人教版数学八年级下册 22.1函数的概念（第1课时） 教案

22.1函数的概念（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量，本节课在充分体会运动变化过程中数量变化的基础上，领会变量与常量的含义。2.

内容分析函数是初中数学代数领域的核心内容，是刻画现实世界中运动变化关系的重要数学模型，而常量与变量是构建函数概念的基础和前提，是学生从研究静态数量关系转向动态数量关系的关键节点。本节课依托学生熟悉的生活实际和数学实例，让学生在感知数量变化的过程中理解常量、变量的含义，其学习内容承接了小学阶段对简单数量关系、公式的运用，又为后续学习函数的定义、三种表示方法及一次函数、反比例函数的性质与应用奠定认知基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解常量、变量的意义。二、目标和目标解析1.

目标（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义，发展抽象能力。（2）能结合公式、实际问题分析其中的变量与常量，体会运动变化过程中的数量变化。2.

目标解析（1）学生能通过对汽车行驶、票房收入等简单实例的探究，观察并描述变化过程中不同量的取值特征，自主归纳出常量、变量的定义，实现从具体实例到数学概念的抽象，初步发展数学抽象能力和观察分析能力。（2）学生能结合数学公式、生活实际问题，独立梳理变化过程中的数量关系，准确判断其中的常量与变量，理解常量和变量是相对具体变化过程而言的，能体会运动变化过程中变量之间的相互依存关系，为后续函数概念的学习做好铺垫。三、教学问题诊断分析存在问题：1.学生受小学阶段静态数量关系学习的影响，难以快速适应对动态变化过程的分析，容易忽略“变化过程”这一前提，对常量与变量的相对性理解不足，固化地认为某一个量必然是常量或变量

。2.

面对实际问题时，学生容易混淆量与量之间的关系，无法快速梳理出核心的变化过程，对隐含在问题中的常量识别不敏感，导致判断常量和变量出现错误。应对策略：设计对比性探究问题，通过改变同一公式中的固定条件，让学生在不同变化过程中分析同一量的属性，直观感受常量与变量的相对性。2.引导学生掌握“先明确变化过程，再分析量的取值”的判断方法，通过圈画问题中的关键词、梳理数量关系式的方式，将抽象的实际问题转化为清晰的数学关系，降低分析难度。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能分析实际问题中的变量与常量。四、教学过程设计（一）情境引入“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化…….在现实世界中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.（视频：这是一个变化的世界；图片：星系、瀑布、云朵、发芽）为了研究运动变化现象中变量之间的关系，数学中逐渐形成了函数概念.人们通过研究函数及其性质，可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律.在本章中，我们将通过具体例子，认识常量和变量，学习函数的概念和表示方法.在此基础上，用函数描述一些简单问题中变量之间的关系，感受函数在刻画变量关系和变化规律中的作用.设计意图：以“万物皆变”为主题，结合视频、图片等直观教学素材，呈现生活中常见的运动变化现象，让学生直观感受现实世界中量的变化，激发学生的学习兴趣和探究欲望。自然引出本节课的研究主题，让学生体会研究常量与变量的实际意义，为后续从数学角度分析变化现象做好铺垫。（二）合作探究思考(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1h，2h，5h时，行驶路程s分别为多少?s的值随t的值的变化而变化吗?答：该问题反映了汽车行驶的路程s随行驶时间t的变化而变化的过程.在这个过程中，行驶速度的值是始终不变的，行驶时间t和行驶路程s的值是变化的．思考(2)电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗?答：该问题反映了电影票房收入y随售出票数x的变化而变化的过程.在这个过程中，电影票的售价是始终不变的，售出票数x和票房收入y的值是变化的.思考(3)你见过水中的涟漪吗?如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?答：该问题反映了圆的面积S随圆的半径r的变化而变化的过程.在这个过程中，圆周率π的值是始终不变的，圆的半径r和圆的面积S的值是变化的．思考(4)长方体的体积为1000cm3，当长方体的底面积S分别为50cm2，100cm2，125cm2时，高h分别为多少?h的值随S的值的变化而变化吗?答：该问题反映了长方体的高h随长方体的底面积S的变化而变化的过程.在这个过程中，长方体的体积的值是始终不变的，长方体的底面积S和长方体的高h的值是变化的．归纳常量与变量的概念一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.设计意图：选取4个贴近学生生活、数量关系简单清晰的典型实例，让学生通过自主计算、思考交流，初步感知变化过程中不变的量和变化的量；通过表格梳理的方式，将零散的实例结论系统化，帮助学生从具体实例中抽象概括出常量与变量的数学概念，突出教学重点。（三）典例分析例1指出下列问题中的常量和变量：（1）某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为xt，月应缴水费为y元.（2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元．李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为w元.（3）用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2.解：（1）生活用水的价格是常量，某户的月用水量x和月应缴水费y是变量.（2）刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数n和公交卡中的余额w是变量.（3）绳的长度是常量，矩形的一边长x和面积S是变量.设计意图：选取典型的生活实际问题，紧扣常量与变量的概念，层层递进地引导学生分析问题中的变化过程和数量关系。同时，让学生进一步感受数学与生活的紧密联系，体会数学的实用性。（四）巩固练习1.指出下列问题中的常量和变量：(1)向一个水池注水，注水速度为0.1m3/min.记注水时间为xmin，注水量为ym3.(2)我国“十三五”期间每年的国内生产总值如下表所示.(3)一个平行四边形的底边长为5，高h可以任意改变，面积为S.解：（1）注水速度是常量，注水时间x和注水量y是变量.（2）年份x和国内生产总值y是变量.（3）底边长是常量，高h和面积S是变量.2.举两个运动变化的例子.并分别指出其中的常量和变量.例如：一个圆锥的体积一定时，它的高随着底面积的变化而变化，这里圆锥的体积是常量，底面积和高都是变量.（答案不唯一）3．对于圆的周长公式C=2πA．C，π是变量，2是常量 B．r是变量，C是常量C．C是变量，r是常量 D．C，r是变量，2π是常量4．在三角形面积公式S=12ah，aA．S，a是变量，h是常量 B．S，h是变量，a是常量C．S，h是变量，12a是常量 D．S，h，a是变量，5．球的体积是M，球的半径为R，则M=43πRA．变量是M，R；常量是43π B．变量是R，π；常量是C．变量是M，π；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是M6．一支笔2元，买x支共付y元，则2和y分别是（

C

）A．常量，常量B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量7．如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长z（单位：cm）与本人的身高s（单位：cm）之间的关系式为z=0.3s−31.3，则下列关于变量和常量的说法正确的是（

D

A．z是变量，s是常量 B．s是变量，z是常量C．0.3与−31.3是变量，s与z是常量 D．s与z是变量，0.3与−31.3是常量8．已知某汽车耗油量为0.1L/km，油箱中现有汽油50L．如果不再加油，记此后汽车行驶的路程为xkm，油箱中的油量为yL．则此问题中的常量和变量是（

C

）A．常量50；变量x． B．常量0.1；变量y．C．常量0.1，50；变量x，y． D．常量x，y；变量0.1，50．9．如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌．在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确的是（

C

）A．金额、单价是变量，数量是常量B．数量、单价是变量，金额是常量C．金额、数量是变量，单价是常量D．金额、数量、单价都是变量设计意图：设计分层练习，既有基础的常量、变量识别题，又有结合数学公式的选择题，还有开放性的举例题，兼顾不同层次学生的学习需求。通过练习，让学生巩固常量与变量的概念，熟练掌握判断方法。归纳总结

（六）感受中考

（2022年广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr．下列判断正确的是（

CA．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量设计意图：选取中考真题作为练习题，让学生感受本节课知识在中考中的考查形式和难度，进一步巩固常量与变量的概念，提升学生对核心知识点的掌握程度，实现课堂知识与中考考点的有效衔接。（七）小结梳理（八）布置作业1.必做题：习