广东省深圳市致理中学2026-2027学年高三（上）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省深圳市致理中学高三（上）月考数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.若集合A={−2,0,2}，B={x|x2=2x}，则A∩B=A.{−2,0} B.{2} C.{−2,2} D.{0,2}2.已知抛物线C：x2=ay的准线方程为y=3，则a=(

)A.6 B.12 C.−12 D.−63.在(2−x)5的展开式中，A.10 B.−10 C.20 D.−204.已知等差数列{an}中，a4+A.5 B.6 C.7 D.85.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)=ex，则f(1)=(

)A.−1e B.−e C.1e6.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称.若cosα=−13，则cos(α−β)=A.19 B.−79 C.17.研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度v1(单位：m/s)与其耗氧量Q1之间的关系式为：v1=a+blog3Q110(其中a，b是实数)，据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v2(单位：m/s)，耗氧量单位数为Q2，统计发现：v2与log3QA.Q22=9Q1 B.Q18.已知点A(2,0)，B(0,2)，P(m,n)在曲线x=1−y2上，记∠APB=α，则存在函数f(x)，对曲线上任意一点PA.m=f(α) B.α=f(m) C.n=f(α) D.α=f(n)二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.已知f(x)=22sin(2x+A.f(π+x)=f(x) B.f(3π8−x)=f(x)

C.x∈(0,π4)，10.设双曲线Γ：x2−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2.过F1的直线l与Γ的两条渐近线的交点分别为A、B，A为A.△AOB是直角三角形 B.△BOF2是等腰直角三角形

C.|AB|=5 D.11.一个棱长为2的正方体内有一个内切球O1，若球O2与正方体的三个面和球O1相切，球O3与正方体的三个面和球O2相切，依次类推，球On+1与正方体的三个面和球On相切n∈N∗，设球A.R2=2−3

B.数列{Rn}三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.已知随机变量X～N(3,σ2)且P(X>1)=0.8，则P(1<X<3)=

13.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z14.在△ABC中，已知AB=2，BC=3，点P在△ABC内，且满足CP=2，∠APC+∠ABC=π，则四边形ABCP面积的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=13及x=1处取得极值．

(1)求a，b的值；

16.已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a=(Sn,n)，b=(9n−7,2)且a与b共线．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对任意m∈N∗，将数列17.在三棱锥P−ABC中，等边三角形PAB的边长为2，BC=4，AB⊥AC，点E为BC的中点，设二面角P−AB−C，P−BC−A的平面角分别为α,β,α∈(0,π2)．

(1)证明：AB⊥PE；

(2)当α=π3时，求直线CP与平面PAB夹角的正弦值；

(3)18.工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．

(Ⅰ)如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

(Ⅱ)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望19.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，直线l与Γ相切，与圆O：x2+y2=3a2相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，|AB|=26．

(1)求Γ的方程；

(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M,N)．

(ⅰ)若M，N分别为线段AB与圆O，P为圆O上一点，当△PAB的面积最大时，求d(M,N)；1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】C

12.【答案】0.3

13.【答案】214.【答案】2

15.【答案】解：∵f(x)=x3+ax2+bx+c，∴f′(x)=3x2+2ax+b，

(1)由已知得13，1是3x2+2ax+b=0的两个根，

故13+1=−2a313×1=b3，解得a=−2，b=1；

(2)由(1)得f(x)=x3−2x2+x+c，

f′(x)=3x2−4x+1，结合(1)可知，该函数的零点为16.【答案】解：(1)∵a与b共线．

∴2Sn=n(9n−7)，

∴Sn=n(9n−7)2=92n2−72n，

∴a1=1，an=Sn−Sn−1=9n−817.【答案】证明：设AB的中点为O，连接OP、OE，则OE/​/AC，

因为三角形PAB为等边三角形，所以AB⊥OP，

又因为AB⊥AC，所以AB⊥OE，

又因为OP∩OE=O，OP、OE⊂平面OPE，

所以AB⊥平面OPE，又因为PE⊂平面OPE，

所以AB⊥PE

3101018.【答案】解：(Ⅰ)任务不能被完成的概率为(1−p1)(1−p2)(1−p3)为定值，

所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关．

任务能被完成的概率为1−(1−p1)(1−p2)(1−p3)

(Ⅱ)X的取值为1，2，3

P(X=1)=q1

P(X=2)=(1−q1)q2

P(X=3)=(1−q1)(1−q2)

EX=q1+2(1−q1)q2+3(1−19.【答案】解：(1)当l垂直于x轴时，|AB|=23a2−a2=22a=26，

解得a=3，离心率e=ca=a2−b2a=3−b23=63，解得b2=1，

所以Γ的方程为：x23+y2=1．

(2)(i)当l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，

由y=kx+mx2+3y2=3，消去y得：(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，

由直线l与椭圆Γ相切，得Δ=(6km)2−4(3k2+1)(3m2−3)=0，整理得m2=3k2+1，

于是圆心O到直线l的距离d=|m|k2+1=3k2+1k2+1=3−2k2+1∈[1,3),

则△PAB的面积为S△PAB≤12(d+3)⋅|AB|=12(d+3)⋅29−d2=(3−d)(d+3)3，

设f(d)=