2026年奥数入门试题及答案

2026年奥数入门试题及答案一、单项选择题（每题5分，共50分）1.已知三个连续正整数的乘积是210，那么这三个数的和是（）A.12B.18C.20D.24答案：B解析：对210分解质因数可得210=2×3×5×7，将质因数组合为连续正整数可得5×6×7=210，因此三个数分别为5、6、7，和为5+6+7=18，本题选B。2.把一根木头锯成5段需要12分钟，照这个速度，锯成10段需要多少分钟？（）A.24B.27C.30D.36答案：B解析：锯木头问题中，锯成的段数比锯的次数多1，因此锯成5段实际只锯了5-1=4次，每次用时12÷4=3分钟；锯成10段需要锯10-1=9次，总用时9×3=27分钟，本题选B。3.一个两位数，交换它的十位数字和个位数字后得到的新两位数比原数大45，那么满足条件的原两位数共有多少个？（）A.4B.5C.6D.7答案：A解析：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，那么原数可表示为10a+b，交换后的新数为10b+a，根据题意可得(10b+a)-(10a+b)=45，化简得9(b-a)=45，即b-a=5。由于a是十位数字，取值范围是1≤a≤8，b是个位数字，取值范围是0≤b≤9，结合b=a+5可得a+5≤9，即a≤4，因此a的取值可以是1、2、3、4，对应b为6、7、8、9，一共4个满足条件的原两位数，分别是16、27、38、49，本题选A。4.盒子里有三种颜色的球，红球3个，黄球5个，蓝球7个，闭着眼睛摸球，至少摸出多少个才能保证一定有三种颜色不同的球？（）A.8B.9C.12D.13答案：D解析：本题考查抽屉原理中的最不利原则，要保证一定拿到三种颜色的球，需要考虑最不利的情况：即先把数量最多的两种颜色的球全部摸完，再摸一个才一定是第三种颜色。本题中数量最多的两种是蓝球7个和黄球5个，共7+5=12个，此时摸出的12个球只有两种颜色，再摸1个一定是红球，因此至少需要摸12+1=13个，本题选D。5.小明在计算除法的时候，把除数32错写成23，得到的商是18还余12，正确的结果应该是（）A.14余10B.13余19C.14D.13余10答案：D解析：错中求解问题中，被除数是不变的，先根据错误的除数、商和余数求出被除数，被除数=除数×商+余数=23×18+12=414+12=426，再用被除数除以正确的除数32，可得426÷32=13……10，即正确的结果是商13余10，本题选D。6.一个大正方形边长是10厘米，小正方形四个顶点分别在大正方形四条边的中点上，那么小正方形的面积是多少平方厘米？（）A.25B.50C.75D.80答案：B解析：大正方形的面积为10×10=100平方厘米，小正方形外的四个部分是全等的直角三角形，每个直角三角形的两条直角边都是10÷2=5厘米，一个三角形的面积为5×5÷2=12.5平方厘米，四个三角形总面积为4×12.5=50平方厘米，因此小正方形面积为大正方形面积减去四个三角形面积，即100-50=50平方厘米，也可以通过割补法发现，连接正方形各边中点得到的小正方形面积是原正方形的一半，直接得到100÷2=50平方厘米，本题选B。7.有一批零件，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作3天后，剩下的由乙单独做，还需要多少天完成？（）A.7.5B.8C.8.5D.9答案：A解析：工程问题可以将工作总量设为单位1，甲的工作效率为1/10，乙的工作效率为1/15，两人合作的效率和为1/10+1/15=3/30+2/30=1/6，合作3天完成的工作量为3×1/6=1/2，剩下的工作量为1-1/2=1/2，剩余工作量由乙单独完成，所需时间为(1/2)÷(1/15)=7.5天，本题选A。8.已知a和b都是质数，且a+b=15，那么a×b等于多少？（）A.26B.36C.42D.56答案：A解析：质数指的是大于1的自然数中，除了1和自身外没有其他因数的数，除了2以外所有质数都是奇数。两个数的和15是奇数，说明两个数必然一个是奇数一个是偶数，因此唯一的偶质数2一定是其中一个，另一个数是15-2=13，13是质数，符合条件，因此a×b=2×13=26，本题选A。9.时钟在4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完？（）A.18B.20C.22D.24答案：C解析：敲钟问题中，间隔数等于敲的次数减1，敲4下有4-1=3个间隔，每个间隔用时6÷3=2秒，敲12下有12-1=11个间隔，总用时11×2=22秒，本题选C。10.甲、乙两人在周长400米的环形跑道上跑步，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑80米，两人同时从同一点同向出发，经过多少分钟甲第三次追上乙？（）A.10B.20C.30D.40答案：C解析：环形跑道同向追及问题中，每追上一次，速度快的比速度慢的多跑一圈，即400米，甲每分钟比乙多跑120-80=40米，因此追上一次需要的时间是400÷40=10分钟，追上三次需要3×10=30分钟，本题选C。二、填空题（每题6分，共48分）1.计算：123×56+123×44=________答案：12300解析：利用乘法分配律逆运算进行简便计算，原式=123×(56+44)=123×100=12300。2.找规律填数：2，6，12，20，30，________，56答案：42解析：观察数列可得，第一个数2=1×2，第二个数6=2×3，第三个数12=3×4，第四个数20=4×5，第五个数30=5×6，因此第六个数为6×7=42，第七个数7×8=56符合规律。3.一个等腰三角形的两条边长分别是5厘米和11厘米，那么它的周长是________厘米答案：27解析：等腰三角形两条腰长度相等，因此需要分两种情况讨论：第一种情况腰长为5厘米，底边长11厘米，此时三边长度为5、5、11，由于三角形任意两边之和大于第三边，5+5=10<11，无法构成三角形，排除；第二种情况腰长为11厘米，底边长5厘米，三边为11、11、5，11+5>11，符合三边关系，周长为11+11+5=27厘米。4.现有浓度为20%的糖水100克，要把它变成浓度为10%的糖水，需要加入________克水答案：100解析：加水稀释过程中糖的质量不变，原有糖的质量为100×20%=20克，稀释后浓度为10%，因此稀释后糖水总质量为20÷10%=200克，加入水的质量为200-100=100克。5.鸡兔同笼，一共有30个头，88只脚，那么兔子有________只答案：14解析：用假设法求解，假设全是鸡，30只鸡一共有30×2=60只脚，比实际少88-60=28只脚，每把一只兔子当成鸡会少算4-2=2只脚，因此兔子的数量是28÷2=14只，验证可得鸡有16只，总脚数16×2+14×4=32+56=88，符合题意。6.把100拆成两个正整数的和，一个是7的倍数，一个是11的倍数，那么这两个数的乘积最大是________答案：2464解析：设两个数分别为7a和11b，可得7a+11b=100，其中a、b为正整数，枚举可得：当b=1时，11×1=11，100-11=89，不是7的倍数；b=2时，22，100-22=78，不是7的倍数；b=3时，33，100-33=67，不是7的倍数；b=4时，44，100-44=56，56=7×8，符合条件，两个数为56和44，乘积56×44=2464；b=5时，55，100-55=45，不是7的倍数；b=6时，66，100-66=34，不是7的倍数；b=7时，77，100-77=23，不是7的倍数；b=8时，88，100-88=12，不是7的倍数；b=9时，99>100，停止枚举，因此只有一组符合条件的解，乘积为2464。7.三个小朋友的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄乘积是1680，那么三个小朋友的年龄和是________答案：36解析：对1680分解质因数可得1680=2×2×2×2×3×5×7，将质因数组合为三个连续偶数：10=2×5，12=2×2×3，14=2×7，正好满足10×12×14=1680，因此三个年龄是10岁、12岁、14岁，年龄和为10+12+14=36。8.长方形ABCD长为10厘米，宽为6厘米，E是AD边上的中点，连接BE、CE，那么三角形BEC的面积是________平方厘米答案：30解析：长方形中，三角形BEC的底为BC，长度等于长方形的长10厘米，三角形的高等于长方形的宽6厘米，因此三角形面积为10×6÷2=30平方厘米，实际上只要点E在AD边上，三角形BEC的面积始终等于长方形面积的一半，与E的位置无关，因此直接可得(10×6)÷2=30。三、解答题（共52分，需写出解答过程）1.（10分）计算：(1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)×(1/2+1/3+1/4)解：本题可以用换元法简化计算，设a=1/2+1/3+1/4，b=1/2+1/3+1/4+1/5，那么原式可以改写为：(1+a)×b-(1+b)×a=b+ab-a-ab=b-a代入a和b的表达式可得b-a=(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1/2+1/3+1/4)=1/5因此原式的计算结果为1/5。2.（10分）甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在距离中点32千米处相遇，求东西两地的总路程是多少千米？解：甲车速度比乙车快，相遇时甲车已经过了中点32千米，乙车还距离中点32千米，因此甲车比乙车多行驶的路程是32×2=64千米，甲车每小时比乙车多行驶56-48=8千米，因此两车从出发到相遇一共用时64÷8=8小时，东西两地总路程等于两车速度和乘以相遇时间，即(56+48)×8=104×8=832千米。答：东西两地总路程是832千米。3.（10分）有一个长方体，它的长、宽、高都是质数，并且它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，求这个长方体的体积。解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，都是质数，前面面积是长乘高，即ac，上面面积是长乘宽，即ab，因此面积和为ab+ac=a(b+c)=156，对156分解质因数得156=2×2×3×13，a是质数，因此a只能是2、3、13中的一个：若a=13，则b+c=156÷13=12，12可以拆分为两个质数的和：5+7=12，5和7都是质数，符合条件，此时体积为13×5×7=455立方厘米；若a=3，则b+c=52，虽然也能拆分为5+47等质数和，但根据长方体常规边长设定，长大于宽和高，本题作为入门试题，唯一符合题意的解为a=13，因此体积为455立方厘米。答：长方体体积为455立方厘米。4.（11分）幼儿园老师给小朋友分糖果，如果每人分5块，还剩17块；如果每人分7块，就少11块，问有多少个小朋友？多少块糖果？解：本题是典型的盈亏问题，我们可以用方程法求解，设一共有x个小朋友，根据糖果总数不变可得方程：5x+17=7x-11，移项得7x-5x=17+11，即2x=28，解得x=14，糖果总数为5×14+17=70+17=87块，验证：7×14-11=98-11=87，结果正确。也可以用盈亏公式直接计算：人数=(盈+亏)÷两次分配差=(17+11)÷(7-5)=28÷2=14个，糖果数计算同上。答：一共有14个小朋友，87块糖果。5.（11分）A、B两个港口之间的水路长360千米，一艘轮船从A港顺水开往B港，顺水每小时