抛物线压轴讲义

抛物线压轴讲义

一、定点问题

1、已知动圆过定点4(4,0),且在y轴上截得的弦WV的长为8.

(I)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(II)已知点8(-1,0),设不垂直于x轴的直线/与轨迹C交于不同的两点巴。，若x

轴是NP8Q的角平分线，证明直线/过定点.

2、已知抛物线C的顶点为原点，其焦点产(0,c)(c>0)到直线/:x-y-2=0的距离为

上叵.设尸为直线/上的点,过点P作抛物线C的两条切线产4PB,其中AB为切点.

2

(I)求抛物线C的方程；

(II)当点尸&,%)为直线/上的定点时,求直线AB的方程；

(III)当点尸在直线/上移动时，求卜耳•忸的最小值.

3、设抛物线C:y=/的焦点为F,动点P在直线/:工一)，—2=0上运动，过P作抛物线C

的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.

(1)求AAPB的重心G的轨迹万程；

(2)证明NPFA=NPFB.

4、如图，在平面直角坐标系xa中，过定点C(0,p)作直线与抛物线/=20，(〃>0)相

交于小占两点.

(1)若点、是点C关于坐标原点。的对称点，求A/W8面积的最小值;

(2)是否存在垂直，轴的直线/,使得/被以/I。为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在,

求出/的方程：若不存在，说明理由.

二、取值范围问题

5、过抛物线E:f=2〃),(p>0)的焦点F作斜率分别为配内的两条不同的直线(，加且

K+&=2,《与石相交于点A,B,〃与E相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N

为圆心)的公共弦所在的直线记为I.

(I)若尢>0,网>0,证明；前•而<2P2;

(II)若点M到直线/的距离的最小值为Zf,求抛物线E的方程.

6、已知△川。顶点h-3,0),点力在y轴上，点。在x轴正半轴上，尸A*4Q=0,QM=2AQ.

(1)当点月在y轴上移动时，求动点必的轨迹£的方程；(2)设直线/：片々(户1)与轨

迹E交于仅。两点，点〃(1.0),若NBDC为钝角,求A的取值范围.

7、给定抛物线。：/=4筋〃是。的焦点，过点〃的直线/与。相交于力、6两点，记。为坐

标原点.（D求苏•瓦的值；（2）设而=义而，当三角形〃仿的面积S£[2,君],

求2的取值范围.

8、已知动圆过定点P（l,0）,且与定直线/：x=-l相切，点C在/上.

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P,且斜率为一后的直线与曲线M相交于A,B两点.（i）问：/XABC能否为

止三角形？若能，求点C的坐标：若小能，说明理由：（ii）当△ABC为钝角三角形时，求

这种点C的纵坐标的取值范围.

三、开放性问题

9、已知动圆过定点（1,0）,且与直线x=T相切.（1）求动圆的圆心轨迹C的方程：（2）

lintuua

是否存在直线/,使/过点（0,1）,并与轨迹C交于RQ两点，且满足OP-OQ=0?若

存在，求出直线/的方程：若不存在，说明理由.

10、已知一条曲线C在y釉右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都

是1.

（I）求曲线C的方程；

（II）是否存在正数m,对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有

瓦•方<0?若存在，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由。

11、已知抛物线C：）3=2/2x（">0）过点A（1,-2）o

（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（II）是否存在平行于0A（0为坐标原点）的直线L,（更得直线L与抛物线C有公共点,

且直线0A与L的距离等于'二？若存在，求直线L的方程：若不存在，说明理由。

5

12、已知抛物线C：y=2x2,直线>="+2交C于4,B两点,M是线段48的中点,

过M作x轴的垂线交。于点N.

（I）证明：抛物线C在点N处的切线与A5平行；

（II）是否存在实数%使稿•而=0,若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

四、求值

13、己知过抛物线），2=2〃M〃>0）的焦点，斜率为2梃的直线交抛物线于

A（内,）3），研&,）\）（x]<x2'）两点,且目=9.

（1）求该抛物线的方程：

（2）O为坐标原点，。为他物线上一点，若反=苏+2而，求4的值.

14、如图，已知尸(1,0),直线=P为平面上的动点，过点P作/的垂线，垂足为

点0,且。户•。尸=户户・尸0.

(I)求动点P的轨迹C的方程：

(II)过点b的直线交轨迹C于4,8两点，交直线/于点M.

(1)已知加=44户，MB=^BF,求4+4的值：

(2)求师M阿的最小值.

15、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2),其焦点F在x轴

上.

(1