高考数学一轮复习讲义 第二章 2.11　函数模型及其应用

2.11函数模型及其应用考试要求三年考情1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.202320242025新课标Ⅰ卷T101.六种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数型函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数型函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂型函数模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)“对勾”函数模型y=x+ax(a为常数,a>02.三种函数模型性质比较项目y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢随n值变化而不同图象的变化随x值增大,图象与y轴接近平行随x值增大,图象与x轴接近平行随n值变化而不同知识拓展1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小.2.充分理解题意并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(×)(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. (×)(3)不存在x0,使ax0<x0a<logax0(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>1)的增长速度.(√)2.(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻已经卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(D)A.40万元 B.60万元C.80万元 D.120万元解析:当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元).故该商人共获利40+80=120(万元).故选D.3.(人教A版必修第一册P119习题4.2T5改编)有一组实验数据如下表:x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是(D)A.y=2x+1-1 B.y=x3C.y=2log2x D.y=x2-1解析:将各组数据分别代入各函数可知,最能体现这组数据关系的函数模型是y=x2-1.故选D.4.(人教B版必修第二册P43例2改编)从盛满10L纯硫酸的容器里倒出1L,然后用水填满,这样继续下去,第三次填满后的硫酸浓度为(D)A.70.4% B.67.2%C.81% D.72.9%解析:每次填满后,硫酸浓度都是原来的910,所以第三次填满后的硫酸浓度为9103×100%=72.9%.考点1利用函数图象刻画变化过程【例1】一只蚂蚁从正方形的一个顶点A出发,沿着正方形的边逆时针运动一周后回到点A,假设蚂蚁运动过程中的速度大小不变,则蚂蚁与点A的距离s随时间t变化的大致图象为(A)【解析】设蚂蚁的速度为v,正方形的边长为a,则0≤t≤4av,如图,当蚂蚁位于线段AB上,即0≤t≤av时,s=vt,其图象为线段;当蚂蚁位于线段BC(不含点B)上,即av<t≤2av时,s=a2+(vt-a)2,其图象为曲线;当蚂蚁位于线段CD(不含点C)上,即2av<t≤3av时,s=a2+(3a-vt判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.【对点训练1】如图是一个无水游泳池,ABCD-A'B'C'D'是一个四棱柱,游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的.现在向泳池注水,若进水速度是均匀的(单位时间内注入的水量不变),水面与AB的交点为M,则AM的高度h随时间t变化的图象可能是(A)解析:由题意可知,当往游泳池内注水时,游泳池内的水呈“直棱柱”状,且直棱柱的高不变,刚开始水面面积逐渐增大,水的高度增长得越来越慢,当水面经过点D后,水面的面积为定值,水的高度匀速增长,故符合条件的函数图象为A.故选A.考点2利用已知函数模型解决实际问题【例2】(1)(2025·山东青岛一模)近年来,家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层,臭氧含量Q与时间t(单位:年)的关系为Q=Q0e-t400,其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为(ln2≈0.693,精确到1年) (A.265年B.266年 C.276年D.277年【解析】令Q0e-t400=12Q0,可得e-t400=12,可得-t400=ln12=-ln(2)(2025·北京卷)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加 (B)A.2h B.4hC.20h D.40h【解析】设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间(单位:h)分别为T1,T2,T3,由题意得T1=klog2106=6klog210,T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210),因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4h.故选B.应用已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数的值.【对点训练2】(1)(2025·河北秦皇岛二模)科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出来的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震,释放出来的能量为E1,2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震,释放出来的能量为E2,则E1E2=(A.10 B.4.05 C.100.05 D.104.05解析:依题意得lgE1=4.8+1.5×6.8,lgE2=4.8+1.5×4.1,两式相减,得lgE1-lgE2=1.5×(6.8-4.1),因此lgE1E2=4.05,E1E2=104(2)(2025·北京石景山区一模)经研究表明,糖块的溶解过程可以用指数型函数S=ae-kt(a,k为常数)来描述,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量.现将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,则k=(A)A.ln25C.ln2 D.ln3解析:由题意得,当t=0时,S=a=7,当t=5时,S=7e-5k=3.5,则e-5k=12,则-5k=ln12=-ln2,即k=ln25.考点3构建函数模型解决实际问题【例3】某动力电池生产企业为提高产能,计划投入7200万元购买一批智能工业机器人,使用该批智能机器人后前x(x∈N*)年的维护成本及其他成本为(800x2-400x)万元,每年电池销售收入为7600万元,设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元.(1)写出y关于x的函数关系式,并求该电池生产企业从第几年开始盈利.(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种:方案一:当总盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以2000万元的价格处理;方案二:当年平均盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以5200万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由.【解】(1)由题意可得y=7600x-(800x2-400x)-7200=-800(x2-10x+9)(x∈N*),由y>0得1<x<9且x∈N*,∴该企业从第2年开始盈利.(2)方案二更合理.理由如下:方案一,∵y=-800(x2-10x+9)=-800(x-5)2+12800,∴当x=5时,y取得最大值12800,若此时处理掉智能机器人,总利润为12800+2000=14800(万元).方案二,年平均盈利额(单位:万元)为yx=-800x+3200,当且仅当x=3时,年平均盈利额最大,若此时处理掉智能机器人,总利润为3200×3+5200=14800(万元).综上,两种方案总利润都是14800万元,但方案一需要五年,方案二仅需三年即可,故方案二更合理.应用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型(如线性数据选一次函数,指数增长选指数函数).(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型.(3)解模:求解函数模型,得出数学结论.(4)还原:将数学结论还原为实际意义的答案,需注意模型的解必须符合实际意义(如时间非负、成本有限等).【对点训练3】(2025·重庆渝北区一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量大于或者等于20mg且小于80mg认定为饮酒驾车,大于或者等于80mg认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过4个小时后才能驾驶.(结果取整数.参考数据:lg3≈0.48,lg7≈0.85)解析:设至少经过n个小时后才能驾驶,则有60×(1-30%)n<20,即0.7n<13,两边同时取对数得lg0.7n<lg13,即nlg0.7<lg13,因为lg0.7<0,所以n>lg13lg0.7=lg3-1高考真题教材典题(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lgpp0,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(ACD)A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p2解析:由题意可知Lp1∈[60,90],Lp2∈[50,60],Lp3=40.对于A,可得Lp1-Lp2=20×lgp1p0-20×lgp2p0=20×lgp1p2,因为Lp1≥Lp2,则Lp1-Lp2=20×lgp1p2≥0,即lgp1p2≥0,所以p1p2≥1且p1,p2>0,可得p1≥p2,故A正确;对于B,可得Lp2-Lp3=20×lgp2p0-20×lgp3p0=20×lgp2p3,因为Lp2-Lp3≥10,则20×lgp2p3≥10,即lgp2p3≥12,所以p2p3≥10,又(人教A版必修第一册P141习题4.4T10)声强级LI(单位:dB)由公式LI=10lgI10-12给出,其中I为声强(单位(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2,能听到的最低声强为10-12W/m2.求人听觉的声强级范围.(2)平时常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级.课时作业16(总分:100分)1.(5分)杭州亚运会火炬如图1所示,小红在数学建模活动时将其抽象为图2所示的几何体.假设火炬装满燃料,燃烧时燃料以均匀的速度消耗,记剩余燃料的高度为h,则h关于时间t的函数的大致图象可能是(A)解析:由题图可知,该火炬中间细,上下粗,燃烧时燃料以均匀的速度消耗,燃料在燃烧时,燃料的高度一直在下降,刚开始时下降的速度越来越快,燃料液面到达火炬最细处后,燃料的高度下降得越来越慢.故选A.2.(5分)(2025·福建漳州一模)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气中的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k>0,若在前5h内消除了10%的污染物,则15h后污染物含量还剩余(D)A.70% B.85%C.81% D.72.9%解析:当t=0时,P=P0·e-k·0=P0;当t=5时,P0·e-5kP0=0.9,即e-5k=0.9;当t=15时,P0·e-15kP0=e-15k=(e-5k)33.(5分)(2026·福建莆田模拟)点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离r(单位:m)的关系式为ΔL=10lg(πr2)+k,其中k为常数.当传播距离为r1时,衰减量为ΔL1;当传播距离为r2时,衰减量为ΔL2.若r2=2r1,则ΔL2-ΔL1约为(参考数据:lg2≈0.3)(A)A.6dB B.4dBC.3dB D.2dB解析:由ΔL2-ΔL1=10lg(πr22)+k-[10lg(πr12)+k]=10[lg(πr22)-lg(πr12)]=10lgπr22πr12=10lgr22r12,因为r2=2r1,所以ΔL2-4.(5分)某市一天内的气温Q(t)(单位:℃)与时刻t(单位:时)之间的关系如图所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差),C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则下列图象最接近的是(D)解析:由题意C(t)从0到4逐渐增大,从4到8不变,从8到12逐渐增大,从12到20不变,从20到24又逐渐增大,从4到8不变,是常数,该常数为2,只有D满足.故选D.5.(5分)(2026·广东深圳模拟)为了给地球减负,提高资源利用率,2025年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg1.2≈0.079,lg2≈0.301)(D)A.2028年 B.2029年C.2030年 D.2031年解析:设2025年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,则5000(1+20%)x>12800,即1.2x>2.56,则x·lg1.2>lg2.56=lg256100=lg256-2=8lg2-2,即x>8lg2-2lg1.2≈8×0.301-20.079≈5.6.(5分)(2025·山东淄博三模)随着人工智能技术的快速发展,训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长.某公司现有新一代AI芯片A,B两套研发方案,若A设计方案中初始计算量为N1,每年增长50%;B设计方案中初始计算量为N2(N2=3N1),每年增长20%.如此预计至少年后A设计方案计算量更高.(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)(B)A.4 B.5C.6 D.7解析:设x年后A设计方案计算量更高,则x年后,A设计方案计算量为N132x,B设计方案计算量为3N1·65x,则N132x>3N165x⇒7.(6分,多选)对某智能手机进行游戏续航能力测试(测试6h结束),得到了剩余电量y(单位:%)与测试时间t(单位:h)的函数图象如图所示,则下列判断中正确的有 (ACD)A.测试结束时,该手机剩余电量为85%B.该手机在5h时电量为0C.该手机在0到3h内电量下降的速度比3到5h内下降的速度更快D.该手机在5到6h进行了充电操作解析:由题图可知,对于A,测试结束时,剩余电量为85%,故A正确;对于B,5h时,剩余电量为30%,故B错误;对于C,0到3h内每小时电量下降100%-50%3≈16.7%,3到5h内每小时电量下降50%-30%2≈10%,前者下降的速度更快,故C正确;对于D,5到6h期间电量上涨,可知进行了充电操作8.(6分,多选)从2024年3月1日起,新的酒驾检验标准开始实施,只要每100mL血液中乙醇含量大于或等于20mg,就是酒驾,属于违法行为;而大于或等于80mg则认定为醉驾,属于犯罪行为.张师傅某次饮酒后,若其血液中的乙醇含量y(单位:mg/mL)与酒后代谢时间x(单位:h)的数量关系满足y=4x4x2+1,则张师傅此次饮酒后 A.当x=0.5时,血液中的乙醇含量最低B.血液中的乙醇含量开始是代谢时间x的增函数,然后是代谢时间x的减函数C.若执意驾车,完全不可能被认定为酒驾违法行为,更不可能被认定为醉驾犯罪行为D.若执意驾车,饮酒后0.5h接受乙醇含量测试,将被认定为醉驾解析:对于B,由题意可知x>0,则y=4x4x2+1=1x+0.25x,由对勾函数的性质可知y=x+0.25x在(0,0.5)上单调递减,在(0.5,+∞)上单调递增,则y=1x+0.25x在(0,0.5)上单调递增,在(0.5,+∞)上单调递减,故B正确;对于A,当x=0.5时,y=1x+0.25x取得最大值1,即当代谢时间x=0.5时,血液中的乙醇含量最高,为1mg/mL,即每100mL血液中乙醇含量为100mg,故A错误;对于C9.(5分)(2026·云南昆明模拟)根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系近似表示为如图所示的函数关系,已知第1个月时,浮萍面积为2m2,第5个月时,浮萍面积就会超过30m2,下列函数模型:①y=at+1(a>0),②y=bt2+1(b>0),③y=ct(c>0,且c≠1),④y=logd(t+1)+1(d>0,且d≠1)中,最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是③(填序号),若浮萍蔓延到3m2,则所经过的时间t=log23.解析:y=at+1(a>0)为线性增长,y=logd(t+1)+1(d>1)的增长速度会逐渐变慢,由图象可知,模型①④不符合,将t=1,y=2分别代入模型②③,得b=1,c=2,即模型②y=t2+1,模型③y=2t,当t=5时,模型②中y=26<30,不符合题意,当t=5时,模型③中y=25=32>30,符合题意.由2t=3,解得t=log23.10.(5分)(2025·湖北武汉二模)为了响应节能减排号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板,该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y=N1+Ny0-1e-px,其中N(单位:万块)为饱和度,y0(单位:万块)为初始值,p为年增长率.若该地区2025年底的光伏太阳能板保有量约为20万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为10%,饱和度为1020万块,则2031年底该地区光伏太阳能板的保有量约为36万块.(结果保留整数,参考数据:e-0.5≈0.61,e-0.6≈0.55,e解析:根据题意,得y0=20,N=1020,p=10%=0.1,x=6,则2031年底该地区光伏太阳能板的保有量y=10201+102020-1e-0.1×6=10201+50e-0.11.(19分)根据某高科技公司多年的经营数据,发现该公司每年的利润y(单位:万元)与研发投入x(单位:万元)满足函数关系式y=klog2x100(x>100),且当x=200时,y=350(1)若该公司想要明年的利润为700万元,则明年的研发投入应该为多少万元?(2)若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元,则明年的研发投入相比今年应该怎样变化?解:(1)当x=200时,y=350,所以350=klog2200100,解得k=350所以y=350log2x100(x>100令350log2x100=700,解得x=400所以明年的研发投入应该为400万元.(2)设今年的研发投入为x1万元,利润为y1万元,明年的研发投入为x2万元,利润为y2万元,所以y1=350log2x1100,y2=350log2由题意得350log2x2100-350log2x1100=175,所以log2x2100×100x1=12所以明年的研发投入相比今年应该提高至今年的2倍.12.(19分)某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少2000本.(1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元;(2)假定杂志的成本是每本1元(不计其他成本),试确定杂志提价后的价格,使杂志销售的利润最