2026年人教版高中数学必修第一册第8单元概率统计专项训练习题及答案

2026年人教版高中数学必修第一册第8单元概率统计专项训练习题及答案第1页共1页2026年人教版高中数学必修第一册第8单元概率统计专项训练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.一个袋子里有5个红球和3个白球，这些球除了颜色外完全相同。从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？A.3/8B.5/8C.3/5D.1/2参考答案：B2.某校高一年级有500名学生，其中男生占60%，女生占40%。现要从中随机抽取50名学生参加一项活动，抽到的学生中男生人数的期望值是多少？A.25B.30C.35D.40参考答案：B3.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,10的10张卡片，它们被充分混合后随机抽取一张。抽到标号为偶数的卡片的概率是多少？A.1/2B.1/3C.2/5D.3/5参考答案：A4.某射手每次射击命中目标的概率为0.7。他连续射击3次，恰好命中2次的概率是多少？A.0.147B.0.21C.0.441D.0.343参考答案：B5.一个班级有30名学生，其中10名是团员。现要随机选出4名学生组成一个小组，小组中恰好有2名团员的概率是多少？A.1/3B.1/4C.3/10D.1/5参考答案：C6.某公交线路每天有6班次，每班次间隔时间相同。乘客在任意时刻到达车站，他等待时间不超过10分钟的概率是多少？（假设每班次间隔时间为30分钟）A.1/3B.1/6C.1/2D.2/3参考答案：A7.一个袋子里有4个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外完全相同。从中随机摸出两个球，两个球都是红球的概率是多少？A.1/15B.2/15C.4/15D.1/5参考答案：C8.某市公交车有A、B、C三条线路，它们之间的换乘概率分别为：从A到B的概率为0.2，从B到C的概率为0.3，从C到A的概率为0.1。一个人从A线路出发，经过一次换乘后到达B线路的概率是多少？A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5参考答案：A9.一个盒子里装有标号为1,2,3,...,12的12张卡片，它们被充分混合后随机抽取两张。抽到的两张卡片标号之和为奇数的概率是多少？A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3参考答案：C10.某校高一年级有500名学生，其中男生占60%，女生占40%。现要从中随机抽取50名学生参加一项活动，抽到的学生中男生人数的标准差是多少？A.6B.8C.10D.12参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）1.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且事件A与事件B互斥，则事件A与事件B同时发生的概率为______。参考答案：02.一个袋中有5个红球，3个白球，从中随机抽取2个球，则抽取到的2个球颜色相同的概率为______。参考答案：5/213.某校高三年级有500名学生，其中男生300名，女生200名。现随机抽取1名学生，抽到男生的事件记为M，则事件M的概率P(M)=______。参考答案：3/54.已知一组数据：3,5,7,9,11，则这组数据的方差S²=______。参考答案：85.在一次掷两枚均匀硬币的实验中，事件“至少出现一个正面”的概率为______。参考答案：3/46.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则n和p的值分别为______和______。参考答案：12,1/27.从一副标准的52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率为______。参考答案：1/48.已知事件A的概率P(A)=0.4，事件B的概率P(B)=0.5，且P(A∪B)=0.7，则事件A与事件B相互独立的概率为______。参考答案：0.49.一个盒子里有10个灯泡，其中3个是坏的，7个是好的。现随机取出3个灯泡，则取出的3个灯泡都是好的概率为______。参考答案：7/2410.若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ²)，且P(Yμ-σ)=0.1587，则P(μ+σYμ+2σ)=______。参考答案：0.1359三、判断题（共10小题，每题2分）1.在一次随机试验中，事件A发生的概率为0.6，则事件A发生的可能性比事件B发生的可能性大。参考答案：×2.如果一个样本的方差S^2=0，那么这个样本的所有数据都相等。参考答案：√3.从一副标准的52张扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是1/4。参考答案：√4.在等可能事件的概率计算中，所有基本事件的个数必须是有限的。参考答案：√5.已知一组数据5,x,7,9的众数是7，则这组数据的平均数是7。参考答案：×6.如果事件A和事件B互斥，那么事件A和事件B的概率之和等于它们同时发生的概率。参考答案：×7.在一个班级中，随机抽取一名学生，抽到男生的概率为0.5，那么抽到女生的概率也是0.5。参考答案：√8.样本频率分布直方图中的每个小长方形的面积表示相应组的频率。参考答案：√9.从一个装有3个红球和2个白球的袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是3/5。参考答案：√10.如果一个随机事件发生的概率是0，那么这个事件一定不会发生。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述古典概型的两个基本特征。参考答案：古典概型的两个基本特征是：①试验中所有可能出现的基本事件是有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。2.说明频率分布直方图与频率分布折线图的主要区别。参考答案：频率分布直方图与频率分布折线图的主要区别在于：①表示方式不同，直方图用矩形的面积表示频数，折线图用线段的连接表示频率变化；②视觉效果不同，直方图更直观地显示数据分布的密集程度，折线图更清晰地展示频率的增减趋势。3.列举离散型随机变量分布列的两个基本性质。参考答案：离散型随机变量分布列的两个基本性质是：①所有概率之和等于1，即∑P(X=xᵢ)=1；②每个概率值非负，即P(X=xᵢ)≥0。4.分析样本频率分布直方图中，各矩形的高代表什么含义。参考答案：样本频率分布直方图中，各矩形的高代表该组数据的频率密度。5.解释什么是互斥事件，并举例说明。参考答案：互斥事件是指在一次试验中，不可能同时发生的两个事件。例如，抛掷一枚硬币，事件“出现正面”与事件“出现反面”是互斥的，因为同一次抛掷不可能同时出现正面和反面。6.列举几何概型的两个基本特征。参考答案：几何概型的两个基本特征是：①试验的全部结果构成的集合是一个可度量的几何区域（如线段、面积、体积）；②每个基本事件发生的可能性只与对应几何区域的度量（长度、面积、体积）成正比，与位置无关。7.简述抽样方法中分层抽样的适用条件。参考答案：分层抽样的适用条件包括：①总体由差异明显的几部分组成，可以按照某种特征（如性别、年级、成绩等）将总体划分为若干个互不重叠的层；②各层内部个体差异较小，而层与层之间差异较大；③需要从各层中按比例或按特定要求抽取样本。8.说明线性回归方程中，系数b₀和b₁分别代表什么统计意义。参考答案：线性回归方程中，系数b₀（截距）表示当自变量x=0时因变量y的预测值；系数b₁（斜率）表示自变量x每增加一个单位时因变量y的平均变化量。五、应用题（共8小题，每题3分）1.一个袋子里有5个红球，3个白球，2个黑球，这些球除了颜色外完全相同。从中随机抽取一个球，记下颜色后放回，再随机抽取一个球。求两次都抽到红球的概率。参考答案：5/492.某射手每次射击命中目标的概率是0.7。他连续射击3次，求恰好命中2次的概率。参考答案：21/643.一个班级有40名学生，其中男生20名，女生20名。现要随机选出3名学生组成一个小组，求小组中恰好有2名男生和1名女生的概率。参考答案：8/494.某城市每天下雨的概率是0.4。连续三天中，求至少有两天下雨的概率。参考答案：0.7845.一个盒子里有10个灯泡，其中3个是坏的，7个是好的。从中随机抽取2个灯泡，求两个灯泡都是好的概率。参考答案：21/406.某次考试中，选择题有5道，每道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的。某学生随机回答这5道选择题，求他至少答对3道的概率。参考答案：13/327.一个袋子里有4个大小相同的球，分别标有数字1、2、3、4。从中随机抽取一个球，记下数字后放回，再随机抽取一个球。求两次抽取的数字之和大于6的概率。参考答案：5/168.某公交线路有5个站点，公交车在每个站点停靠的概率都是0.2。求公交车在连续经过两个站点时，恰好停靠一个站点的概率。参考答案：3/5标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：袋子里共有8个球，其中5个是红球。因此，摸到红球的概率是5/8。选项A、C、D的概率计算错误。2.参考答案：B解析：男生人数的期望值等于男生总数乘以抽样比例，即500×60%×(50/500)=30。选项A、C、D的计算错误。3.参考答案：A解析：盒子里共有10张卡片，其中5张是偶数（2,4,6,8,10）。因此，抽到标号为偶数的卡片的概率是5/10=1/2。选项B、C、D的概率计算错误。4.参考答案：B解析：射手每次射击命中目标的概率为0.7，未命中的概率为0.3。连续射击3次，恰好命中2次的概率为C(3,2)×0.7^2×0.3=0.21。选项A、C、D的概率计算错误。5.参考答案：C解析：班级共有30名学生，其中10名是团员。随机选出4名学生组成一个小组，小组中恰好有2名团员的概率为C(10,2)×C(20,2)/C(30,4)=3/10。选项A、B、D的概率计算错误。6.参考答案：A解析：公交线路每天有6班次，每班次间隔时间为30分钟，因此总时间为180分钟。乘客在任意时刻到达车站，他等待时间不超过10分钟的概率是10/180=1/18。选项B、C、D的概率计算错误。7.参考答案：C解析：袋子里共有10个球，其中4个是红球。从中随机摸出两个球，两个球都是红球的概率为C(4,2)/C(10,2)=4/15。选项A、B、D的概率计算错误。8.参考答案：A解析：从A线路出发，经过一次换乘后到达B线路的概率为从A到B的概率，即0.2。选项B、C、D的概率计算错误。9.参考答案：C解析：盒子里共有12张卡片，其中6张的标号之和为奇数（1+2,1+4,...,11+12）。因此，抽到的两张卡片标号之和为奇数的概率是6/12=1/2。选项A、B、D的概率计算错误。10.参考答案：B解析：男生人数的方差为n×p×(1-p)=500×60%×(1-60%)=120。标准差为方差的平方根，即√120≈10.95。选项A、C、D的计算错误。二、填空题1.参考答案：0解析：事件A与事件B互斥，意味着A与B不能同时发生，因此P(A∩B)=0。根据概率的基本性质，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.6+0.7-0=1.3，但由于概率值不能超过1，所以P(A∩B)=0。2.参考答案：5/21解析：从8个球中抽取2个球的总情况数为C(8,2)=28。抽取到的2个球颜色相同的情况数为C(5,2)+C(3,2)=10+3=13。因此，抽取到的2个球颜色相同的概率为13/28。但题目要求颜色相同，所以需要重新计算，实际上应该是C(5,2)/C(8,2)=10/28=5/14。3.参考答案：3/5解析：从500名学生中随机抽取1名学生，抽到男生的概率为男生人数除以总人数，即P(M)=300/500=3/5。4.参考答案：8解析：首先计算这组数据的平均数，即(3+5+7+9+11)/5=7。然后计算每个数据与平均数的差的平方，分别为16,4,0,4,16。最后，将差的平方相加并除以数据个数，得到方差S²=(16+4+0+4+16)/5=8。5.参考答案：3/4解析：掷两枚均匀硬币，可能的结果有(正正,正反,反正,反反)四种。事件“至少出现一个正面”包括(正正,正反,反正)三种情况，因此概率为3/4。6.参考答案：12,1/2解析：根据二项分布的性质，E(X)=np，D(X)=np(1-p)。由题意得np=6，np(1-p)=3。解这个方程组，得到n=12，p=1/2。7.参考答案：1/4解析：一副标准的52张扑克牌中，红桃有13张。因此，抽到红桃的概率为13/52=1/4。8.参考答案：0.4解析：根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。由题意得0.7=0.4+0.5-P(A∩B)，解得P(A∩B)=0.2。由于事件A与事件B相互独立，所以P(A∩B)=P(A)P(B)=0.40.5=0.2，因此概率为0.4。9.参考答案：7/24解析：从10个灯泡中随机取出3个灯泡的总情况数为C(10,3)=120。取出的3个灯泡都是好的情况数为C(7,3)=35。因此，取出的3个灯泡都是好的概率为35/120=7/24。10.参考答案：0.1359解析：根据正态分布的性质，P(Yμ-σ)=0.1587，意味着μ-σ是Y的分布的下1个标准差分位点。因此，P(μ+σYμ+2σ)=P(Yμ+2σ)-P(Yμ+σ)=0.8413-0.9772=0.1359。三、判断题1.参考答案：×解析：概率是描述事件发生可能性大小的一个度量，但题目中并未给出事件B发生的概率，因此无法比较事件A和事件B发生的可能性大小。2.参考答案：√解析：样本方差是样本数据与样本平均数差的平方的平均数，如果方差为0，说明每个数据与平均数之差都为0，即所有数据都相等。3.参考答案：√解析：一副标准的52张扑克牌中，红桃有13张，因此抽到红桃的概率是13/52，即1/4。4.参考答案：√解析：等可能事件的概率计算要求所有基本事件的个数是有限的，且每个基本事件发生的可能性相等。5.参考答案：×解析：众数是出现次数最多的数，题目中已知众数是7，但并未给出数据x的值，因此无法确定平均数。6.参考答案：×解析：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，它们概率之和等于它们至少有一个发生的概率，而不是同时发生的概率。7.参考答案：√解析：在一个班级中，男生和女生的概率之和为1，如果抽到男生的概率是0.5，那么抽到女生的概率也是0.5。8.参考答案：√解析：样本频率分布直方图中的每个小长方形的面积表示相应组的频率，这是频率分布直方图的定义。9.参考答案：√解析：从装有3个红球和2个白球的袋中随机摸出一个球，红球有3个，白球有2个，因此摸到红球的概率是3/(3+2)，即3/5。10.参考答案：√解析：概率为0的事件称为不可能事件，一定不会发生。四、简答题1.参考答案：古典概型的两个基本特征是：①试验中所有可能出现的基本事件是有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。解析：古典概型是概率论中最基本的一种概率模型，其特征在于试验结果的有限性和等可能性。这是判断一个概率问题是否属于古典概型的关键依据。特征①确保了样本空间是有限的，特征②则保证了每个基本事件发生的概率都是相同的，即1/n。这两个特征直接决定了古典概型中事件A发生的概率计算公式为P(A)=m/n，其中m是事件A包含的基本事件个数，n是基本事件总数。如果这两个特征不满足，则不能直接应用古典概型的计算方法。2.参考答案：频率分布直方图与频率分布折线图的主要区别在于：①表示方式不同，直方图用矩形的面积表示频数，折线图用线段的连接表示频率变化；②视觉效果不同，直方图更直观地显示数据分布的密集程度，折线图更清晰地展示频率的增减趋势。解析：频率分布直方图和折线图都是描述数据分布特征的常用工具，但它们在表示方式和视觉效果上存在明显差异。直方图通过将数据区间划分为若干个小区间（即矩形），用矩形的面积（=矩形的高×底宽）表示该区间内数据的频数或频率，相邻矩形通常不重叠，适合展示数据分布的集中趋势和离散程度。折线图则通过将各小区间的中点用线段依次连接，形成一条折线，用折线的起伏表示频率的波动情况，适合展示数据分布的变化趋势。两者的底宽通常表示数据分组区间，高度表示频率密度或频率。在绘制时，直方图需要调整矩形的高以表示频率（即频数/组距），而折线图则直接连接频率点。3.参考答案：离散型随机变量分布列的两个基本性质是：①所有概率之和等于1，即∑P(X=xᵢ)=1；②每个概率值非负，即P(X=xᵢ)≥0。解析：离散型随机变量X的分布列是用来描述其取值规律的概率分布，由一系列可能取值xᵢ及其对应的概率P(X=xᵢ)组成。这两个基本性质是概率分布列的核心要求，体现了概率论的基本公理。性质①保证了所有可能性的概率总和为1，符合概率的完备性要求，这是概率分布列的归一性特征。性质②则反映了概率的非负性，即任何事件发生的概率都不可能是负数，这是概率论的基本原则。这两个性质是判断一个函数是否为合法概率分布列的必要条件。如果某个分布列不满足这两个性质，则它不能被视为有效的概率分布。4.参考答案：样本频率分布直方图中，各矩形的高代表该组数据的频率密度。解析：样本频率分布直方图是一种用矩形面积表示数据频数或频率的图形，其横轴表示数据分组区间（即组距），纵轴表示频率或频率密度。由于直方图的面积表示频数（=频率×组距），为了使所有矩形总面积等于1（即所有频率之和为1），当组距不同时，必须使用频率密度（即频率/组距）作为纵轴的高度。因此，直方图中各矩形的高直接反映了对应组内数据的频率密度，即单位组距内包含的频率。高越大的矩形表示该组数据的频率密度越大，即该组数据越集中或出现次数相对较多。在绘制时，如果使用频率作为纵轴，则所有矩形的面积之和为1；如果使用频率密度作为纵轴，则所有矩形的高乘以对应的组距之和为1。5.参考答案：互斥事件是指在一次试验中，不可能同时发生的两个事件。例如，抛掷一枚硬币，事件“出现正面”与事件“出现反面”是互斥的，因为同一次抛掷不可能同时出现正面和反面。解析：互斥事件是概率论中的一个基本概念，用于描述事件之间的排斥关系。互斥事件的定义条件是：对于事件A和事件B，如果它们在一次试验中不可能同时发生，即P(A∩B)=0，那么称事件A和事件B是互斥事件。互斥事件强调的是事件发生的不可兼性，即一个事件的发生必然导致另一个事件的不发生。互斥事件可以是基本事件，也可以是由多个基本事件组合而成的事件。例如，在掷骰子的试验中，“掷出偶数点”与“掷出点数大于4”是互斥的，因为掷出6点时，既属于偶数点又属于点数大于4，但这两个事件在一次试验中不能同时满足。互斥事件是计算概率时进行加法运算的基础，即如果A和B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。6.参考答案：几何概型的两个基本特征是：①试验的全部结果构成的集合是一个可度量的几何区域（如线段、面积、体积）；②每个基本事件发生的可能性只与对应几何区域的度量（长度、面积、体积）成正比，与位置无关。解析：几何概型是概率论中的一种非古典概型，适用于试验结果无限且等可能性的情况。其基本特征决定了概率的计算方式。特征①要求样本空间Ω必须是一个具有可测度性的几何区域，如直线上的线段、平面上的图形或空间中的立体。这个区域的大小（长度、面积或体积）决定了试验的总可能性空间。特征②则表明每个基本事件发生的概率与其对应的小区域度量（长度、面积或体积）成正比，而与具体位置无关，即概率计算公式为P(A)=（事件A对应的区域度量）/（样本空间Ω的度量）。这两个特征使得几何概型的概率计算与几何测度理论紧密相关，适用于无限等可能性的随机试验。7.参考答案：分层抽样的适用条件包括：①总体由差异明显的几部分组成，可以按照某种特征（如性别、年级、成绩等）将总体划分为若干个互不重叠的层；②各层内部个体差异较小，而层与层之间差异较大；③需要从各层中按比例或按特定要求抽取样本。解析：分层抽样是一种常用的概率抽样方法，其核心思想是将总体先划分成若干个同质性强的小层，然后在各层内独立抽取样本，最后将各层样本按比例合并。这种方法适用于总体内部存在明显差异的情况。适用条件主要包括：①总体可分层：总体必须能够按照某个或某些特征（如地理位置、经济水平、学科成绩等）被合理地划分为若干个互不重叠的子集（层），且各层内部个体具有相似性，而层与层之间具有明显差异。这是分层抽样的前提，确保了分层后的同质性。②层内同质性：各层内部的个体应尽可能具有相似的特征，以减少抽样误差。③抽样比例：可以根据各层的重要性或规模确定抽样比例，通常采用等比例抽样，即每层抽取的样本量与该层个体数占总体的比例相同，也可以根据研究需要采用不等比例抽样。分层抽样能够提高样本的代表性，减少抽样误差，特别适用于总体内部差异较大的情况。8.参考答案：线性回归方程中，系数b₀（截距）表示当自变量x=0时因变量y的预测值；系数b₁（斜率）表示自变量x每增加一个单位时因变量y的平均变化量。解析：线性回归方程y=b₀+b₁x是描述两个变量之间线性关系的数学模型，其中b₀和b₁是回归系数。这两个系数具有明确