2026线性代数期末考试试卷及答案

2026线性代数期末考试试卷及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为n阶方阵，且|A|=A.2B.(C.(D.−2.设A为m×n矩阵，B为n×A.A=OB.rC.rD.r3.设A,B均为A.A+B.(C.(D.(4.设向量组α1,α2,α3线性无关，令βA.线性相关B.线性无关C.秩为1D.秩为25.设A为n阶实对称矩阵，则下列说法正确的是（）A.A的特征值均大于0B.A的任意两个特征向量均正交C.存在正交矩阵Q，使Q−D.A一定可逆二、填空题（每题3分，共15分）1.行列式122.设A=213.设向量组α1=(1,4.设A为3阶方阵，其特征值为1,−15.二次型f(三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式D答案：48解析：将第2、3、4列都加到第1列，得D用第1行乘以−1D2.解矩阵方程AXA答案：X解析：|AA于是X3.求非齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+x_2+x_3=1,\\

x_1+2x_2-x_3=0,\\

2x_1+3x_2+0x_3=1

\end{cases}$$的通解。答案：(解析：由第二个方程减第一个方程，得x2−2代入第一个方程，得x1+(第三个方程等于前两个方程相加，自动满足。令x3(4.求矩阵A的特征值与特征向量。答案：特征值λ1=2对应λ1=2对应λ2=λ3=解析：|对λ=2，解(2对λ=−1，解(−E5.用正交变换化二次型f为标准形，并写出所用的正交矩阵。答案：标准形为f=可取正交矩阵$$Q=\begin{pmatrix}

\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\

\frac{1}{\sqrt3}&-\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt6}\\

\frac{1}{\sqrt3}&0&-\frac{2}{\sqrt6}

\end{pmatrix},$$使X=QY解析：二次型矩阵为A其中J为全1矩阵。A的特征值为4,对λ=4，取特征向量(1对λ=1，取与q1q于是正交变换X=QY四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶实对称矩阵，且A2=E，证明：存在正交矩阵Q，使Q−1λ故λ2=1，即λ=±1。因此解析：本题关键利用实对称矩阵的正交对角化性质，再由A22.设A为m×n实矩阵，证明：参考答案与解析一、单项选择题1.答案：C解析：|−2.答案：B解析：AB=O说明B的每一列均为齐次方程组AX=3.答案：C解析：(A4.答案：B解析：β1,β2,β3由α5.答案：C解析：实对称矩阵可正交对角化；A需正定才保证特征值全大于0，B中属于同一特征值的特征向量不一定正交，D中|A二、填空题1.答案：0解析：第3行等于第2行的2倍减去第1行，行列式两行线性相关，故为0。2.答案：1解析：|A|=3.答案：2解析：α3=α4.答案：0解析：A2−E的特征值为12−1=5.答案：1解析：平方项系数为矩阵对角元，交叉项2x1x四、证明题1.答案：因为A实对称，故存在正交矩阵Q，使Q−1AQ=Λ=diag(2