3.4.2相似三角形周长和面积的性质 课件 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

#北师大版九年级上册相似三角形周长、面积的性质专项练习##知识点梳理若$\boldsymbol{\triangleABC\backsim\triangleA'B'C'}$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)相似比为$\boldsymbol{k=\dfrac{AB}{A'B'}}$1.**周长之比=相似比**$$\frac{C_{\triangleABC}}{C_{\triangleA'B'C'}}=k$$2.**面积之比=相似比的平方**$$\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'}}=k^2$$>汇总记忆-对应高、中线、角平分线、周长→等于**相似比（一次）**-面积→等于**相似比的平方（二次）**>易错提醒1.已知面积比求相似比\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)要**开平方**；已知相似比求面积比\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)要**平方**；2.性质只对**相似图形**成立\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)普通三角形不适用；3.注意三角形顺序\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)相似比不要颠倒。##一、选择题（每题4分\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)共20分）1.两个相似三角形相似比$\(2:3\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)则周长之比是（）A.$\(2:3\)$B.$\(4:9\)$C.$\(3:2\)$D.$\(9:4\)$2.$\triangleABC\backsim\triangleDEF$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)相似比$\(1:5\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)面积之比为（）A.$\(1:5\)$B.$\(1:10\)$C.$\(1:25\)$D.$\(5:1\)$3.两相似三角形面积比$\(4:9\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)它们的相似比是（）A.$\(4:9\)$B.$\(2:3\)$C.$\(16:81\)$D.$\(9:4\)$4.$\triangleABC\backsim\triangleA'B'C'$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)周长比$\(3:4\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)则面积比为（）A.$\(3:4\)$B.$\(4:3\)$C.$\(9:16\)$D.$\(16:9\)$5.下列说法正确的是（）A.面积比等于相似比B.周长比等于相似比的平方C.相似比等于面积比的算术平方根D.周长比越大\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)面积一定越小##二、填空题（每题4分\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)共20分）1.相似三角形周长的比等于________；面积的比等于________。2.相似比$\(3:5\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)周长比=________\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)面积比=________。3.面积比$2\(5:1\)6$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)相似比=________\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)周长比=________。4.$\triangleABC\backsim\triangleMNP$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)相似比$\(1:3\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)若$S_{\triangleABC}=2$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)则$S_{\triangleMNP}=$________。5.周长比$\(4:7\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)对应高之比=________。##三、解答题（共60分）1.（18分）$\triangleABC\backsim\triangleA'B'C'$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)相似比为$\(2:3\)$。若$\triangleABC$周长是$12$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)面积是$8$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)求$\triangleA'B'C'$的周长和面积。2.（20分）已知两个相似三角形面积之比是$\(9:16\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)较小三角形周长为$18$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)求大三角形周长。3.（22分）如图\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)在$\triangleABC$中\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)$DE\parallelBC$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)$AD:DB=\(2:3\)$。（1）求$\triangleADE$与$\triangleABC$的周长之比；（2）求$\triangleADE$与四边形$DBCE$的面积之比。##参考答案与解析###选择题1.A解析：周长比=相似比2.C解析：面积比=$1^\(2:5\)^2=\(1:25\)$3.B解析：相似比=$\sqrt{4}:\sqrt{9}=\(2:3\)$4.C解析：周长比$\(3:4\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)面积比=$3^2:4^2=\(9:16\)$5.C###填空题1.相似比；相似比的平方2.$\(3:5\)$；$\(9:25\)$3.$\(5:4\)$；$\(5:4\)$4.$18$5.$\(4:7\)$###解答题1.解：相似比$k=\dfrac23$$\dfrac{C_{\triangleABC}}{C_{\triangleA'B'C'}}=\dfrac23\Rightarrow\dfrac{12}{C_{\triangleA'B'C'}}=\dfrac23$$\boldsymbol{C_{\triangleA'B'C'}=18}$面积比$=k^2=\dfrac49$$\dfrac{8}{S_{\triangleA'B'C'}}=\dfrac49$$\boldsymbol{S_{\triangleA'B'C'}=18}$2.解：面积比$\(9:16\)$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)相似比$=\sqrt{9}:\sqrt{16}=\(3:4\)$周长比=相似比$=\(3:4\)$$\dfrac{18}{C_{\text{大}}}=\dfrac34$$\boldsymbol{C_{\text{大}}=24}$3.解：$AD:DB=\(2:3\)\RightarrowAD:AB=\(2:5\)$$\becauseDE\parallelBC\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)相似比$\(2:5\)$（1）周长比=相似比$=\boldsymbol{\(2:5\)}$（2）面积比$=2^\(2:5\)^2=4:25$$S_{\triangleADE}:S_{DBCE}=4:(25-4)=\boldsymbol{4:21}$##易错点总结1.面积比是相似比的**平方**\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)考题高频坑\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)经常忘记平方/开方；2.求四边形面积\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)常用：大三角形面积−小三角形面积；3.$DE\parallelBC$模型：$\triangleADE\backsim\triangleABC$\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)先求底边的线段比=相似比；4.看清问题：问的是两个三角形面积比\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)还是三角形和四边形面积比。下一节：**3.5相似三角形的应用（测高、测距）**\(\becauseDE\parallelBC，\therefore\triangleADE\backsim\triangleABC\)继续写专项练习吗？北师大版（新教材）数学九年级上册3.4.2相似三角形周长和面积的性质授课教师：.

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2026/10/8

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第三章图形的相似1.理解并掌握相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方;（重点）2.会利用相似三角形的性质来解决简单的问题;（难点）3.类比相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，猜想相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体验类比思想.CABEDFD'D'A'B'E'F'

如图所示，△ABC∽△A′B′C′，线段CD、CE、CF分别是AB边上的高、∠ACB的平分线、AB边上的中线，线段C'D'

、C'E'、C'F'分别是A'B'边上的高、∠A'C'B'的平分线、A'B'边上的中线.

相似三角形对应线段比的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于

.相似比

k(k为相似比)02新知导入复习导入问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ABCA1B1C103新知探究问题：如果△ABC

的△A'B'C'，相似比为

2，那么△ABC

与△A'B'C'

的周长比是多少？面积比呢？(1)(2)(3)123(1)与(2)的相似比=______，(1)与(2)的周长比=______，(1)与(2)的面积比=______；1:21:21:31:3(1)与(3)的相似比=______,(1)与(3)的周长比=______，(1)与(3)的面积比=______.ABCA'B'C'A''B''C''1:41:903新知探究如果

△ABC

的

△A'B'C'，相似比为

k，那么你能求

△ABC

与△A'B'C'

的周长比和面积比吗？猜想1：相似三角形的周长比等于

．相似比猜想2：相似三角形的面积比等于

．相似比的平方【尝试·思考】03新知讲解

03新知讲解

03新知讲解

03新知讲解

03新知讲解

03新知讲解提炼概念

定理相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。知识点1

相似三角形周长的比等于相似比

B

返回

BA.50

B.60

C.70

D.80返回

CA.54

B.36

C.27

D.21返回03新知讲解两个相似四边形的周长比等于相似比吗?两个相似n边形呢?03新知讲解

03新知讲解两个相似四边形的面积比等于相似比的平方吗?你能利用相似三角形的性质说明吗?如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k，AC，A′C′分别为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的对角线。ADA′D′BCB′C′03新知讲解ADA′D′BCB′C′

03新知讲解相似多边形的性质：两个相似多边形的面积比等于相似比的平方；两个相似多边形的对应对角线之比等于相似比；两个相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。新课探究例1

如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积S△GEC是△ABC面积S