高考数学一轮复习讲义 第十章 10.5　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式

10.5事件的相互独立性与条件概率、全概率公式考试要求三年考情1.了解两个事件相互独立的含义,会利用独立性计算概率.2.理解条件概率与独立性的关系,会利用全概率公式计算概率.202320242025新课标Ⅰ卷T21新课标Ⅱ卷T12新课标Ⅱ卷T18全国二卷T191.事件的相互独立性(1)两个事件相互独立的定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立.(2)相互独立的性质:如果事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立2.条件概率与全概率公式(1)条件概率①定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下②概率的乘法公式:由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)·P(B|A).(2)条件概率的性质:设P(A)>0,则①P(Ω|A)=1;②若B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);③设B和B互为对立事件,则P(B|A)=1-P(B|A).(3)全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|A知识拓展1.两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响,两事件相互独立不一定互斥.2.P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率,P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率.3.计算条件概率P(B|A)时,不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB).1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)对于任意两个事件A,B,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. (×)(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率.(√)(3)抛2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立.(√)(4)若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(√)2.(人教A版必修第二册P253习题10.2T4改编)端午节是我国传统节日,甲、乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是13,25,假定2人的行动相互之间没有影响,那么甲、乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为(CA.2解析:甲、乙2人端午节期间都没来无锡旅游的概率为23×35=25,则甲、乙2人端午节期间至少有13.(人教A版选择性必修第三册P46例1改编)已知P(B∣A)=12,P(AB)=38,则P(A)= (CA.3解析:由P(AB)=P(B|A)P(A),可得P(A)=P(AB)P4.(人教A版选择性必修第三册P50例4改编)某同学进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为34;若他第1球投不进,则第2球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为23,A.7C.5解析:设A,B分别表示事件“第1球投进”和“第2球投进”,则由已知条件,知P(B|A)=34,P(B|A)=14,P(A)=23,则P(A)=1-P(A)=1-23=13.故P(B)=P(B|A)·P(A)+P(B|A)P(A考点1相互独立事件的概率【例1】(1)(多选)某人抛掷一颗均匀的骰子两次,事件M表示“第一次掷出的点数是3”,事件N表示“第二次掷出的点数是4”,事件Q表示“两次掷出的点数之和是9”,事件S表示“两次掷出的点数之和是7”,则(ABD)A.事件M与N相互独立B.事件M与S相互独立C.事件N与Q相互独立D.事件N与S相互独立【解析】依题意,P(M)=16,P(N)=16,事件Q包含(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),共4种情况;事件S包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种情况.对于A,P(MN)=136=P(M)P(N),事件M与N相互独立,故A正确;对于B,P(S)=636=16,P(MS)=136=P(M)P(S),事件M与S相互独立,故B正确;对于C,P(Q)=436=19,P(NQ)=136≠P(N)P(Q),事件N与Q不相互独立,故C错误;对于D,P(NS)=136=P(N)P(S(2)某公司有甲、乙两个部门,每个部门各有7名员工,其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工,乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工,现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换,交换完成后,再从甲部门随机选出一名员工,则该员工是经验丰富的员工的概率为(C)A.138【解析】从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换,有以下四种情况:第一种,甲部门经验丰富的员工与乙部门经验丰富的员工交换,则概率为57×47=2049,第二种,甲部门新员工与乙部门新员工交换,则概率为27×37=649,第三种,甲部门经验丰富的员工与乙部门新员工交换,则概率为57×37=1549,第四种,甲部门新员工与乙部门经验丰富的员工交换,则概率为27×47=849,第一种与第二种甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工,则随机选出一名员工,为经验丰富的员工的概率为57,第三种甲部门有1.判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.(2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.(3)转化法:由事件A与事件B相互独立知,A与B,A与B,A与B2.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.【对点训练1】(1)(多选)连续抛一枚硬币两次,事件A表示“第一次硬币正面朝上”,事件B表示“第二次硬币反面朝上”,事件C表示“两次硬币都正面朝上”,事件D表示“两次硬币朝上的情况不同”,则(BD)A.A与C相互独立 B.A与D相互独立C.B与C相互独立 D.B与D相互独立解析:P(A)=12,P(B)=12,P(C)=12×12=14,P(D)=1×12=12.对于A,P(AC)=12×12=14,P(A)·P(C)=12×14=18,P(AC)≠P(A)·P(C),故A与C不相互独立,故A错误;对于B,P(AD)=12×12=14,P(A)·P(D)=12×12=14,有P(AD)=P(A)·P(D),故A与D相互独立,故B正确;对于C,P(BC)=0,故B与C不相互独立,故C错误;对于D,P(BD)=(2)(一题多解)甲、乙两人向同一目标各射击1次,已知甲、乙击中目标的概率分别为34,45,则目标至少被击中1次的概率为解析:方法一设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,则P(A)=34,P(B)=45,所以目标至少被击中1次的概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=方法二设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,则P(A)=34,P(B)=45,P(A)=14,P(B)=15,所以目标没有被击中的概率为P(A)P(B)=14×15考点2条件概率【例2】(1)(2025·山东济宁一模)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用3局2胜制,如果每局比赛甲获胜的概率为0.7,乙获胜的概率为0.3,且各局比赛结果相互独立,那么在甲获胜的条件下,比赛进行了3局的概率为(C)A.3C.3【解析】设甲获胜为事件A,比赛进行了3局为事件B,则P(A)=0.7×0.7+2×0.7×0.3×0.7=0.784,P(AB)=2×0.7×0.3×0.7=0.294,所以P(B|A)=P(AB)P(2)(2025·江西萍乡二模)若随机事件A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(B|A)=0.5,则P(B|A)=0.25.【解析】由P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(B|A)=0.5,可得P(B|A)=P(AB)P(A)=0.5,即P(AB)=0.5×0.6=0.3,由P(B)=P(AB)+P(AB)=0.4,可得P(AB)=0.1,所以P(B|A)求条件概率的常用方法(1)定义法:P(B|A)=P((2)样本点法:P(B|A)=n((3)缩样法:去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解.【对点训练2】(1)(人教A版选择性必修第三册P46例1(2)改编)用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位数,则在数字1,3相邻的条件下,数字2,4,6也相邻的概率为310解析:设事件A为“数字1,3相邻”,事件B为“数字2,4,6相邻”,因为1,3必须相邻,所以将1,3看成一个整体与2,4,5,6全排列(题眼),则数字1,3相邻时的六位数的个数为A22A55=240(技巧总结:当排列组合题目中出现部分元素相邻时,可将相邻元素捆绑在一起看成一个整体,然后与其他元素共同排列(注意考虑被捆绑的元素内部是否有顺序)).又2,4,6也需相邻,同样将2,4,6看成一个整体,然后再排列,则数字1,3相邻,数字2,4,6也相邻的六位数的个数为A22A33A(2)(2025·河北秦皇岛一模)已知P(B)=P(AB)=14,则P(A|B)=2解析:因为P(B)=P(AB)=14,所以P(B)=34,P(A|B)=考点3全概率公式及应用【例3】(2025·湖南长沙二模)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰,发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时,接收为0和1的概率分别为0.8和0.2;发送1时,接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76,则发送信号为1的概率为 (C)A.0.2 B.0.5C.0.8 D.0.9【解析】根据题意,设事件A0为“发送信号为0”,事件A1为“发送信号为1”,事件B0为“接收信号为0”,事件B1为“接收信号为1”,则P(B0|A0)=0.8,P(B1|A0)=0.2,P(B0|A1)=0.1,P(B1|A1)=0.9.设发送信号为1的概率为x,则接收信号为1的概率P=P(A0)P(B1|A0)+P(A1)P(B1|A1)=(1-x)×0.2+x×0.9=0.76,解得x=0.8,即发送信号为1的概率为0.8.故选C.利用全概率公式求解概率的步骤(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n).(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai).(3)代入全概率公式计算.注意:对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn.【对点训练3】已知甲箱中有2个红球和3个黑球,乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同),某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出2个球,记“从乙箱中取出的球是2个黑球”为事件B,则P(B)=(D)A.6解析:记“从甲箱中取出的球为红球”为事件A1,“从甲箱中取出的球为黑球”为事件A2,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=25×C3贝叶斯公式链接教材:(人教A版选择性必修第三册P51思考)设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有.【典例】(1)设有甲、乙两箱数量相同的产品,甲箱中产品的合格率为90%,乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件,经检验不合格,放回原箱后在该箱中再随机取一件产品,则该件产品合格的概率为(A)A.5【解析】设事件B1表示任选一件产品,来自甲箱,事件B2表示任选一件产品,来自乙箱,事件A表示从两箱产品中任取一件,恰好不合格,P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=0.1×0.5+0.2×0.5=0.15,又P(B1|A)=P(AB1)P(A)=P(A|B1)P(B1)(2)(多选)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A,B存在如下关系:P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B).王同学连续两天在某高校的甲、乙两家餐厅就餐,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44C.第二天去了甲餐厅,则第一天去乙餐厅的概率为5D.第二天去了乙餐厅,则第一天去甲餐厅的概率为4【解析】设A1:第一天去甲餐厅,A2:第二天去甲餐厅,B1:第一天去乙餐厅,B2:第二天去乙餐厅,则P(A1)=0.4,P(B1)=0.6,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.5.对于A,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,故A正确;对于B,P(B2)=1-P(A2)=0.46,故B错误;对于C,P(B1|A2)=P(B1)P对于D,P(A1|B2)=P(A1)[1-P(高考真题教材典题(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(B)A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立解析:事件甲发生的概率P(甲)=16,事件乙发生的概率P(乙)=16,事件丙发生的概率P(丙)=56×6=536,事件丁发生的概率P(丁)=66×6=16.对于A,事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误;对于B,事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6=136,P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确;对于C,事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6=136,P(乙丙)≠P(乙)P(丙),(人教A版必修第二册P251例1)一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立?课时作业74(总分:90分)1.(5分)某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为1∶1,其中甲班中女生占45,乙班中女生占35,则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为(AA.7解析:依题意该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率P=12×452.(5分)(2025·云南红河三模)某届大学生运动会将在某市举行.某电视台为了报道此次运动会,计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道.若记者甲被选中,则记者乙也被选中的概率为(D)A.1解析:设“记者甲被选中”为事件A,“记者乙被选中”为事件B,则“记者甲和记者乙都被选中”为事件AB.因为n(A)=4,n(AB)=1,所以P(B|A)=n(AB)n3.(5分)已知随机事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.3,P(B)=0.6,若P(B|A)=0.4,则P(AB)= (C)A.0.5 B.2C.0.12 D.0.18解析:由P(AB)=P(B|A)P(A),可得P(AB)=0.4×0.3=0.12.故选C.4.(5分)甲、乙两人在玩抛掷骰子游戏,各抛掷一次,设得到的点数分别为x,y,A表示事件“x>4”,B表示事件“y为奇数”,C表示事件“x+y>8”,D表示事件“x+y=7”,则相互独立的事件是 (D)A.A与C B.B与CC.C与D D.B与D解析:由题意得,事件A:“x>4”的情况有(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共12种,所以P(A)=1236=13.事件B:“y为奇数”的情况有(1,1),(1,3),(1,5),(2,1),((2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),(6,1),(6,3),(6,5)共18种,所以P(B)=1836=12.事件C:“x+y>8”的情况有(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共10种,所以P(C)=1036=518.事件D:“x+y=7”的情况有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6种,所以P(D)=16.对于A,因为P(AC)=736≠P(A)P(C),所以A与C不独立,故A错误;对于B,因为P(BC)=436=19≠P(B)P(C),所以B与C不独立,故B错误;对于C,因为事件C与D不能同时发生,所以P(CD)=0≠P(C)P(D),故C错误;对于D,P(BD)=336=112=P(B5.(5分)(2025·浙江台州二模)已知一个盒子里有4个大小、形状完全相同的小球,其中2个红球,2个黑球,现从中任取两球,若已知一个是红球,则另一个也是红球的概率是 (A)A.1C.1解析:设事件A为在所取的球中有一个是红球,事件B为另一个也是红球,则P(A)=C22+C21C21C42=56,P(AB)=6.(5分)设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片,现有20块该规格的芯片,其中甲、乙生产的芯片分别为12块、8块,且乙生产该芯片的次品率为120,现从这20块芯片中任取一块芯片,若取得芯片的次品率为0.08,则甲生产该芯片的次品率为(BA.1解析:设事件A1,A2分别表示取得的这块芯片是由甲、乙生产的,事件B表示取得的芯片为次品,设甲生产该芯片的次品率为p,则P(A1)=1220=35,P(A2)=25,P(B|A1)=p,P(B|A2)=120,则由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=35×p+25×17.(5分)(2026·山东潍坊一模)某学校组织中国象棋比赛,甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取3局2胜制,假设每局比赛中甲获胜的概率均为23,且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是(DA.1解析:设甲获胜为事件A,甲第一局获胜为事件B,则P(A)=23×23+23×13×23+13×23×28.(8分,多选)现有甲、乙、丙、丁四名同学,甲擅长乒乓球,乙擅长篮球,丙既擅长乒乓球又擅长篮球,丁擅长足球与羽毛球,现从这四名同学中任选一名,记事件M=“所选学生擅长乒乓球”,事件N=“所选学生擅长篮球”,事件H=“所选学生擅长足球”,则 (BC)A.M与N互斥 B.M与H互斥C.M与N相互独立 D.M与H相互独立解析:由题设,事件M所选学生为甲或丙,则P(M)=12,事件N所选学生为乙或丙,则P(N)=12,事件H所选学生为丁,则P(H)=14.对于A,C,显然M,N不互斥,存在都选丙的可能,且P(MN)=14=P(M)P(N),故A错误,C正确;对于B,D,M,H互斥,即P(MH)=0≠P(M)P(H),故B正确,D错误9.(8分,多选)(人教A版选择性必修第三册P47例2改编)已知事件A,B满足P(A)=12,P(B|A)=14,P(B|A)=23,则A.P(AB)=18 B.P(B|A)=C.P(B|A)=13 D.P(B)=解析:对于A,P(AB)=P(A)·P(B|A)=12×14=18,故A正确;对于B,P(B|A)=1-P(B|A)=1-14=34,故B错误;对于C,P(B|A)=1-P(B|A)=1-23=13,故C正确;对于D,P(A)=1-P(A)=1-12=12,则P(B)=P(A)P(10.(8分,多选)(2025·山东泰安二模)某校举办清明诗会,在抽奖环节中,抽奖箱中放有分别写有“我”“是”“中”“国”“人”字样的五张卡片,甲、乙、丙三位同学每人抽一张,抽后不放回.抽奖规则如下:若抽到写有“我”或“是”字的卡片,则不中奖;若抽到写有“中”字的卡片,则该同学中一等奖;若抽到写有“国”或“人”字的卡片,则抛一枚质地均匀的硬币,若硬币国徽一面朝上,则该同学中二等奖,否则不中奖.下面说法正确的是(ACD)A.每位同学中一等奖的概率为1B.甲同学中二等奖的概率为1C.若甲同学中奖,则其中一等奖的概率为1D.三位同学都中奖的概率为1解析:对于A,由题知,抽奖箱共有五张卡片,写有“中”字的卡片只有一张,由古典概型概率公式可知,从五张卡片中抽取一张卡片,中一等奖的概率为15,故A正确;对于B,由题知甲同学中二等奖的概率为P1=25×12=15,故B错误;对于C,记事件E:甲同学中奖,事件F:甲同学中一等奖,则P(E)=15+25×12=25,P(EF)=15,所以P(F|E)=P(EF)P(E)=1511.(4分)已知随机事件M,N.若P(N)=25,P(M|N)=13,P(M∪N)=35,则P(N|M)解析:P(N)=25,P(M|N)=13,则P(MN)=P(N)P(M|N)=25×13=215,P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(MN),即35=P(M)+25−215,解得P12.(4分)(2025·四川绵阳三模)在一次知识竞赛中,小张需要按顺序依次回答甲、乙、丙3个问题,已知他答对甲、乙、丙问题的概率分别为0.8,0.5,0.2,各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对,可获得额外加分,则小张获得额外加分的概率为0.42.解析:由题意,至少能够连续将2道题都答对,包含的情况有甲、乙都对,丙正误都可;甲错误,乙、丙对.则小张获得额外加分的概率为0.8×0.5+(1-0.8)×0.5×0.2=0.42.13.(5分)(人教A版选择性必修第三册P50例4改编)某校举办科学竞技比赛,有A,B,C3种题库,A题库有5000道题,B题库有4000道题,C题库有3000道题.小申已完成所有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72,现他从所有的题中随机选一题,正确率是0.85.解析:A题库占50005000+4000+3000=512,B题库占40005000