高中数学计算速度练 第100练计算速度训练20

第100练计算速度训练20模块五五级阶段---高中计算速度练1．设全集，集合，，则【答案】【分析】先求出A，B集合的具体元素，再根据集合交并补的定义求解【详解】由集合A得得，解得，则，则，又，故；故答案为：.2．在等差数列中，，，求数列的前n项和【答案】【分析】根据等差数列的求和公式求出和，再对根据符号作分类计算.【详解】设公差为d，由等差数列的求和公式得，，解得，，所以，由得，即数列的前5项为正，其余各项为负，则数列的前n项和，所以当时，；当时，，即；故答案为：.3．已知函数，若正实数满足，则的最小值为.【答案】16【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】由函数，设，则的定义域为，，则，所以是奇函数，则，又因为正实数满足，所以，，当且仅当时取到等号.故答案为：16.4．在三棱锥P－ABC中，底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为【答案】【分析】以为基底，运用空间向量求解.【详解】设，则，；故答案为：.5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足，线段CO上有点N满足，设，已知，则．【答案】3【分析】由，根据三点共线，用基底表示，由，可得，进而用表示，根据向量基本定理，建立等量关系，即可求解.【详解】，，，，，由平面向量基本定理，得，解得，故答案为：3.6．的最小值为．【答案】【分析】由数形结合，转为求抛物线上动点到及准线距离和的最值.【详解】易知动点的轨迹为抛物线，C的焦点为，设P到C的准线的距离为d，，则，故的最小值为．故答案为：.【点睛】方法点睛：平方和的形式可看作两点距离公式，再根据点的坐标形式判断点所在的曲线，将问题转化为几何问题求最值.7．定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是.【答案】【分析】依题意首先求出的大致范围，进而确定的范围，根据题意结合正弦函数可得，即可求出ω的取值范围.【详解】设函数的最小正周期为，由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，则，则，注意到，解得，∵，则，由题意可得：，解得，故的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：（1）根据正弦型函数的性质估算的范围；（2）求的范围，结合正弦函数的图象与性质列式求解.8．某人在次射击中击中目标的次数为，若，若最大，则【答案】8【分析】依题意可得，则，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围，再结合的取值特征，即可得解.【详解】在次射击中击中目标的次数为，当时对应的概率，因为取值最大，所以，即，即，解得，因为且，所以，即时概率最大．故答案为：9．已知函数，若在上有解，则的最小值.【答案】【分析】确定点在直线上，，设，求导得到导函数，确定单调区间计算最值得到答案.【详解】设函数在上的零点为，则，所以点在直线上.设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，所以，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以，，所以的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求最值，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将转化为点到直线的距离的平方，再利用导数求最值是解题的关键.10．如图，在直角中，，，为斜边上异于、的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则线段长度的最小值为．【答案】【分析】过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，记，则，利用空间数量积的运算性质可得出，即可求得的最小值.【详解】过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，如下图所示：，，记，则，，则，，因为二面角的大小为，则、的夹角为，，且，所以，，即，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，线段长度的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.11．在锐角中，角所对的边分别为，它的面积等于且，则的面积的取值范围是.【答案】【分析】根据三角形面积公式化简已知等式可求得，结合余弦定理可求得，利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换知识可求得，由正弦型函数值域求法可求得取值范围，代入三角形面积公式即可.【详解】，，即，又，；由得：，；由正弦定理得：，，，；为锐角三角形，，解得：，，，则，.故答案为：.12．设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是．【答案】【分析】利用距离公式将表示，配方后，分和两种情况讨论即得【详解】设，则，因为，当即时，，所以，即化简得：，故，两边同除以得，所以；当，即时，，所以，由，同除以得，所以综上，离心率的范围为故答案为：【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．13．函数，若关于的方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据导数分析函数单调性、极值可得函数图象大致变化趋势，令后转化为方程在上两不等根，再由判别式及根的分布求解.【详解】定义域为，当时，，当或时，，即在上单调递增，在上单调递减，其中，且，令，要想关于的方程有6个不同的实数解，则方程要有两个位于上的根，则，解得或，不妨设方程的两个根为，且，则，由两根均小于，则.令，则有，又，解得.综上，的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数对函数变化趋势进行分析，函数先增后减再增，函数值为负，据此转化为只需，有两个不同的符合条件的值，可使得原方程有6个根，其次方程要有两个位于上的根之后，需要根据根的分布对方程系数进行分析得出n的范围是第二个关键点.14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin=sinC，且a=1．(1)求A；(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．【答案】(1)(2)2-3【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到sin=，即可得到；（2）根据AB=AC，A=，得到△ABC为等边三角形，然后在△BDE中利用余弦定理得到CD=2-BE+，最后利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）因为csin=sinC，且a=1，所以csin=asinC，所以sinCsin=sinAsinC.因为C∈(0,π)，sinC≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sinA，即cos=sinA，所以cos=2sincos.因为∈(0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.（2）因为AB=AC，A=，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1.如图，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，由余弦定理得cosB=，所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，所以CD=2-BE+，因为0≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，当且仅当2-BE=，即BE=2-时，等号成立，所以CD的最小值为2-3.15．已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.(1)求和的通项公式；(2)设，，求数列的前2n项和；(3)设，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)+n(3)【分析