人教版数学八年级下册 第21章 四边形（章节复习检测提高卷） 试卷 含答案

2025-2026学年人教版数学八年级下册章节复习闯关自测卷（新教材）第21章四边形●能力提升检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.42班级：姓名：学号：一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（）A．每条边都相等的多边形是正多边形B．每个内角都相等的多边形是正多边形C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形D．长方形一定是正多边形3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明从点O出发，前进10米后右转45°，再走10米后右转45°，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（

）A．70米 B．80米 C．90米 D．100米4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，与边AD交于点H，最后以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点M．若AB=7.5，BH=12，则点A，M之间的距离为（A．9 B．6 C．10 D．75．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E．若∠A=38°，则∠DCE的度数是（

A．14° B．19° C．52° D．7°6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形ABCD的边长为5，对角线AC与BD相交于O点，BD=6，延长AB至E，BF平分∠CBE，点P是BF上任意一点，则△ACP的面积为（

）A．10 B．12 C．15 D．187．（23-24八年级上·河北邢台·月考）“四边形的内角和等于360°．”对于证明该结论添加的辅助线为：其中能证明其内角和的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，以正五边形ABCDE一边AB为边在其内部作等边△ABF，延长AF交CD于点G，则∠CGF的度数为（

）A．82° B．83° C．84° D．85°9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠AED的大小为（

）A．15° B．35° C．45° D．55°10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形ABCD中，E,F,M分别是AB,CD,AC的中点．已知∠BAD+∠ABC=90∘,AD=BC=2，则EFA．1 B．2 C．32 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD．若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是______．12．（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为5，则△ABC的周长为_____．13．（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，B、C、14．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF为正方形，△AFE≌△AGE，△BGE≌△BDE，若AC=4，BD=2，设正方形CDEF的边长为x15．（2025·河南周口·一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB,CD上，将正方形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若AB=152，则线段AE的长为16．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是CD，AD上的两个动点，∠EOF=90°，则线段EF的最小值为________．17．（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边CD上，且BD=BE，若∠EBC=12°，则∠BDC的度数为______．18．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF=90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD=BC，MN⊥EF，垂足为N．求证：EN=FN．20．（本题6分）（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在边BC的延长线上，DA⊥AE，AD=AE．(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)如果F是DE的中点，求证：CF=DF．21．（本题8分）（25-26九年级上·广东河源·月考）在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE(1)求证：四边形AECF是正方形；(2)若BD=4，BE=3，求22．（本题8分）（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G分别为线段AO、DO、BC的中点，连接BE、EF、FG．(1)求证：四边形BEFG为平行四边形；(2)若AC=2CD，请判断并证明四边形BEFG的形状．23．（本题8分）（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形ABCD中，∠A=145°，(1)如图①，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，则∠BEC的度数为___________；(2)在（1）的条件下，若延长BA，CD交于点F(如图②)，将原来的条件“∠A=145°，∠D=75°”改为“∠F=40°”，其他条件不变，24．（本题8分）（2026八年级下·全国·专题练习）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？（1）请直接判断：AE______BF（填“=”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：如图②，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论．25．（本题10分）（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在正方形ABCD中，P为线段BC上的一个动点，线段MN⊥AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N．(1)求证：AP=MN；(2)如图②，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AP，BD于点E，F．求证：EF=ME+FN．26．（本题10分）（25-26八年级·上海·假期作业）综合与实践问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′分析探究：（1）如图1，当∠ABC=60°，当点D′恰好落在AB边上时，三角形A问题解决：（2）如图2，当E，F为CD边的三等分点时，连接FD′并延长，交AB边于点G．试判断线段AG与（3）如图3，当∠ABC=60°，∠DAE=45°时，连接DD′并延长，交BC边于点H．若▱ABCD的面积为24，AD=4，请直接写出线段

2025-2026学年人教版数学八年级下册章节复习闯关自测卷（新教材）第21章四边形●能力提升检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.42一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【思路引导】本题考查矩形的轴对称性、中心对称性及对角线的性质，需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案．【规范解答】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确；∵矩形绕对角线的交点旋转180°后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确；根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确；矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误；矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误；综上，正确的说法有①②③，共3个，故选：C．2．（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（）A．每条边都相等的多边形是正多边形B．每个内角都相等的多边形是正多边形C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形D．长方形一定是正多边形【答案】C【思路引导】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可．【规范解答】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误；对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为90°但边不都相等，不是正多边形，故B错误；对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确；对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误；故选：C．3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明从点O出发，前进10米后右转45°，再走10米后右转45°，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（

）A．70米 B．80米 C．90米 D．100米【答案】B【思路引导】本题考查正多边形外角和的应用，掌握正多边形外角和是解题的关键．先根据题意，可知小明的行走路线是正多边形，再根据正多边形的外角，求出边数，最后计算即可求解．【规范解答】解：∵小明每次前进相同距离后右转相同角度，最终回到出发点，∴其行走路线是正多边形，且每个外角为45°，∵多边形外角和为360°，∴该正多边形的边数n=360°÷45°=8，∵每条边长为10米，∴路程为：8×10=80（米）．故选：B．4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，与边AD交于点H，最后以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点M．若AB=7.5，BH=12，则点A，M之间的距离为（A．9 B．6 C．10 D．7【答案】A【思路引导】本题考查了作图−基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形ABMH是菱形是解题的关键．连接AM、MH，设AM交BH于点O，根据题意证明四边形ABMH是菱形，从而得出OB的长，再根据勾股定理即可得出结果．【规范解答】解：如图，连接AM、MH，设AM交BH于点O，由题意可知，BH是∠ABC的角平分线，∴∠ABH=∠CBH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AHB=∠CBH，∴∠ABH=∠AHB，∴AB=AH，∵以B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点M，∴AB=BM，∴AH=BM，又∵AH∥BM，∴四边形ABMH是平行四边形，又∵AB=AH，∴四边形ABMH是菱形，∴AM⊥BH，OB=OH=12BH=6∴∠AOB=90°，∴OA=A∴AM=2OA=9．故选：A．5．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E．若∠A=38°，则∠DCE的度数是（

A．14° B．19° C．52° D．7°【答案】A【思路引导】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质．关键是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，再结合垂直的性质逐步计算角度．【规范解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°−∵BD是AC边上的中线，∴BD=CD，∴∠DBC=∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°∴在Rt△BCE中，∠∴∠DCE=故选：A．6．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形ABCD的边长为5，对角线AC与BD相交于O点，BD=6，延长AB至E，BF平分∠CBE，点P是BF上任意一点，则△ACP的面积为（

）A．10 B．12 C．15 D．18【答案】B【思路引导】本题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．过点P作PM⊥AC于点M，先根据菱形的性质可得AC=8，OB=3，再证出四边形BOMP是矩形，根据矩形的性质可得PM=OB=3，然后根据三角形的面积公式求解即可得．【规范解答】解：如图，过点P作PM⊥AC于点M，∵菱形ABCD的边长为5，且BD=6，∴AB=5,OB=12BD=3,AC=2OA∴OA=A∴AC=2×4=8，∵BF平分∠CBE，∴∠CBF=1∴∠DBF=∠CBD+∠CBF=1∴DB⊥BF，又∵AC⊥BD,PM⊥AC，∴四边形BOMP是矩形，∴PM=OB=3，∴△ACP的面积为12故选：B．7．（23-24八年级上·河北邢台·月考）“四边形的内角和等于360°．”对于证明该结论添加的辅助线为：其中能证明其内角和的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【思路引导】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可．【规范解答】解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为180°×2=360°，符合要求；对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为180°×3−180°=360°，符合要求；对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为180°×4−360°=360°，符合要求；对于，将一个四边形补全为三角形，∵∠ADC=180°−∠CDE，∠BCD=180°−∠DCE，∠A+∠B=180°−∠E，∠CDE+∠DCE+∠E=180°，∴∠ADC+∠BCD+∠A+∠B==180°×3−=180°×3−180°=360°，符合要求；综上所述，4个图形中的辅助线均可证明．8．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，以正五边形ABCDE一边AB为边在其内部作等边△ABF，延长AF交CD于点G，则∠CGF的度数为（

）A．82° B．83° C．84° D．85°【答案】C【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质、正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．先根据等边三角形的性质可得∠AFB=∠ABF=60°，则∠BFG=120°，再根据正五边形的性质可得∠ABC=∠C=108°，则∠FBC=48°，最后根据四边形的内角和即可求解．【规范解答】解：∵△ABF是等边三角形，∴∠AFB=∠ABF=60°，∴∠BFG=120°，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=∠C=5−2∴∠FBC=∠ABC−∠ABF=48°，∴在四边形BCGF中，∠CGF=4−2故选：C．9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠AED的大小为（

）A．15° B．35° C．45° D．55°【答案】A【思路引导】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解．【规范解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°，∴∠ADE=∠AED=15°．10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形ABCD中，E,F,M分别是AB,CD,AC的中点．已知∠BAD+∠ABC=90∘,AD=BC=2，则EFA．1 B．2 C．32 【答案】B【思路引导】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质与勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线，严谨证明∠EMF=90°，再利用勾股定理求解．先利用三角形中位线定理得到ME、MF的长度与平行关系；再通过取BC中点N并连接MN，结合平行线的性质严谨推导出∠EMF=90°；最后在Rt△EMF中，用勾股定理求出EF【规范解答】解：∵E，M分别是AB,AC的中点，∴ME是△ABC的中位线，∴ME∥BC，ME=1∵F，M分别是CD,AC的中点，∴MF是△ADC的中位线．∴MF∥AD，MF=1取BC的中点N，连接MN．∵M是AC中点，N是BC中点∴MN∥AB（三角形中位线定理）∴∠CMN=∠CAB（两直线平行，同位角相等）∵MF∥AD，∴∠CMF=∠CAD（两直线平行，同位角相等）．∴∠FMN=∠CMN+∠CMF=∠CAB+∠CAD=∠BAD．∵ME∥BC，∴∠AEM=∠ABC（两直线平行，同位角相等）．∵MN∥AB，∴∠AEM=∠NME（两直线平行，内错角相等）．∴∠NME=∠ABC,∴∠EMF=∠FMN+∠EMN=∠BAD+∠ABC．结合已知∠BAD+∠ABC=90°，得∠EMF=90°．在Rt△EMF中，由勾股定理得EF=故选：B．二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD．若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是______．【答案】75°/75度【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据正方形的性质，等边三角形的性质可得∠DAP=30°，AP=DA，即可求解．【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠DAB=∠CBA=90°，∵△PAB是等边三角形，∴∠PAB=60°,PA=AB，∴∠DAP=30°，AP=DA，∴∠DPA=180°−∠DAP故答案为：75°12．（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为5，则△ABC的周长为_____．【答案】10【思路引导】本题考查三角形的中位线，根据三角形中位线定理得DE=12AC、DF=12【规范解答】解：∵△DEF的周长为5，∴EF+DF+DE=5，∵点D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，∴DE=12AC，DF=即AC=2DE，BC=2DF，AB=2EF，∴AB+BC+AC=2EF+DF+DE∴△ABC的周长为10．故答案为：10．13．（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，B、C、【答案】42【思路引导】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可．【规范解答】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4，∴三个正方形的面积和为64+16+4=84,∵B、∴图中阴影部分的面积为12故答案为：42．14．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF为正方形，△AFE≌△AGE，△BGE≌△BDE，若AC=4，BD=2，设正方形CDEF的边长为x【答案】1【思路引导】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．则CD=CF=x，AF=4−x，BD=2，BC=2+x，根据全等三角形的性质得到AF=AG，BG=BD，根据AG+BG=AB即可求解．【规范解答】解∶∵四边形CDEF为正方形，∴CD=CF=x．∴CD=CF=x，AF=AC−FC=4−x，BC=BD+CD=2+x．∵△AFE≌△AGE，△BGE≌△BDE．∴AF=AG，BG=BD．∵AC=4，∴AB=AG+BG=AF+BD=4−x+2=6−x．∵AB∴6−x解得x=1．故答案为：1．15．（2025·河南周口·一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB,CD上，将正方形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若AB=152，则线段AE的长为【答案】103或【思路引导】分AM=13AD【规范解答】解：在正方形ABCD中，AB=15∴AD=AB=152，∵点B落在AD边上的三等分点M处，∴AM=13AD设AE=x，则BE=15由折叠的性质得EM=BE=15当AM=13AD在Rt△AEM中，AM2解得x=10当AM=23AD在Rt△AEM中，AM2解得x=25综上，线段AE的长为103或25【考点剖析】注意三等分点有AM=13AD16．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是CD，AD上的两个动点，∠EOF=90°，则线段EF的最小值为________．【答案】2【思路引导】先证明△OCE≌△ODFASA，得到△OEF是等腰直角三角形，由勾股定理得EF=OE2+OF2【规范解答】解：∵在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∴OD=OC，∠ODA=∠OCE=45°，∠BOC=90°，∵∠EOF=90°，∴∠DOF=∠COE=90°−∠DOE在△OCE和△ODF中，∠ODF=∠OCEOD=OC∴△OCE≌△ODFASA∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴EF=O当OE⊥CD时，OE取最小值，即EF取得最小值，∵OD=OC，∠BOC=90°，∴DE=CE，∴OE=∴线段EF的最小值为2217．（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边CD上，且BD=BE，若∠EBC=12°，则∠BDC的度数为______．【答案】64°【思路引导】根据菱形的性质可得∠BDC=∠DBC，由BD=BE可得∠BDC=∠BED，设∠DBE=x，再由∠DBE+∠BDC+∠DEB=180°，即可解答．【规范解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴∠BDC=∠DBC，∵BD=BE，∴∠BDC=∠BED，设∠DBE=x，∵BD=BE，∠EBC=12°，∴∠BDC=∠BED=x+12°，∵∠DBE+∠BDC+∠DEB=180°，∴x+x+12+x+12=180°，∴x=52°，∴∠BDC=52°+12°=64°．18．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF=90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2【答案】①②③④【思路引导】利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，推理判断即可．【规范解答】解：∵正方形ABCD，∠EOF=90°，∴OA=OB=OC=OD,∠BOC=∠COD=90°，∠ODF=∠OCD=∠OBC=∠OCB=45°，∴∠DOF=90°−∠COF=∠COE，∠COF=90°−∠COE=∠BOE，∴∠DOF=∠COEOD=OC∠ODF=∠OCE，∴△COE≌△DOFASA，△OBE≌△OCF∵△COE≌△DOF，∴S△COE∴S△COE∴S四边形∵正方形ABCD，∴S△COD∴S四边形∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴CF∵CF=BE,DF=CE，∴DF则正确的结论有①②③④．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD=BC，MN⊥EF，垂足为N．求证：EN=FN．【答案】见解析【思路引导】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到EM=12AD，FM=【规范解答】证明：如图，连接MF,ME，∵E，M是AB,BD的中点，∴EM=1同理，FM=1∵AD=BC，∴ME=MF．∵MN⊥EF，∴EN=FN.20．（本题6分）（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在边BC的延长线上，DA⊥AE，AD=AE．(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)如果F是DE的中点，求证：CF=DF．【答案】(1)见详解(2)见详解【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先整理得∠BAE=∠CAD，再结合AB=AC，AD=AE，证明△ABE≌△ACDSAS（2）结合△BAE≌△CAD，得∠AEB=∠ADC，又因为三角形内角和性质，得出∠DCE=∠DAE=90°，根据F是DE的中点，得CF=1【规范解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，则∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，即△ABE≌△ACDSAS（2）证明：依题意，如图所示：由（1）得△ABE≌△ACD，∴∠AEB=∠ADC，∵∠1=∠2，∴180°−∠2−∠AEB=180°−∠1−∠ADC，即∠DCE=∠DAE=90°，∵F是DE的中点，∴CF=121．（本题8分）（25-26九年级上·广东河源·月考）在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE(1)求证：四边形AECF是正方形；(2)若BD=4，BE=3，求【答案】(1)证明见解析(2)29【思路引导】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．（1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形AECF是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案；（2）先根据菱形的性质求出BO，进而求出EO，再根据正方形的性质可得AO，然后根据勾股定理求出AB，则此题可解．【规范解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD∵DF=BE，∴DF+DO=BE+BO，即FO=EO∵AO=CO,AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形，∴∠AEF=∠CEF=45°，∴∠AEC=90°，∴四边形AECF是正方形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO=1∴EO=BO+BE=5，∵四边形AECF是正方形，∴AO=EO=5，在Rt△ABO中，AB=∴CD=AB=2922．（本题8分）（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G分别为线段AO、DO、BC的中点，连接BE、EF、FG．(1)求证：四边形BEFG为平行四边形；(2)若AC=2CD，请判断并证明四边形BEFG的形状．【答案】(1)证明见解析(2)四边形BEFG为菱形，证明见解析【思路引导】（1）证明AD=BC，AD∥BC，可得EF是△AOD的中位线，EF∥AD，EF=12AD（2）如图，连接CF，证明OC=CD，可得CF⊥BD，GF=GB，再进一步证明即可．【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥∵点E、F、G分别为线段AO、DO、BC的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF∥AD，EF=1∴EF∥BG，∴四边形BEFG为平行四边形．（2）解：四边形BEFG为菱形，理由如下：如图，连接CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=1∵AC=2CD，∴OC=CD，∵F为OD的中点，∴CF⊥BD，∵G为BC的中点，∴GF=GB，∵四边形BEFG为平行四边形，∴四边形BEFG为菱形．【考点剖析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．23．（本题8分）（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形ABCD中，∠A=145°，(1)如图①，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，则∠BEC的度数为___________；(2)在（1）的条件下，若延长BA，CD交于点F(如图②)，将原来的条件“∠A=145°，∠D=75°”改为“∠F=40°”，其他条件不变，【答案】(1)110°；(2)∠BEC的度数不变，为【思路引导】本题考查四边形内角和定理、角平分线的定义、三角形内角和定理．关键是通过内角和关系，结合角平分线求出相关角的和，进而计算目标角．（1）先利用四边形内角和求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线性质得到∠（2）先在△FBC中利用三角形内角和求出∠FBC+∠FCB的度数，再结合角平分线性质得到∠【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A=145°，∠∴∠ABC+∵BE平分∠ABC，CE平分∠∴∠EBC=12∴∠EBC+在△BEC中，∠BEC=180°−(故答案为：110°．（2）解：∠BEC在△FBC中，∵∠∴∠FBC+∵BE平分∠FBC，CE平分∠∴∠EBC=12∴∠EBC+在△BEC中，∠BEC=180°−(答：∠BEC的度数不变，为110°24．（本题8分）（2026八年级下·全国·专题练习）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？（1）请直接判断：AE______BF（填“=”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：（2）如图②，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论．【答案】（1）=；（2）GE=BF，证明见解析【思路引导】（1）证明△ABE≌△BCF即可得出结论；（2）过点A作AN∥GE，证明△ABN≌△BCF，由此可得【规范解答】（1）解：∵AE⊥BF，∴∠EMB=90°，∴∠FBC+∠BEM=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°，∴∠FBC+∠BFC=90°，∴∠BEM=∠BFC，在△ABE和△BCF中，∠ABC=∠C∠BEM=∠BFC∴△ABE≌△BCF(AAS∴AE=BF；（2）解：GE=BF，证明如下：如图，过点A作AN∥GE，交BF于点H，交BC于点∴∠EMB=∠NHB=90°，∴∠FBC+∠BNH=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥∵AD∥∴四边形ANEG是平行四边形，∴AN=EG，∵∠C=90°，∴∠FBC+∠BFC=90°，∴∠BNH=∠BFC，∴△ABN≌△BCF(AAS∴AN=BF，∵AN=EG，∴GE=BF．25．（本题10分）（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在正方形ABCD中，P为线段BC上的一个动点，线段MN⊥AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N．(1)求证：AP=MN；(2)如图②，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AP，BD于点E，F．求证：EF=ME+FN．【答案】(1)见解析(2)见解析【思路引导】（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，根据平行四边形和正方形的性质求证△ABP≌△BCHASA（