证法”进行证明：∵，∴，∴，∴；（2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．故选：D；（3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米）∵，∴在中，，在中，，∴，解得，∴千米，∴（千米）．答：新修路的长为0.8千米．29．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．(1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理．(2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？(3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？【答案】(1)见解析(2)新路比原路少1米(3)米【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用：（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证．（2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得