平面向量教案

第二章平面向量

2.1.1平面向量的实际背景及基本概念

2.1.2向量的几何表示

教学目标：

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示：掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向

量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2,通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的木质区别.

3.通过学生对向量及数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：平行向他、相等向后和共线向战的区别和联系.

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由八向西北逃窜，猫在E处向东追去，设间：猫能否追到老鼠？（画图）K

c\

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.A--------------->1）

B

分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的也

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

二、新课学习：

（-）向珏的概念：我们把既有大小乂有方向的量叫向量

《二）请同学阅读课本后回答：

1、数■及向量有何区别?

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

6、有•组向病，它们的方向相同或相反，这组向重有什么关系?

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量及向量的区别:

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小:

向埴有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

B

①用有向线段表示：

（终点）

②用字母a、b:（黑体，印刷用）等表示：A（起点）

③用有向线段的起点及绢点字母，AR：

④向量靠的大小一一长度称为向量的模，记作I筋I.

3.m句线段：乂有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

向量及有向线段的区别：

<1）向量只有大小和方向两个要素，及起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量:

<2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为。的向笊叫零向掂，记作。。的方向是任意的.

注意。及0的含义及书写区别.\/

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小,/

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向俄：②我们规定0及任一向成平行.

说明：（1）掠合①、②才是平行向量的完整定义：（2）向量a、6、c平行，记作日〃6〃。。

6、巩固练习：P77练习1、2、3习题A1

2.1.3相等向量和共线向量

1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

说明：（1）向成a及6相等，记作£=6：（2）零向51及零向成相等：

<3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且及有向线段的起点无关.//

2、共线向量及平行向量关系：

平行向量就是共线向1乱这是因为任•组平行向汝都可移到同•直线上（及句线段的起点无关）.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；：2）共线向量可以相互平行，要区别于在

同•直线上的线段的位置关系.

（四）理解和巩固：例I书本76页例2

例2判断：

<1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

<2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）及零向量相等的向后必定是什么向后？（零向送）

<4）及任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7〉共线向量一定在同一•直线上吗？（不•定）

例3如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中及向量。4、0B、OC相等的向量.

变式■：及向最长度相等的向总有多少个？（11个）

变式二；是否存在及向量长度相等、方向相反的向曼？（存在）

变式三：及向炭共线的向我有哪些？（而,55,港）

课堂练习：

1.判断下列命题是否正确，若不正询，请简述理由.

①向量族及而是共线向量，则人B、C、。四点必在一直线上：

②单位向量都相等：③任一向量及它的相反向量不相等：

④四边形,仍切是平行四边形当且仅当AB=DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0：

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

2.书本77页练习

三、课后作业：

书本77页习题2.1第2、3、5题

第2课时

§2.2.1向量的加法运算及其几何意义

教学目标:

1、掌握向俄的加法运经，并理解其几何意义：

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向后，培养数形结合解决问题的能力：

3^通过将向量运算及熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行

向量计算，渗透类比的数学方法：

教学重点；会用向量加法的二角形立则和平行四边形法则作两个向量的和向量:.

教学难点：理解向量加法的定义.

教学思路：

一、设置情景：

1、复习：向成的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是及起点无关的自由

向量，即任何向量可以在小改变它的方向利大小的前提卜，移到任何位置

2、情景设置：-------------------------L.

ABCC'AB

(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和：而T

FBC=AC

(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,则两次的位移和：AB^-BC=AC

(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,J

则两次的位移和：~AB+~BC=~AC

(4)船速为A8,水速为前，财两速度和：AB+^C=AC

二、探索研究：

AB

1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

2、三角形法则(“首尾相接，首尾连”)

如图，已知向量a、b,在平面内任汉一点A,作A3=a,BC=b,则向量正叫做a及b的和，记作a+3,

即a+b=AB+8C=AC,规定：a>0=0+a

a

探究:(1)两相向危的和仍是•个向成;

b

aa+b

a-b

<2)当b向量”及。不共线时，a&b的方

向不同向，且\a^b\<\a\+bI；

(3)当〃及各同向时，则、a5同向，且Ia^b|=a\b,

当Z及B反向时，若I—〉|B|,则〉的方向及7相同，且

Ia^b|=|a\-\b|；若|a|<|〃|,则〃上方的方向及Z?相同，且

\a+b\-\b\-\a|.

(4)“向量平移”(自由向量)：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加

3.例1、已知向珏〃、b,求作向量a+力

作法：在平面内取一点，作。4=。A8=。，则08=a+Z?.

4.加法的交换律和平行四边形法则

同胭：上题中BZ的结果及7+B是否相同？验证结果相同

从而得到：1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)

2)向量加法的交换律：cnb=b^a

5.向量加法的结合律：(a+否)+c=。+(b+c)

证：如图：使A8=a,BC=b,CD=c

则(a+B)+c=AC+CD=AD,a+(b+c)=AB+BD=AD

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

三、应用举例：

例2(P83)略练习：P84

四、小结

1、向量加法的几何意义;

2、交换律和结合律：

3、注意：+gw\a+",当且仅当方向相同时取等号.

五、课后作业：

P91第1、2、3题

第3课时

§2.2.2向量的减法运算及其几何意义

教学目标：

1.了解相反向炭的概念：

2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义：

3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.

教学重点：向成减法的概念和向成诚法的作图法.

教学难点：减法运算时方向的确定.

教学思路：//

且习：向量加法的法则：三角形法则及平行四边形法则向量加法的运算定律：//

AB

例：在四边形中，。至+8么+就=_.

解：CB+13A+BA=CB+13A+AD=CD

一、提出课题：向量的减法

1.用“相反向款”定义向后的减法

(1)“相反向量”的定义：及a长度相同、方向相反的向量.记作a

<2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.

任一向量及它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0

如果a、b互为相反向量，则a=b,b-a.a+b=0

(3)向俄减法的定义：向量a加上的b相反向战，叫做a及b的差.

即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2.用加法的逆运算定义向后的减法:

向量的减法是向爱加法的逆运算:

若6+x=a,则x叫做a及6的差，记作ab

求作差向量：已知向量a、6,求作向母

V(ab)+d=a+(b)+b=a+O=a

作法：在平面内取一点0,

作OA=a,AB=b.则BA=ab

即ab可以表示为从向战。的终点指向向后a的终点的向成.

注意：1AB表示a6.强调：差向量“箭头”指向被减数

2用“相反向垃”定义法作差向信，ab=a+(b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

3、探究:

2)若a〃瓦如何

b?

二、例题：

例3P86已知向量a、b、c、d、求作向量ab、cd

解：在平面上取一点0,作苏=a,OB=b,OC=c,而=d.

作BA,DC,则BA-ab,DC-cd

AC=aI6,DB=ABAD=ab

变式一：当a.b满足什么条件时，界6及a6垂直？（|al=\b）

变式二：当a.6满足什么条件时，|a+b|=lab?（a.6互相垂直）

变式三：a'b及a6可能是相当向量:吗？（不可能.•••对角线二7向不同）

练习：P87

三、作业：P91第4、6、7、8题

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

§2.3.1平面向量基本定理

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理：

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来我示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方

法；

（3）能够在具体问题中适当地选取战底,使其他向量都能够用基底来表送.

教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解及应用.

教学过程：

一、复习引入：

1.实数及向量的枳：实数人及向量2的积是一个向量，记作：、不

（1）|Xai=|Alia:（2）入＞0忖入2及G方向相同：入＜0时入G及，方向相反：入=0时入G=6

2.运算定律

结合律：入（u1）=（Au）2；分配律：（人+u）不=人占+u2,+

3.向量共线定理向拉B及非零向量2共线的充要条件是：有且只有一个非零实数人,使

二、讲解新课：

平面向量基本定理：如果［是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这•平面内的任一向量不，有旦只有

一对实数入I,3使I,/.

探究:

(1)我们把不共线向量：e,、d叫做表示这一平面内所有向量:的一组基底:

(2)基底不惟一，关键是不共线：

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e’的条件下进行分解：

(4)基底给定时，分解形式惟一.A,.1是被G,《，马唯一确定的数量

三、讲解范例：

例1已知向量G,e2求作向量2.5^1+3^2.

例2加得ABCD的两条对角线交于点M,且A8=2,

CJ

MA.MB,荻和通

例匕目知ABCD的两条对角线AC及BD交于E,0

OA^OB^OC^OD=AOE

例4(1)如图，0A,而不共线，而=i而(tR)用万5,而表示丽.

(2)设OA、OB不共线，点P在0、A、B所在的平面内，且

02二(1一。04+1。8“6/?).求证：，\、B,P三点共线.

例5已知年2&-3。，Zr2&十3&,其中&,在不共线，向量,e2a-9&,问是否存在这样的实数义、〃，使△=Aa+fib

及C共线.

四、课堂练习：

L设3、收是同一平面内的两个向量，则有()

A.8、a一定平行

£.8、8的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a=乂"+〃e.(乂、〃eR)

D.若即负不共线，则同一平面内的任一向量a都有a心(4、u£R)

2.已知矢量a=e.-2a,b=2&+包，其中e.、a不共线，则及。=6e-2e,的关系

A.不共线B.共线C,相等D.无法确定

3.已知向试e.、色不共出实数x、/满足（3x~4j，）s-（2尸3。所6e+3任，则尸y的值等于（）

A.3B.-3C.OD.2

4.已知a、。不共线，且c=4夕儿必（儿，4,eR）,若c及6共线，则4L__.

5.己知心＞0,儿＞0,e、俣是一组基底，且a=Le+4抵，则a及a___,3及e_________（填共线或不共线）.

五、小结（略）

六、课后作业（略）：

七、板书设计（路）

八、课后记：

§2.3.2-§2.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）理解平面向俄的坐标的概念：£2）掌握平面向法的坐标运算：

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

教学过程：

一、复习引入।

1.平面向於基本定理：如果［是同-平面内的两个不共线向5L那么对于这•平面内的任一向送有且只

＞•

有一对实数幻，3使Gdy+Le2

（1）我们把不共线向量eI、ez叫做衣示这一平面内所有向量的一组基底：

（2）基底不惟一，关键是不共线；

（3）由定理可将任一向量a在给出基底e.、e/KJ条件卜进行分解.；

（4）基底给定时，分解形式惟一.1，3是被2,［唯一确定的数量

二、讲解新课：

1.平面向量的坐标表示：如图，在笠角坐标系内，我们分别取及X轴、）轴方向相同的两个单•位向量八，作为基

底.任作一个向量4,由平面向量基本定理总，有且只有一对实数X、），，使得

a=xi+yj...........①

我们把（x,y）叫做向量。的（直角）坐标，记作...............

~o~^

a=(x,)')②

其中工叫做。在x轴上的坐标，yiU做〃在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.次、))a

及a相等的向量的坐标也为(x,y)./17v

~o~t§r

特别地，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

在直角坐标平面内，以原点。为起点作苏=a,则点A的位置由。唯一确定。

设厉=*+0，则向量了的坐标(x,y)就是点A的坐标：反过来，点4的坐标(工,)，)也就是向曼次的坐

标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2.平面向量的坐标运算

<1)若。=(X],y),b=(x2.y2),则〃=(芭+々，凹+尤)，a-b=(x1-x2yyl-y2)

两个向量和及差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和及差.

设基底为基j,则4+田=(工工+%力+(工21+〉2力=区+电*+(乂+>2)/

即a+Z?=(X]+工2，h+V2)，同理可得。一人=($一4，)'1一)’2)

<2)若A(X|,yJ,B(x2,y2).则48=(々一七，％一X)

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB=OBOA=(x-2,yj(x”y)=Xi,y2y.)'f”了口：

(3)若a=(x,y)和实数2.则加=(Ax,Ay)./：二^

d>x

实数及向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为i、j.则Aa=2(x/+yj)=Axi+办)，即加二(Ax,A,y)

三、讲解范例；

例l已知Aa,y),B(xz,yj,求48的坐标.

例2已知。=(2,1),b=(-3,4).求a+力，a-b,3。+4〃的坐标.

例3已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行网边

形四个顶点.

解：当平行四边形为ABCD时，由48=£>。得5=(2,2)

当平行四边形为ACDB时，得也=(4,6)当平行四边形为DACB时，得D、=(6,0)

5),F(x,y)的合力+F,+/^=6,求吊的坐标.

例4已知三个力6(3,4),6⑵3

解：由题设耳+元+元=6得：(3,4)+(2,

5)+(x,y)=(O,0)

3+2+X=0x=-5一

即：《•••工(5,1)

[4-5+y=0y二1

四、课堂练习：

—■I—,

1.若M(3,-2)N(-5,-1)且MP=-MN,求P点的坐标

2

2.若A(0,1).B(l,2).C(3,4),则A82BC=.

3.已知：四点A(5,1),B(3,4),C(l,3),D(5,-3),求记：四边形ABCD是梯形.

五、小结(略)

六、课后作业(略)

七、板书设计(略)

八、课后记：

§2.3.4平面向量共线的坐标表示

教学目的：

<1)理解平面向量的坐标的概念；

(2)掌握平面向量的坐标运算：

(3)会根据向后的坐标，判断向*是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

教学过程：

一、复习引入：

1.平面向量的坐标表示

分别取及X轴、y釉方向相同的两个集位向量八，作为基底.任作一个向量。，由平面向量基本定理知，有且只有

一对实数x,y,使得a=xi+yj

把(x,y)叫做向量。的(直角)坐标，记作a=(x,y)

其中xml做。在x轴上的坐标，y叫做。在)，轴上的坐标，特别地，i=(1,0),7=(0,1),0=(0。).

2.平面向量的坐标运算

若a=(Xi，y),h=(x2>y2),

则。+b=(X]+12，))+为)，a-b=(xl-x2>yK-y2)»Aa=(AxfAy).

若A(M，y),8—2，%)，则48=(电-孙12-凹)

二、讲解新课：

a//b{h6)的充要条件是XM-X加=0

设口=(xryi).b=(xz,yj其中方a.

_r“I=

由。=入。得z，(xi.yj=x(x,y?)=>"消去、，xw-xz*。

2〔X=检

探究：《】)消大入时不能两式相除，•・、”少有可能为0,'：b6；,x「力中至少有一个不为0

(2)充要条件不能写成&="■Vx„Xz有可能为0

*x2

一—**a=/Lh

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：(i//b(b0)<z>

2T2yl=°

三、讲解范例：

例1已知己=(4,2),b=(6,y),且G〃Z?,求y.

例2已知A(T,-1),B(l,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系.

例3设点P是线段PR上的一点，Pi、B的坐标分别是yJ,(X2,yj.

(1)当点P是线段PR的中点时，求点P的坐标;

(2)当点P是线段PR的•个三等分点时，求点P的坐标.

例4若向量2=(-1,x)及〃=(-x,2)共线且方向相同，求x

解：x)及B=(-x,2)共线(-1)X2-*・(->)=0

/.x=±5/2•不及B方向相同X=V2

例5已知A(T,-1),B(I,3),C(l,5),D⑵7),向后A8及CD平行吗？直线AB及平行于直线CD吗？

I?：VAB=(1-(-1),3-(-i))=(2,4)CD-(2-1,7-5)=(b2)

乂T2X2-4X1=0AB//CD

又VAC=(1-(-1),5-i-l))=(2,6)AB=(2,4),2X4-2X60，AC'及A3不平行

.•.A,B,C不共线...AE及CD不重合.-.AB/7CD

四、课堂练习：

1.若炉(2,3),£F(4,-1+y),且a〃4则产(

A.6R5C.7D.8

2.若Mx,-1),Ml,3),C(2,5)三点共线，则》的值为()

A.-3R-lC.1D.3

3.若AB=-2/DC=(3-x)"(4-y)J(其中人J的方向分别及/、y轴正方向相同且为单位向量).A3及。。共

线，则x、y的值可能分别为()

A.I,2B.2,2C.3,2D.2,4

4.已知乐(4,2),£H(6,y),旦a/：b.则产.

5.已知手(1,2),£F(A-,1),若>26及2a6平行，则x的值为

6.已知口力质四个顶点的坐标为力(5,7),6(3,X),C(2,3),。(4,x),则产.

五、课后作业

§2.4平面向量的数量积

一、平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目的：

1.掌握平面向量的数量:积及其几何意义：

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律：

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点：平面向成的数最积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向殳数量积的应用

教学过程：

一、史习引入：

1.向量共线定理向量坂及非零向量之共线的充要条件是：有且只有i个非零实数X,使坂=，'/.

2.平面向量基本定理：如果［是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向珏2,有且只

—♦—♦

有一对实数3,3使/=卜y+302

3.平面向成的坐标表示

分别取及X轴、），轴方向相同的两个单位向量i、/作为基底.任作一个向盘〃，由平面向量基本定理知，有且只

有一对实数x、），，使得a=xi+yj

把（x,y）叫做向量〃的（直角）坐标，记作。=（.%），）

4.平面向量的坐标运算

若〃=（当，乂），〃=（小，为），则=（^-x,y,，

a+b=（xx+x2,yI+y2）,a-b2~y2）

Aa=（Ax,Ay）.

若A（*，M）,8*2，匕），则48=（修一2,%-凹）

5.a//b（b6）的充要条件是XM-XZK。

一、讲解新课：

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向珏e及6,作。4=a,。4=6,则//08=〃（0WOW叫a及6的夹角.

说明：(1)当。=0时，a及6同向：

(2)当“=万时，a及6反向：

(3)当〃=工时，a及6垂直，记a_L6：

2

(4)注意在两向量的夹角定义，两句量必须是同起点的.范围0W<180

2.平面向战数黄积(内积)的定义：已知两个非零向后a及从它们的夹角是。，则数/laHZdcos叫8及3的

数量积，记作ab,即有ab=|a||/)lcos,

(OW5W”).并规定0及任何向最的数最积为0.

探究：两个向量的数量积及向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，当成"仇今后要学到两个向量的外积aX",而a〃是两个向量的数母的积，

书写时要严格区分.符号“-”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替.

(3)在实数中，若a0,且a炉0,则房0:但是在数量积中，若ad,且&炉0,不能推出比〃因为其中cos

有可能为0.

(4)已知实数8、b、c(b0),则ab=bca=c.但是ab-bc*a-c

如右图：ab-|a||£*|cos=|Z>|10A|,bc-1611cleos=|^||0A|

ab=bc{Hc

(5)在实数中，有(aZ>)c=a{b》，但是(aSca(bc)

显然，这是因为左端是及c共线的向量，而右端是及w共线的向量:，

而一般a及c不共线.

Ob-

3.“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量人在a方网上的投影.

投影也是一个数量，不是向量：当为锐角时投影为正值：当为钝角时投影为负值：当为直角时投影为0:当

=0时投影为|川：当=180时投影为|6|.

1.向量的数量积的几何意义：

数量积96等于〃的长度及8在a方向上投影61cos的乘积.

5.两个向量的数量积的性质:

设a、8为两个非零向量，e是及b同向的单位向量.

1ea-ae=|a|cos

2aba。=0

当a及b同向时，a6=|a||6：当a及反向时，ab=|a||Z?|.特别的aa=或|。|=7。«

ab

1cos

|G|W

5|ab|《|a||〃

三、讲解范例:

例1已知㈤=5,引=4,8及。的夹角0=120",求”6.

例2已知|a|=6,引=4,a及b的夹角为60°求(a+2b)•(a-3b).

例3已知|a|=3,/>=4,且a及5不共线，k为何值时，向量a+kb及a-kb互相垂直.

例4判断正误，并简要说明理由.

①a•0=0：②0・a=0：③0-AB=BAt($)\a•6I=IaIIbI：⑤若aWO,则对任一非零b有a,b

#0：⑥a•6=0,则a及Z＞中至少有一个为0；⑦对任意向量a.b,c都有(a・b)c=a(b•c)：⑧"及b

是两个单位向量，则a2=6-

评述：这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6已知|d|=3,|/>|=6,当①a//b,②a_LZ>,③a及b的夹角是60°时，分别求a•b.

解：①当a〃6时，若a及6同向，则它们的夹角。=0°,

：.a'b=\a|-|b|uusO°=3X0X1=18：

若a及6反向，则它们的夹角^=180",

：.a•b=\a\IbIcos180°=3X6X(-1)=-18：

②当a_L〃时，它们的夹角。=90°,，a•6=0；

1

③当a及Z＞的夹角是60°时，有a・6=|a||b\cos600=3X6X-=9

评述：两个向量的数量积及它们的央角有关，其范围是[0°,180°],因此，当打〃〃时，有0°或180°两种可

能.

四、课堂练习:

1.已知|a|=l,|b|=JE,且（犷。）及a垂直，则a及b的夹角是（）

A.60°月.30°C.1350D.45°

2.已知|a|=2,\b\=l,a及6之间的夹角为工，

那么向量犷丁46的模为•）

3

A.2发26C.6D.12

3.已知小分是非零向成，则|a|=|A|是（卅6）及（片力垂直的（）

A.充分但不必要条件必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量&、。的夹角为工，|a|=2,|Z>|=1,则|尹引•|方引二

3

5.已知打房2人8,nb=-8i+l6j,其中八）是直角坐标系中.丫轴、了轴正方向上的单位向量，那么a•左.

6.己知a_L/>、c及a、〃的夹角均为60°,且|a|=l,|b\=2,。|=3,则（界2Zrc）2=.

7.已知|a|=l,|〃|=,⑴若a〃b,求a•b；（2）若a、力的夹角为60°,求a^b\；（3）若a~b及a垂直，求a

及人的夹角.

8.设队〃是两个单位向量，其夹角为60°,求向量及H2/r3勿的夹角.

六、课后作业（略）

二、平面向量数量积的运算律

教学目的：

1,掌握平面向量数量积运算规律：

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题：

3.掌握两个向量共线、垂直.的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：平面向量数量枳及运算规律.

教学难点：平面向成数依积的应用

一、豆习引入：

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a及6,作OA=a,OB=b,则N/lOB=9叫a及b的夹角.

2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a及6,它们的夹角是〃，则数量引cos叫a及分的

数量枳，记作ab,即有ab=|a||61cos,

（0W"W万）.并规定。及任何向址的数量积为0.

3.“投影”的概念：作图

；一jye

fl

"-o°(Bl)flA

定义：IA|cos叫做向量力在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值：当为钝角时投影为负值：当为直角时投影为0：当

=0时投影为|引：当=180时投影为\b\.

4.向诚的数累积的几何意义：

数量积a6等于a的长度及方在a方向上投影61cos的乘积.

5.两个向量的数量积的性质：

设.、％为两个非零向量，e是及6同向的单位向量.

1ea=ae=\acos:2abab=0

3当a及8同向时，ab=|a||Z>：当&及。反向时，ab=㈤㈤.特别的aa=a「或|=\'aa

4cos=-----；5|a川W|a|1”

l«ISI

二、讲解新课：

平面向珏数珏积的运算律

1.交换律：ab=ba

证：设a,方夹角为，则ab=|a||Z?|cos,ba=|/>||a|cos

.".ab-ba

2.数乘结合律：(入而b=h(a6)=a(九8)

证：若入〉0,(九a)Z>=AJa||b|cos,X(aZ>)=X|a||£>|cos,a(Xz>)=X,a||Z>|cos，

若九<0,(A,a)A=|IZ>cost)=九|a||Z>|(cos)=A.|a|IZ>|cos,九(a/>)=A,IaIZ»|cos

a(Xz>)=|a|IX/>|cos()=X|a||Z>|(cos)=Xa||Z>|ccs.

3.分配律：(a+。)c=ac+??c

在平面内取一点0,作a,AB=b,OC=c,,:a+b(即OB)在。方向上的投影等于a、b在c

方向上的投影和，即\u+b\cos=|a|cosi+|Z>|cos2

|c||a+引cos=|<?||a|cosi+|r||£>|cos.,.c(a+=ca+cb即：(a+Z>)c

=ac+bc

说明：(1)一般地，(a•b)e(b,c)

(2)a•c=b•c,cWO*a=b

<3)有如下常用性质：/=IaI2,

(a+6)(c+d)=a•d+b•c+b•d

(a+6)?=a?+2a•b+b?

三、讲解范例:

例1已知a、8都是非零向量，且a+38及7a58垂直，a4b及7B24垂直，求a及8的夹角.

解：由(&+3。)(7a5。)=074+16ab15Z>2=0①

(a4b)(7a2Z>)=07#30ab+8Z/=0②

两式相减：2ab=if

代入①或②得：#=B

ab_b2

设、小的夹角为，则-60

“cos|a|SI=2|bF=5

例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.

解：如图：平行四边形ABCD中，AB=DC,AD=BC,AC=AB+AD

・・.|怒|2=|凝+而2=病+访+2而.而2-------

而—BD-AB-AD,----------