2026年10月自考自考04184线性代数押题及答案

1、参考教材：《线性代数（经管类）》，北京大学出版社，刘吉佑、刘志学主编，2023年版。2、本科目侧重公式运用与计算考查。文档以【定义、公式、例题】为框架整理知识点，方便学以致用。考试题型包含【单选题、填空题、计算题、证明题】。特殊标记含义：P10代表教材页码第10页

1、二阶行列式P30(1)

定义：，该式称为二阶行列式。(2)特殊二阶行列式结论：

例1：解方程组：解：分母行列式

，

分子行列式，

分子行列式，方程组唯一解：。例2：计算解：

2、三阶行列式P30-32(1)定义：

(2)计算方法：用对角线法来记忆三阶行列式中每一项前面的正、负号的确定方法.如下图所示，其中各实线联结的三个元素的乘积前面带“+”号，各虚线联结的三个元素的乘积前面带“-”号

(3)特殊三阶行列式：上三角形式；反三角形式（

为任意元素，不影响结果）。(4)降阶思想：三阶行列式可拆分为二阶行列式的代数和进行计算。例1：计算解：

例2：解方程解：

解方程，得根。

3、n阶行列式、余子式、代数余子式、行列式按行（列）展开P33-P36(1)一阶行列式：，不是绝对值，例：；n阶行列式，我们记

它由行、列元素（共个元素）组成，称之为阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标称为行标，它表示这个数在第行上；后一个下标称为列标，它表示这个数在第列上。所以在行列式的第行和第列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用表示这个位置。阶行列式通常也简记为。(2)余子式：在中划去元素所在第行和第列后其余的行和列上剩下的元素，按原来的相对顺序组成一个阶行列式，记为，即

称为元素的余子式。(3)代数余子式：令称为元素的代数余子式（）。

(4)行列式按行（列）展开P35-P38D按第i行展开公式

D按第j列展开公式

其中，称为元素

在D中的代数余子式这两个展开式中的每一项都由三部分组成：元素和它前面的符号(一1)i+j以及它后面的余子式，三者缺一不可！例1：计算行列式：

解：行列式的第二列只含一个非零元素a22=-1，其他元素均为0，按第二列展开，得4、行列式的性质P38-P44(1)性质1（转置）：行列式与其转置行列式相等；行与列地位等价，行性质对列全部成立。(2)性质2（数乘）：某一行/列所有元素乘，行列式值变为；可按行/列提取公因子。(3)性质3（换行/列）：互换任意两行/列，行列式变号。

-推论：行列式有两行/列完全相同，值为。(4)性质4（成比例）：有两行/列对应元素成比例，行列式值为。(5)性质5（拆分）：某一行/列元素为两数之和，行列式可拆分为两个行列式之和（仅拆一行/列）。(6)性质6（行变换）：某一行/列的倍加到另一行/列，行列式值不变。(7)补充结论：奇数阶反对称行列式（主对角线为0，）的值为。(8)异行/列余子式结论：某一行（列）元素与另一行（列）对应代数余子式乘积之和为。例1：计算解：

例2：证明奇数阶反对称行列式解：由，得，即。

例3：求出的四次方程解：将行列式按第一列展开，得

从上述四个三阶行列式可以看出，第一个和第三个行列式是的四次多项式，而第二个和第四个行列式是的二次多项式。因此题中所给的四阶行列式表示一个的四次多项式，所以是四次方程，它最多有四个实数根。将代入行列式，得到行列式

它的第一行与第二行相同，因此其值为0。分别用代入行列式时，得到的行列式都有两行相同，故其值必为0。所以，就是所求的四个根。5、行列式常用计算方法P45-P50(1)两大核心方法：方法一：利用行列式的性质，把原行列式化为容易求值的行列式.常用的方法是把原行列式化为上三角(或下三角)行列式再求值.此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上-1.在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k。方法二：把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值。通常是先利用性质6在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按包含0最多的行或列展开.(2)特殊行列式：行和/列和相等行列式：将所有列（行）加到第一列（行），提取公因子后化简。范德蒙德行列式：

例1：计算行列式解：交换的第一列与第二列，再接着往下计算，得

例2：计算行列式解：这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6.我们可以采用简易方法求其值.先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数6，再将后三行都减去第一行：

6、克拉默法则P52-P56对于

元

方程线性方程组：(1)系数行列式：。(2)替换行列式：将

的第

列替换为常数项。(3)克拉默法则：若，方程组有唯一解：。(4)齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组。

结论1：若系数行列式，齐次方程组只有零解（）。

结论2：齐次方程组有非零解

系数行列式。例1：用克拉默法则解方程组解：例2：解：已知齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则只有零解.

7、线性方程组P58-59(1)n元线性方程组含个未知量的线性方程组一般形式：

为系数，为常数项，为未知量；方程个数与未知量个数可相等。(2)齐次线性方程组若，称上述方程组为齐次线性方程组。(3)解、解集、同解方程组若代入方程组后全部方程恒成立，则称其为方程组的一个解；方程组所有解的集合称为解集；解集完全相同的两个方程组称为同解方程组。(4)线性方程组的初等变换共三类，变换后方程组为同解方程组：①把一个方程的倍数加到另一个方程上；②互换两个方程的位置；③用一个非零数乘某一个方程。例1：求解线性方程组：解：对方程组依次做初等变换化简：

因此该方程组唯一解：。例2：求解线性方程组：解：

出现矛盾式，方程组无解。

8、矩阵的概念P61-62(1)概念①定义：由m×n个数aij,i=1，2，…，m；j=1，2，…，n排成的一个m行n列的数表

称为一个m行n列矩阵，矩阵的含义是，这m×n个数排成一个矩形阵列.其中aij称为矩阵的第i行第j列元素(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n),而i称为行标，j称为列标.第i行与第j列的交叉位置记为(i,j).①实矩阵：元素全为实数；复矩阵：元素全为复数（本资料默认实矩阵）；阶方阵：行数=列数（）；②零矩阵：所有元素全为零，记作

或；③行向量：矩阵（）；列向量：

矩阵（）；④对角矩阵：方阵中非主对角线元素全为0；如：

⑤数量矩阵：对角矩阵的主对角线元素全部相等；n阶数量矩阵的形式：

⑥单位矩阵：主对角线元素全为1的数量，记作（简记）；

⑦上/下三角矩阵：方阵主对角线下方/上方元素全为0。上三角矩阵如：下三角矩阵如：

9、矩阵的运算——加、减法P63-64(1)矩阵相等设，若

且所有对应元素，则；所有元素均为0。(2)同型矩阵行数、列数分别相等的矩阵；只有同型矩阵才能进行加减运算。(3)矩阵加法

为同型矩阵，则（对应元素相加）。(4)加法运算律（

为同型矩阵，为零矩阵）交换律：；结合律：；零矩阵：；消去律：。(5)负矩阵&矩阵减法矩阵的负矩阵：所有元素取相反数；减法定义：。例1：矩阵加法

例2：矩阵减法10、矩阵的运算——数乘运算P64-72(1)数乘定义设

为实数，，则（数乘矩阵每一个元素）。(2)数乘运算律结合律：；分配律：。例1：

已知

。解：

例2：已知且，求。解：

(3)乘法①设，乘积，其中：

相乘条件：左矩阵列数=右矩阵行数；

行数=

行数，列数=

列数。②核心性质一般不满足交换律：；若，称

可交换；不满足消去律：由

不能推出

或。③乘法运算律结合律：；分配律：；数乘结合：；单位矩阵：。(4)方阵方幂；运算规则：（

为非负整数）。重要公式（乘法不可交换时）；；仅当时，才有。例1:

设求。解:

例2：设矩阵求

和。解：

例3：设

求

和。解：

11、矩阵的转置P72-P74(1)

转置定义将矩阵的行、列互换得到新矩阵，记作

矩阵转置后为

矩阵。

(2)转置运算律①；②；③；④反序律：；推广：。(3)对称矩阵

阶方阵满足，即。(4)反对称矩阵阶方阵满足，即；主对角线元素必为0。例：

解：

12、方阵的行列式P74-P75(1)方阵行列式P74

阶方阵

的元素按原顺序构成的行列式，记；非方阵没有行列式。如(2)行列式性质（

为阶方阵，为实数）；；。(3)三角矩阵行列式上、下三角矩阵的行列式=主对角线所有元素的乘积。例1：

例2：证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。证明：设

为

阶反对称矩阵，则，

故。13、方阵多项式P76-77设多项式，

为阶方阵，则：

⚠注意：常数项必须乘单位矩阵，不能直接写常数。例：设，求。解：

14、可逆矩阵P77-P84(1)可逆矩阵定义设

为阶方阵，若存在阶方阵，使得，则称

可逆，为

的逆矩阵，记；可逆矩阵=非奇异矩阵；不可逆矩阵=奇异矩阵。(2)伴随矩阵

为中元素

的代数余子式，伴随矩阵：

核心公式：。(3)可逆充要条件&求逆公式

阶方阵

可逆；求逆公式：。(4)可逆矩阵性质

（

可逆，）①A-1为可逆矩阵，且（A-1）-1=A.②AB为可逆矩阵，且（AB）-1=B-1A-1.③kA为可逆矩阵，且（kA）-1=（1/k）A-1.④AT为可逆矩阵，且（AT）-1=（A-1）T.⑤可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去.即当P为可逆矩阵时，有PA=PB⇔A=B；AP=BP⇔A=B.⑥若A是n阶可逆矩阵.我们记A0=E，并定义A-k=（A-1）k，其中k是任意正整数.则有：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，这里，k和l为任意整数（包括负整数、零和正整数）.⑦|A-1|=|A|-1.注意：①由PA=BP不能推出A=B，由AP=PB不能推出A=B；②不允许用表示AB-1或B-1A.矩阵不能做分母(5)二阶矩阵求逆:例1：设矩阵，，.求解矩阵方程AX=C，XA=C和AXB=C.解：因为，所以A可逆.由于，得

同理可得

用A-1左乘AX=C的两边，得

用A-1右乘XA=C的两边，得

用A-1左乘AXB=C的两边，同时用B-1右乘AXB=C的两边，得

例2：判断矩阵是否可逆，若可逆，求出它的逆矩阵.解：由于例3：设而X满足AX+E=A2+X，求X.解：由于|A-E|≠0，因此A-E可逆，则X=（A-E）-1（A2-E）=（A-E）-1（A-E）（A+E）=A+E例4：解：15、分块矩阵P84-92(1)分块矩阵用横线、竖线将大矩阵分割为若干子块，以子块为元素的矩阵；常用：按行分块、按列分块。(2)分块运算规则①加减/数块：分块方式必须一致，子块对应运算；②转置：子块位置转置+子块自身转置（内外同转）；③乘法：左矩阵列分块=右矩阵行分块，子块按矩阵规则相乘。(3)特殊分块矩阵：(凡空白处都是零块)①分块对角矩阵或准对角矩阵，如：，均为方阵②两个准对角矩阵的乘积：设是同阶方阵，则

若对某个,,与不是同阶方阵，则上面的两个分块对角矩阵不能相乘③准对角矩阵的逆矩阵：若都是可逆矩阵，则分块对角矩阵

可逆，并且

例：求的逆矩阵解：分块其中

所以

16、矩阵初等变换与初等矩阵P93-P102(1)矩阵初等变换P94三类初等行/列变换：①互换两行（列）；②非零数乘某一行（列）；③某行（列）倍数加到另一行（列）。(2)矩阵等价经有限次初等变换得到，称；等价满足：反身性、对称性、传递性。(3)初等矩阵单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵；共三类：互换型、数乘型、倍加型。性质：初等矩阵均可逆，逆为同类型初等矩阵。(4)等价标准形任意

矩阵

等价于。例1：设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B，再将B的第1列的（-2）倍加到第3列得到单位矩阵E，则A-1=（）解：由题意知：例2：求解矩阵方程：

解：

从而，所以。关于矩阵方程或的另一种常用解法是：先求出逆矩阵，然后用左乘两边，得到；或用右乘两边，得到17、矩阵的秩P102-107(1)在m×n矩阵A中，非零子式的最高阶数称为A的秩，记为r（A）.有时也可用秩（A）表示A的秩.(2)对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩.(3)设A为m×n矩阵，P和Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则：r(PA)=r(A).r(AQ)=r(A).(4)关于矩阵的秩，有以下结论：①设A=（aij）m×n，则r（A）≤min{m，n}.②r（AT）=r（A）.③n阶方阵A为可逆矩阵⇔|A|≠0⇔r（A）=n.④r（A）=0⇔A=O.例1：求矩阵的秩.解：容易计算出二阶行列式

A是一个三行四列的矩阵，把A的三行全部取出，再从其四列中任取三列就可得到一个三阶子式，共有四个三阶子式，我们算出A的所有三阶子式如下：

显然A不存在四阶子式，所以A的不等于零的最高阶子式的阶数为2，因此r(A)=2.例2：试确定k为何值时，的秩为2.解：用初等行变换把A化成阶梯形矩阵.

由A的阶梯形矩阵知道，当k=-3时，A的秩为2.例3：解：18、矩阵与线性方程组P108-P111(1)线性方程组；为系数矩阵，(2)为：

(3)用矩阵的初等行变换求解线性方程组的原理：设需要求解的线性方程组为，如果存在某个可逆矩阵,使得,即,则可证与必是同解方程组。

(4)齐次方程组解判定n元齐次方程组

有非零解；推论阶方阵，

有非零解；推论2：若方程组中个数<未知量个数，齐次方程组必有非零解。例：求解线性方程组：解：化线性方程组的增广矩阵为行最简形矩阵：

由增广矩阵的简化行阶梯形矩阵，可得方程组的唯一解：19、n维向量概念及其线性运算P113-116(1)n维向量定义：由个数组成的有序数组称为一个n维向量，称为该向量的第个分量。分量全为实数的向量为实向量，分量为复数的向量为复向量，本书仅讨论实向量。向量维数指向量中分量的个数。(2)行向量与列向量①写成一行，称为行向量；②写成一列，称为列向量，列向量也可记作。③矩阵视角：维行向量是矩阵，维列向量是矩阵。(3)特殊向量①零向量：所有分量都是零的维向量，记为；不同维数的零向量不相等。②负向量：向量各分量取相反数得到的向量，记为。(4)向量相等：两个维向量与，若对应分量全部相等，即，则。(5)向量线性运算①加法：②减法：③数乘：，约定。注意：不同维数的行向量与列向量不能做加减运算。(6)线性运算八条运算律（为维向量，为实数）加法交换律加法结合律：

数乘分配律：数乘分配律：数乘结合律：例1:设，求向量。解：

例2:设，，求满足。解：

20、向量的线性组合与线性表出P116-119(1)线性组合：设是一组维向量，为常数，则称为的线性组合，为组合系数。(2)线性表出：若维向量满足，则称线性表出，也称为表出系数。(3)基本结论：零向量可由任意一组同维向量线性表出，表出式称为平凡表出式。(4)向量组：若干个同维数的向量组成的集合称为向量组。(5)矩阵的行/列向量组：矩阵①按行分块：得到维行向量组，称为的行向量组；②按列分块：得到维列向量组，称为的列向量组。(6)标准单位向量组：（第个分量为1，其余为0），任意维向量可唯一表示为。(7)线性表出的矩阵等价条件设列向量，构造矩阵，则可由线性表出非齐次线性方程组有解；方程组有唯一解：表出方式唯一；方程组有无穷多解：表出方式不唯一；方程组无解：不能线性表出。若为行向量，需先全部转置为列向量再构造矩阵。例1：(1)因为，所以可用线性表出：；但不能用线性表出。(2)因为，所以可用线性表出：。例2：已知。问取何值时，(1不能由线性表出；(2)可由线性表出，并写出表示式。解：设，对应方程组：

对增广矩阵做初等行变换：

(1)当时，方程组无解，不能由线性表出；(2)当时，方程组有无穷多解，同解方程组，令，得通解，表示式：（为任意常数）。21、向量组的线性相关与线性无关P120-127(1)线性相关定义设是维向量，存在不全为零的数，使得

则称向量组线性相关。(2)线性无关定义若等式仅当时成立，则称向量组线性无关。(3)基础结论含零向量的向量组一定线性相关；单个向量：线性相关；线性无关；两个非零向量：线性相关对应分量成比例（两向量共线）；维标准单位向量组线性无关。(4)判别方法（方程组视角）维列向量，构造矩阵：

-向量组线性相关齐次方程组有非零解；

-向量组线性无关齐次方程组只有零解。行向量需转置为列向量再构造矩阵。(5)行列式判别法个维向量构成阶方阵：

向量组线性相关；向量组线性无关。(6)向量个数向量维数时，维向量一定线性相关。(7)线性相关性基本定理定理1（）：向量组线性相关组中至少有一个向量可由其余向量线性表出；线性无关任意向量都不能由其余向量线性表出。定理2：向量组线性无关，添加同维向量后向量组线性相关可由唯一线性表出。定理3（部分与整体）：部分组线性相关整体向量组线性相关；等价：整体线性无关任意部分组线性无关。定理4（接长/截短）：向量组线性相关其截短向量组线性相关；等价：向量组线性无关其接长向量组线性无关。例1：判断是否线性相关。解：设，列方程组：

系数行列式：

方程组只有零解，故向量组线性无关。例2：若线性无关，证明线性无关。证：设，代入得：

因线性无关，故三式相加得，解得，故线性无关。例3：当为何值时，向量组：，(1)线性无关；(2)线性相关，并在此时求一组不全为零的数，使得。解：设，此即线性方程组

其系数行列式为

(1)当

时，方程组只有零解，此时向量组线性无关。(2)当

时，向量组线性相关。将矩阵

化为行最简形：

同解方程组为

令，得方程组的一个非零解。于是只要取，则有：22、向量组的极大线性无关组与向量组的秩P129-137(1)向量组线性表出与等价线性表出：向量组中每个向量都可由向量组线性表出，称可由线性表出；等价：与可互相线性表出，称两向量组等价。等价具有反身性、对称性、传递性。(2)极大线性无关组定义设为维向量组，部分组满足：①线性无关；②中任意向量添加进去后，向量组线性相关；则称为的极大线性无关组。(3)结论①向量组与它的任意一个极大无关组等价；同一向量组的所有极大无关组互相等价；②若向量组可由线性表出，向量个数向量个数，则线性相关；③两个线性无关的等价向量组，所含向量个数相等；一个向量组的所有极大无关组，所含向量个数相等。(4)向量组的秩向量组的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记作；仅含零向量的向量组秩为。向量组线性无关

=向量个数；向量组线性相关秩<向量个数。(5)矩阵的行秩、列秩与矩阵的秩行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩；定理：矩阵的初等变换不改变行秩、列秩；任意矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩。(6)求解方法求向量组的秩：将向量作为列（行）构造矩阵，初等行变换化为阶梯形，非零行个数即为秩；求极大无关组：仅用初等行变换化简矩阵，阶梯形矩阵中线性无关的列，对应原向量组的极大无关组；其余向量表出：由行最简形矩阵直接读取表出系数。(7)矩阵乘积秩：}。例1：求向量组的秩、一个极大无关组，并将其余向量线性表出。解：以向量为列构造矩阵，初等行变换：

矩阵秩为3，故向量组秩为3；是一个极大无关组；表出式：。例2：求的秩、极大无关组，并表出其余向量。解：转置为列向量构造矩阵，初等行变换：

向量组秩为为一个极大无关组；表出式：。23、向量空间、子空间、基、维数与坐标P139-143(1)n维向量空间全体维实向量构成的集合，称为n维实向量空间，记作。(2)子空间定义设是的非空子集，满足：①加法封闭：，有；②数乘封闭：，有；则称的子空间。零子空间本身称为平凡子空间；任意子空间必包含零向量。(3)生成子空间给定向量组，集合

是的子空间，称为由生成的子空间，记作。(4)向量空间的基与维数设为向量空间，向量组满足：①线性无关；②中任意向量都可由该组线性表出；则称为的一组基；基中向量个数称的维数，记作。

-零子空间维数为；

-维向量空间中，任意个线性无关的向量都是它的一组基。(5)坐标设是的一组基，，则有序数组称为向量在该基下的坐标；同一向量在不同基下坐标不同。例1：求在基下的坐标。并将α用这个基线性表出.解：设，列方程组：

解得。坐标为，表出式：

24、齐次线性方程组的形式与解的定义P145-147(1)含有个方程、个未知量的齐次线性方程组标准形式：

，其中

为系数矩阵，为维未知列向量，为维零列向量。(2)解的定义：满足的维列向量是的解；维零列向量称为零解；非零的解称为非零解。(3)解集合：记，是维列向量空间的解空间。(4)解的两大性质：性质1：若是的解，则也是解；性质2：若是的解，为任意实数，则也是解；推论：解的任意线性组合仍是方程组的解。例1：讨论齐次线性方程组的解。解：对系数矩阵作初等行变换

得同解方程组，即。一般解：

其中为任意实数，。系数矩阵秩，未知量个数，。例2：（求解齐次线性方程组。（习题4.1第3(1)题）解：写出系数矩阵并作初等行变换

继续化简：

同解方程组：，解得。该方程组只有零解。25、基础解系定义与核心定理P147-148(1)基础解系定义：设为的解向量组，满足：①线性无关；②的任意解都可表示为该向量组的线性组合；则称该向量组为的一个基础解系。基础解系等价于解空间的一组基。(2)定理4.1.1：设是矩阵，①的基础解系所含解向量个数为；②的任意个线性无关的解向量，都是它的基础解系。(3)推论：①只有零解，无基础解系；②有非零解，有无穷多个基础解系；③若m，则必有非零解；④若为n阶方阵：只有零解；有非零解(4)通解：设为基础解系，则的通解为：

为任意实数。例1：设是齐次线性方程组的基础解系，证明：

也是的基础解系。证：1）向量个数同为3，即；2）验证是解：，同理；3）线性无关：

计算行列式：

矩阵可逆，故，向量组线性无关。综上，是基础解系。补充证法：，整理得

由线性无关，得

解得，故线性无关。26、齐次线性方程组通解求解方法P149(1)解题步骤：①对系数矩阵作初等行变换，化为简化行阶梯形矩阵，同解；②写出同解方程组，选取自由未知量；③自由未知量依次取单位向量（一个取1，其余取0），代入方程组求出对应解向量，得到基础解系；④写出通解（基础解系的线性组合）。(2)注意：基础解系向量必须是解、线性无关、个数为；不可取零解。例1：求齐次线性方程组：的通解。解：系数矩阵初等行变换

同解方程组：，自由未知量，。令；令。基础解系：；通解：为任意实数。例2：取何值时，方程组有非零解？并求通解。解：系数行列式

当时，行列式为0，方程组有非零解。代入，方程组变为：

系数矩阵：

同解方程组：。令；令。通解：为任意实数。27、非齐次线性方程组P153(1)标准形式：个方程个未知量非齐次线性方程组

增广矩阵：，为矩阵。(2)定理4.2.1（有解判定）：有解；：方程组有解；：方程组无解。(3)导出组：称为的导出组（相伴方程组）。例1：满足什么条件时，方程组有解：（习题4.2第3(1)题）

解：增广矩阵行变换

方程组有解，即。(3)解的性质为为导出组的解）：性质1：是导出组的解；性质2：仍是的解；注意：非齐次解的和、数乘一般不再是自身的解。定理4.2.2（解的结构）：

定理4.2.3：设：有唯一解；有无穷多解。定理4.2.4（阶方阵情形）：有唯一解；，有无穷多解；若，无解。

例1：求线性方程组，的通解。解：对增广矩阵作初等行变换

令自由未知量，得特解。导出组同解方程组：令，得；令，得。通解：为任意实数。

例2：设线性方程组有无穷多解，求的值，并求通解。解：增广矩阵行变换

方程组有无穷多解，故，即。代入化简：

同解方程组：。取特解，导出组基础解系。通解：为任意实数。例3：设，是的解，且

求的通解。解：，导出组基础解系含1个向量。由解的性质：

是导出组的非零解，即为基础解系。取特解，通解：，为任意实数。28、特征值与特征向量P164-169(1)设

为阶方阵，

是某个

维非零列向量。如果存在某个数，使得

则称

是的一个特征值，称

是

的属于特征值的一个特征向量。将

改写为，

是齐次线性方程组

的非零解；该齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式。注意：零向量是

的解，但0不是特征向量。(2)特征矩阵、特征多项式、特征方程定义5.1.2：带参数

的阶矩阵

称为

的特征矩阵；它的行列式称为的特征多项式；称为

的特征方程。

阶矩阵的特征多项式是

的

次多项式；在复数范围内，

阶矩阵一定有个特征值（重根按重数计算）。求解规则：①求解特征方程，得到

的全部特征值；②对任意取定一个特征值，求解齐次线性方程组，其所有非零解就是属于

的全部特征向量。例：设，求出的所有特征值和特征向量。解：

的特征矩阵为，特征方程为：

解得两个根，即的两个特征值。对应的齐次线性方程组为：

当

时，方程组为，可取特征向量；当

时，方程组为，可取特征向量。验证：

属于的特征向量全体：（

为任意非零常数）；属于

的特征向量全体：（

为任意非零常数）。(3)特征值与特征向量基础命题命题1：实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量。命题2：三角矩阵的特征值就是它的全体主对角元。命题3：一个向量

不可能是属于同一个方阵

的不同特征值的特征向量。推导：若，则，故。例：求

的特征值和特征向量。解：特征方程：

解得特征值（

为纯虚数）。属于

的方程组：，取特征向量；属于

的方程组：，取特征向量。本例说明：实方阵的特征值、特征向量可以不是实数、实向量。(4)特征值三大定理定理1：阶方阵和它的转置矩阵

必有相同的特征值。定理2：设

是阶方阵的全体特征值，则

称为矩阵迹，即主对角元之和。定理3：设为多项式，

为方阵多项式。若，则，即

是

的特征值。推论：若（零矩阵），则的所有特征值都是方程的根。例：设，求

的所有特征值。解：

是上三角矩阵，特征值为对角元。取多项式，则

故

的特征值为。(5)高阶矩阵特征值与特征向量求解通用解题步骤：①计算特征多项式，解特征方程得到全部特征值（含重根）；②对每个特征值，求解齐次线性方程组；③求出基础解系，基础解系的不全为零线性组合为对应全部特征向量；④校验：特征值之和=矩阵的迹，特征值之积=矩阵行列式。例：求

的特征值和全部特征向量。解：特征多项式：

得特征值。当时，方程组：

化简得，取两个线性无关特征向量：

属于

的全部特征向量：（

不全为零）。当

时，方程组：

解得，取特征向量；属于

的全部特征向量：。校验：；，计算无误。29、方阵的相似变换P171-179(1)定义1：设

是两个

阶矩阵，如果存在

阶可逆矩阵，使得，则称

和相似，记作；该变换称为相似变换。相似关系三大性质：反身性：；对称性：若，则；传递性：若。定理：相似矩阵必有相同的特征多项式、特征值、迹和行列式。推论：若方阵相似于对角矩阵/三角矩阵，则对角/三角矩阵的对角元就是该方阵的特征值。例：设为任意正整数，求。解：特征方程：

特征值。：方程组，取特征向量；：方程组，取特征向量。构造可逆矩阵，对角矩阵，满足。

(2)定理2：

阶方阵

相似于对角矩阵

有

个线性无关的特征向量。定义2.2：若存在可逆矩阵

使得（对角矩阵），则称

为

的相似标准形。规则：

的列向量顺序必须与

中特征值顺序一一对应。定理2.3：属于方阵不同特征值的特征向量必线性无关。推论：特征值两两互异的方阵，一定可以相似对角化。定理2.4：设

是

两两不同的特征值，对应特征向量线性无关。定理2.5：不同特征值对应的极大线性无关特征向量组的并集，仍是线性无关组。补充判定：对

重特征值，若（方程组基础解系含个向量），则该重特征值对应

个线性无关特征值；所有重特征值均满足此条件，矩阵可对角化。例：解：30、向量内积和正交矩阵P180-182(1)维行向量，内积：；(2)

维列向量，内积：。(3)施瓦茨不等式：，等号成立当且仅当线性相关。(4)向量长度：；(5)单位向量：若，称为单位向量；(6)向量单位化：非零向量的单位向量。(7)向量长度性质：非负性、齐次性、三角不等式。例:求α=(−1,−3,−2,7)与β=(4,−2,1,0)的内积。解：(α,β)=(−1)×4+(−3)×(−2)+(−2)×1+7×0=−4+6−2+0=031、向量正交、正交向量组P183-185(1)概念、要点定义1：若，则称与

正交，记作；零向量与任意向量正交。定义1：不含零向量，且组内任意两个向量两两正交，称为正交向量组。定义3：正交向量组中每个向量都是单位向量，称为标准正交向量组，满足：

为克罗内克符号。定理5.3.1：正交向量组一定是线性无关组。例：求出非零向量，使得

与、

都正交。解：设，由正交定义列方程组：

解得，故（

为任意非零实数）。(2)施密特正交化方法（1）概念、要点设

为线性无关向量组，施密特正交化方法的计算步骤：

正交化后再单位化，得到标准正交向量组。例：将

标准正交化。解：第一步正交化：

第二步单位化：

32、正交矩阵P185-186(1)定义：若

阶实矩阵

满足，则称

为正交矩阵。(2)正交矩阵性质：；；均为正交矩阵；有限个同阶正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；正交变换

保持向量内积、长度、正交性不变。(3)定理：实方阵是正交矩阵

的行向量组、列向量组都是标准正交向量组。例:证明

是正交矩阵。证：

满足正交矩阵定义，得证。33、实对称矩阵的相似标准形P189-191(1)实对称矩阵定义：满足的实方阵。定理1：实对称矩阵的特征值一定是实数，特征向量一定是实向量。定理2：实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交。定理3：任意

阶实对称矩阵，一定存在正交矩阵，使得

结论：实对称矩阵必可正交相似于对角矩阵；反之，正交相似于对角矩阵的实矩阵一定是实对称矩阵。推论：实对称矩阵的

重特征值，必有

个线性无关的特征向量。例:求的正交相似标准形及正交矩阵。解：特征方程：

特征值。：方程组；：方程组，取单位特征向量；：取单位特征向量。构造正交矩阵：

正交相似标准形：

34、实二次型的定义P199(1)n元实二次型定义：含有个未知量的实系数二次齐次多项式，展开式为：

其中，本书仅讨论实二次型。(2)矩阵形式：，其中

阶实对称矩阵。(3)对应关系：元实二次型与阶实对称矩阵互相唯一确定；称为二次型的矩阵，矩阵的秩为二次型的秩。例：求对应的实对称矩阵及二次型的秩。解：

35、线性变换与二次型标准形P201(1)可逆线性变换：设两组变量与，变换关系式：

简写为，为系数矩阵。-可逆可逆（非退化）线性变换；-为正交矩阵正交线性变换。(2)二次型标准形：仅含平方项、无交叉项的二次型，对应对角矩阵。（3）变换推导：，若，二次型化为标准形。例：已知二次型，作可逆线性变换，将二次型化为标准形。解：将变换式直接代入二次型：

所得为该二次型的标准形。36、矩阵合同P201(1)矩阵合同定义