2026届上海市控江中学高三下学期考前自测数学试卷

2026届上海市控江中学高三下学期考前自测数学试卷一、填空题1.抛物线的焦点到准线的距离是_________________.2.已知复数（为虚数单位），则______.3.已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________．4.若正数满足，则的最小值为______.5.设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________．6.已知，若，则______．7.若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________.8.已知，，若，则满足条件的的取值范围是____________．9.已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________.10.设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则____________.11.某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1m)12.对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________.二、单选题13.已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（）.

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14.如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（）

A．B．C．D．15.设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为

A．B．C．D．16.设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题：①若是关于点集S的"拟像函数"，则原点；②设，若(a，b是常数)是的"拟像函数"，则.则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（）

A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假三、解答题17.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；(1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；(2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差；18.在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的大小.19.已知连续函数和，设，集合.(1)若指数函数的图像过点，且，求M；(2)若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由.20.已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点.(1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围；(2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值；(3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由.21.设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”.(1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数；(2)设，，，求的所有可能取值