2026届北京市北京北师大实验中学高三下学期考前热身练习数学试卷

2026届北京市北京北师大实验中学高三下学期考前热身练习数学试卷一、单选题1.在复平面内，复数对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合，，则（）

A．B．C．D．3.在的展开式中，的系数是（）

A．25B．35C．45D．554.等差数列的首项为，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（）

A．24B．24C．3D．35.一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为，经过分钟净化后，废气中二氧化硫的浓度为，并满足.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：，，）（）

A．136分钟B．140分钟C．142分钟D．150分钟6.将抛物线平移使其顶点与坐标原点重合，得到抛物线，则的准线方程为（）

A．B．C．D．7.设双曲线：的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，为坐标原点，若，则双曲线C的渐近线方程为（）

A．B．C．D．8.在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（）

A．4B．C．5D．610.如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（）

A．B．C．D．二、填空题11.函数的定义域为_______.12.设函数，若恒成立，且在上存在零点，写出一个满足题意的的值为___________.13.玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示.某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列.若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为___________.14.已知函数，，若存在2个零点，则实数m的取值范围是______．15.如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线的一部分，给出下列四个结论：①点在上；②在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为整数；③若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点；④在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于.其中正确结论的序号是______.三、解答题16.在中，，.(1)求的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.条件①：；条件②：；条件③：的面积为6.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分）17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．18.在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，现对仓库中两种颜色的球，分别进行了简单随机抽样，所得结果统计如下：

红色白色塑料球木质球塑料球木质球68个136个153个51个(1)估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率；(2)从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率．(3)若仓库中红色球的个数是白色球的3倍，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明）19.已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点.(1)求的方程；(2)若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和.（i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系；（ii）证明：直线经过轴上的定点.20.设函数(1)时，求函数的最大值.(2)讨论的单调性.(3)当时，证明：.21.已知，数列：，，⋯，，其中.称集合{，是的因数}为数列的