人教版数学八年级下册 第21章 四边形·提升卷 试卷 含答案

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第二十一章四边形·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．九边形的外角和为（

）A． B． C． D．2．下列说法不正确的是（

）A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等3．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（

）A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（

）A．4 B．4.8 C．5 D．65．如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（

）A．当时，四边形是矩形B．当时，四边形是矩形C．当时，四边形是菱形D．当时，四边形是菱形6．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（

）A．10 B．15 C．20 D．257．如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（

）A．5 B． C．6 D．8．如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（

）A．4 B．5 C． D．9．如图，正方形的边长为3，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，作，垂足为．若，则的长是（

）A． B． C． D．10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（

）①；②四边形是菱形；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，在中，，是的中点，，则的长为．12．在四边形中，对角线，相交于点O．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是．（写出一种情况即可）13．如图，在中，是的平分线，，，则．14．图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则．15．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，若，，当的最小值为时，则．16．如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为．解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．（6分）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺、在同一平面内按如图方式摆放，其中点、、、在同一直线上，连接、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知，若四边形是菱形，求的长．18．（6分）如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(1)在图1中，以为一边，作一个周长为的矩形；(2)在图2中，以为对角线，作一个菱形，使其面积为4．19．（6分）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F．(1)若，，求的度数；(2)已知四边形中，，，求的度数．20．（6分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、．(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，，求的长．21．（8分）如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．22．（8分）如图，，，平分，平分，，，.(1)求证：四边形是正方形．(2)连接，若，求线段的长度．23．（8分）综合与实践如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处．(1)如图1，当点落在边上时，的长为________．(2)如图2，连接，当点落在上时，求的长．(3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积．24．（12分）【问题解决】（1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：．【拓展提升】（2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：．【类比迁移】（3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长．25．（12分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点．特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____；【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，求的长度．

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第二十一章四边形·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．九边形的外角和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查多边形外角和性质，任意凸多边形的外角和都等于，与边数无关，所以九边形的外角和为．【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于，九边形的外角和为．故选：B．2．下列说法不正确的是（

）A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等【答案】C【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确故选：C．3．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（

）A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米【答案】D【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得．【详解】解：∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴(米)．故选：D．4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（

）A．4 B．4.8 C．5 D．6【答案】D【分析】此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键．利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出，可得，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴，∴．∵，∴．故选D．5．如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（

）A．当时，四边形是矩形B．当时，四边形是矩形C．当时，四边形是菱形D．当时，四边形是菱形【答案】B【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴是等腰三角形，∵点为的中点，∴，即，∴四边形是矩形，故选项A正确；当时，则，∴，若四边形是矩形，则，∴（不满足三角形内角和定理），故选项B错误；当时，∵点为的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，故选项C正确；∵，，∴，∴，当时，则，∵，∴，∴，∴，∵点为的中点，∴，∴，∴四边形是菱形，故选项D正确．故选：B．6．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接交于点O，根据菱形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，则可证明四边形是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接交于点O，∵四边形是菱形，∴，又∵菱形的面积为30，∴，即；∵点分别为的中点，∴分别是的中位线，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形，∴．故选：B．7．如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（

）A．5 B． C．6 D．【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积；根据题意证明，从而得到，，再根据，，即可求得四边形的面积．【详解】解：如图所示，连接，∵在中，点是中点，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，故选：A．8．如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（

）A．4 B．5 C． D．【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，连接、，由矩形的性质可得，，，求出，得到，由勾股定理可得，由等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得出，再证明，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，连接、，∵四边形为矩形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∵，点是中点，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故选：C．9．如图，正方形的边长为3，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，作，垂足为．若，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．关键是利用翻折性质和全等三角形得到线段相等，再通过勾股定理求出未知线段长度，最后用面积法求出的长．【详解】解：如图，连接．∵正方形的边长为3，，∴，，；∵将沿直线翻折得，∴，，，∴；在和中，∴，∴；设，则，；在中，由勾股定理得：，即，解得；在中，．∵，，∴，解得；故选：B．10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（

）①；②四边形是菱形；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得，进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案．【详解】解：∵四边形是矩形，O是中点，∴，∴，∴，∴，是等边三角形，∴，；∵，∴，垂直平分，∴，，∵四边形为矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，∴；故①是正确的；∵，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，∴四边形是菱形，故②正确；∵，∴；∵，∴，∵∴，∴，故③正确，设的面积为a，∵，则，而M为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，故④错误；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，在中，，是的中点，，则的长为．【答案】4【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：∵，是的中点，，∴，故答案为：4．12．在四边形中，对角线，相交于点O．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是．（写出一种情况即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法即可得结论．【详解】解：添加，∵，∴四边形的一组对边平行且相等，故四边形是平行四边形；添加，∵，∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形；添加，∵，∴，，∴，∴四边形的两组对角分别相等，故四边形是平行四边形；添加∵，∴，，∴，∴四边形的两组对角分别相等，故四边形是平行四边形．添加或，∴，∵，∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形；添加，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形；添加，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形；或，∴，∵，∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形；故答案为：或或或或或或或或或．13．如图，在中，是的平分线，，，则．【答案】2【分析】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质以及等角对等边；根据平行四边形的性质得到，，从而得到，由角平分线的性质得到，进而推出，从而得到，即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，又∵，∴，故答案为：．14．图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则．【答案】/36度【分析】本题考查等边对等角，正多边形的外角，根据题意易得中间五边形为正五边形，为其的一个外角，根据正五边形的每个外角的度数相等，求出的度数，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形，为其的一个外角，∴，由题意和图可知：为等腰三角形，∴，∴；故答案为：．15．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，若，，当的最小值为时，则．【答案】/度【分析】过作于，得出，根据含30度角的直角三角形的性质勾股定理，求得，根据的最小值为，得到点在上，即可得出．【详解】解：过作于，四边形是菱形，，，，，∵，∴，∵，∴，∴，即点在上时，可有的值最小，且最小值为，此时，故答案为：．16．如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为．【答案】1或2或【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，分三种情况再结合勾股定理建立方程求解即可.【详解】解：根据题意，可知：在正方形中，，点E是边的中点，∴，，．当时，设，∴．，，∴，解得：，∴，当时，∴，∴，当时，∴，∴，综上所述，的长为1或2或．故答案为：1或2或三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．（6分）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺、在同一平面内按如图方式摆放，其中点、、、在同一直线上，连接、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知，若四边形是菱形，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质，含度角的直角三角形的性质．（1）由题意得：，推出，得，即可求证；（2）由题意得，推出，得到，，推出，据此计算即可求解．【详解】（1）证明：由题意得：，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．18．（6分）如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(1)在图1中，以为一边，作一个周长为的矩形；(2)在图2中，以为对角线，作一个菱形，使其面积为4．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了网格作图，菱形、矩形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形、矩形的性质是解题的关键．（1）由矩形的周长为，则两邻边之和为，根据勾股定理可得，所以矩形另一条直角边的长度为，由此作图即可；（2）根据菱形的面积等于对角线之积的一半，易求得菱形另一条对角线的长为2，由此作图即可．【详解】（1）解：如图所示，矩形即为所求．（2）解：如图所示，菱形即为所求．19．（6分）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F．(1)若，，求的度数；(2)已知四边形中，，，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平行线的性质、多边形内角和外角，熟练掌握四边形的内角和是是解题的关键．（1）根据题意可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，同位角相等可得；（2）根据角平分线的定义可得，，根据四边形内角和定理可得，结合三角形的外角等于不相邻的两个内角之和即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，，∵，，，∴，即，∵，，∴，∴，∴．20．（6分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、．(1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)4．【分析】本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形；（2）由（1）知，四边形是矩形，求得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形；（2）解：由（1）知，四边形是矩形，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴21．（8分）如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（）先证明四边形是平行四边形，进而即可求证；（）利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求解；本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．22．（8分）如图，，，平分，平分，，，.(1)求证：四边形是正方形．(2)连接，若，求线段的长度．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质；（1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形；（2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出.【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∵，，，∴四边形是菱形，又∵，∴菱形是正方形.即四边形是正方形.（2）解：过点E作，如图所示，∵四边形是正方形，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴在中，设，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵四边形是正方形，∴.23．（8分）综合与实践如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处．(1)如图1，当点落在边上时，的长为________．(2)如图2，连接，当点落在上时，求的长．(3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键．（1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解；（2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解；（3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积．【详解】（1）解：∵四边形是长方形，∴，，，由折叠可得，，，∴在中，，∴．故答案为：．（2）解：∵四边形是长方形，∴，,由折叠可得，，，，∴，，设，则，在中，，即，解得，∴的长为．（3）解：由折叠可得，∵四边形是长方形，∴，∴，∴，∴，设，则，在中，，即，解得，即，∴，∴的面积为．方法总结1.抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。2.设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。24．（12分）