部编版高二数学第3章函数性质应用练习题及答案

部编版高二数学第3章函数性质应用练习题及答案第1页共1页部编版高二数学第3章函数性质应用练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是A.3B.2C.1D.0参考答案：A2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-3,3]上的最小值是A.1B.2C.3D.4参考答案：B3.函数h(x)=2sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值是A.1B.2C.√3D.√2参考答案：B4.函数k(x)=x-ln(x)在区间(0,+∞)上的单调递增区间是A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.无单调递增区间参考答案：B5.函数m(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极小值，且在x=2处取得极大值，则a的值是A.3B.4C.5D.6参考答案：B6.函数n(x)=e^x-x^2在区间(-1,1)上的零点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：C7.函数p(x)=x^2-2ax+3在区间(-∞,2)上单调递减，则实数a的取值范围是A.a≤2B.a≥2C.a≤1D.a≥1参考答案：B8.函数q(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|在区间[0,4]上的最小值是A.1B.2C.3D.4参考答案：C9.函数r(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的拐点是A.(-1,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(2,-2)参考答案：C10.函数s(x)=x^3-3x^2+3x-1在区间(-∞,+∞)上的图像与直线y=x的交点个数是A.1B.2C.3D.4参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是______。参考答案：32.若函数g(x)=a^x(a0且a≠1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是______。参考答案：(0,1)3.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______。参考答案：34.不等式|2x-1|3的解集是______。参考答案：(-1,2)5.函数m(x)=sin(x)+1在一个周期内的最大值是______。参考答案：26.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相切，则k^2+b^2的最小值是______。参考答案：27.抛物线y=x^2-4x+3的焦点坐标是______。参考答案：(2,1)8.函数n(x)=e^x-x在R上的零点个数为______。参考答案：19.已知点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程是______。参考答案：x-y-1=010.若向量a=(1,k)与向量b=(2,-1)垂直，则实数k的值是______。参考答案：-2三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x³在其定义域内单调递增。参考答案：√2.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则其反函数f⁻¹(x)在区间(f(a),f(b))上也单调递减。参考答案：√3.函数f(x)=|x|在其定义域内处处可导。参考答案：×4.若函数f(x)在点x₀处取得极值，则其导数f'(x₀)必定为0。参考答案：×5.函数f(x)=x²-4x+3的图像与x轴有两个交点。参考答案：√6.若函数f(x)是奇函数，则其导函数f'(x)必定为偶函数。参考答案：√7.函数f(x)=e^x在其定义域内无界。参考答案：√8.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则其在该区间上必有最大值和最小值。参考答案：√9.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π。参考答案：√10.若函数f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)存在且不为0，则x₀必为f(x)的拐点。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数y=f(x)在某个区间I上，如果对于任意x₁，x₂∈I，当x₁x₂时，都有f(x₁)f(x₂)，则称函数y=f(x)在区间I上单调递增；当x₁x₂时，都有f(x₁)f(x₂)，则称函数y=f(x)在区间I上单调递减。2.说明函数奇偶性的判断条件。参考答案：函数f(x)关于原点对称，即满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；关于y轴对称，即满足f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。3.列举三个常见的初等函数及其单调区间。参考答案：①一次函数y=kx+b(k≠0)，当k0时在(-∞,+∞)上单调递增，当k0时在(-∞,+∞)上单调递减；②二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，当a0时在(-∞,-b/2a)上单调递减，在(-b/2a,+∞)上单调递增；当a0时在(-∞,-b/2a)上单调递增，在(-b/2a,+∞)上单调递减；③指数函数y=a^x(a0且a≠1)，当a1时在(-∞,+∞)上单调递增，当0a1时在(-∞,+∞)上单调递减。4.分析函数f(x)=x³-3x+1的极值点。参考答案：极值点为x=1。5.判断函数g(x)=sin(x)+cos(x)是否为周期函数，并说明理由。参考答案：是周期函数，周期为2π。6.简述函数f(x)=e^x的图像特征。参考答案：①定义域为(-∞,+∞)；②值域为(0,+∞)；③过点(0,1)；④在(-∞,+∞)上单调递增；⑤图像为指数曲线，随着x增大迅速上升；⑥是偶函数，图像关于y轴对称。7.列举函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)开口方向判定的依据。参考答案：①当a0时，函数开口向上；②当a0时，函数开口向下；③a的绝对值越大，开口越窄；④对称轴为x=-b/2a。8.分析函数h(x)=logₐ(x)的图像与底数a的关系。参考答案：①当a1时，函数图像在第一象限上升较快，在第三象限下降较慢；②当0a1时，函数图像在第一象限上升较慢，在第三象限下降较快；③a越大，图像越靠近y轴；④a越接近1，图像越平缓。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，求a的值及函数的单调区间。参考答案：a=3，单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)2.设函数g(x)=e^x-bx+1，若g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，求实数b的取值范围。参考答案：b≤13.已知函数h(x)=x^2-2x+3，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为4，最小值为14.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1与g(x)=x^2-x+1在x轴上恰有一个公共点，求实数k的值。参考答案：k=15.已知函数F(x)=x^3-3x^2+2，求函数的零点个数和单调区间。参考答案：零点个数为2，单调递增区间为(-∞,1)和(2,+∞)，单调递减区间为(1,2)6.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处取得相同的最小值，求a和b的关系式。参考答案：a=3且b=07.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函数的拐点坐标。参考答案：(1,0)8.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在区间[0,2]上的最大值与最小值之差为k，求k的值。参考答案：k=8标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=0，f(1)=0，f(2)=3。最大值为3。2.参考答案：B解析：g(x)在x=-1处取得最小值2，其他区间值均大于等于2。3.参考答案：B解析：h(x)=2sin(x)+1-2sin^2(x)=-2(sin(x)-1/2)^2+5/2。当sin(x)=1/2即x=π/6时取得最大值2。4.参考答案：B解析：k'(x)=1-1/x0得x1。5.参考答案：B解析：m'(x)=3x^2-2ax+b，由题意得m'(1)=0且m'(2)=0，解得a=4。6.参考答案：C解析：n'(x)=e^x-2x，n'(x)在(-1,1)内有两个零点，n(-1)0，n(1)0，故n(x)在(-1,1)内有一个零点。7.参考答案：B解析：p'(x)=2x-2a，由p'(x)≤0得x≤a，要使p(x)在(-∞,2)上单调递减，需a≥2。8.参考答案：C解析：q(x)在x=2处取得最小值3，其他区间值均大于等于3。9.参考答案：C解析：r''(x)=6x-6，令r''(x)=0得x=1。r(1)=0，故拐点为(1,0)。10.参考答案：C解析：s(x)-x=x^3-3x^2+2x-1=(x-1)^3，故交点个数为3。二、填空题1.参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-1，f(-1)=2，f(1)=-1，f(2)=5。故最大值为5。2.参考答案：(0,1)解析：指数函数a^x单调性与a的取值有关，当0a1时函数单调递减。3.参考答案：3解析：|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为1-(-2)=3。4.参考答案：(-1,2)解析：|2x-1|3等价于-32x-13，解得-1x2。5.参考答案：2解析：sin(x)的取值范围是[-1,1]，故sin(x)+1的取值范围是[0,2]，最大值为2。6.参考答案：2解析：直线与圆相切，则圆心(0,0)到直线kx-y+b=0的距离等于半径2，即|b|/√(k^2+1)=2，得b^2=4(k^2+1)，最小值为4。7.参考答案：(2,1)解析：y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，焦点坐标为(2,-1/44+1)=(2,1)。8.参考答案：1解析：n'(x)=e^x-1，令n'(x)=0得x=0。n(0)=10，n(x)在R上单调递增，故只有一个零点。9.参考答案：x-y-1=0解析：中点为(2,1)，斜率为-1/(-1)=1，故方程为y-1=1(x-2)，即x-y-1=0。10.参考答案：-2解析：向量垂直则数量积为0，即12+k(-1)=0，得k=-2。三、判断题1.参考答案：√解析：函数f(x)=x³的导数f'(x)=3x²≥0，在其定义域R上恒成立，故f(x)在R上单调递增。2.参考答案：√解析：根据反函数性质，若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则其反函数f⁻¹(x)在区间(f(a),f(b))上也单调递减。这是反函数单调性定理的直接推论。3.参考答案：×解析：函数f(x)=|x|在x=0处不可导。其左右导数分别为lim(h→0⁺)h/0=1和lim(h→0⁻)h/0=-1，左右导数不相等，故不可导。4.参考答案：×解析：函数f(x)在点x₀处取得极值，其导数f'(x₀)可能为0，也可能不存在。例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但f'(0)不存在。5.参考答案：√解析：函数f(x)=x²-4x+3的图像与x轴的交点即为方程x²-4x+3=0的根。解得(x-1)(x-3)=0，根为x=1和x=3，故有两个交点。6.参考答案：√解析：若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)。对其两边求导得f'(-x)•(-1)=-f'(x)，即f'(-x)=f'(x)，故f'(x)是偶函数。7.参考答案：√解析：函数f(x)=e^x的定义域为R，且lim(x→+∞)e^x=+∞，lim(x→-∞)e^x=0，故f(x)在其定义域内无界。8.参考答案：√解析：根据闭区间上连续函数的性质（极值定理），若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则其在该区间上必有最大值和最小值。9.参考答案：√解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函数sin(x)的最小正周期为2π，故f(x)的最小正周期也为2π。10.参考答案：×解析：函数f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)存在且不为0，只能说明x₀不是f(x)的驻点（即不是极值点），不能说明x₀必为f(x)的拐点。拐点的判定需要看f'(x)在x₀处是否改变符号。四、简答题1.参考答案：函数y=f(x)在某个区间I上，如果对于任意x₁，x₂∈I，当x₁x₂时，都有f(x₁)f(x₂)，则称函数y=f(x)在区间I上单调递增；当x₁x₂时，都有f(x₁)f(x₂)，则称函数y=f(x)在区间I上单调递减。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求严格区分递增与递减的表述。单调性定义揭示了函数值随自变量变化的趋势性，是研究函数性质的基础。在判断单调性时，需要明确区间范围，因为单调性可能在不同区间表现不同。例如，二次函数y=x²在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，但在整个定义域上并非单调函数。2.参考答案：函数f(x)关于原点对称，即满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；关于y轴对称，即满足f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。解析：奇偶性是函数的重要对称性质，判断时需严格验证定义。奇函数图像关于原点中心对称，偶函数图像关于y轴轴对称。奇函数满足f(0)=0，但f(0)不存在时函数仍可能为奇函数。例如f(x)=x³/x在x≠0时为奇函数。判断奇偶性时需先确定定义域是否关于原点对称（奇函数）或y轴对称（偶函数）。3.参考答案：①一次函数y=kx+b(k≠0)，当k0时在(-∞,+∞)上单调递增，当k0时在(-∞,+∞)上单调递减；②二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，当a0时在(-∞,-b/2a)上单调递减，在(-b/2a,+∞)上单调递增；当a0时在(-∞,-b/2a)上单调递增，在(-b/2a,+∞)上单调递减；③指数函数y=a^x(a0且a≠1)，当a1时在(-∞,+∞)上单调递增，当0a1时在(-∞,+∞)上单调递减。解析：常见初等函数的单调区间是高考常考知识点。一次函数单调性由斜率决定；二次函数需结合开口方向与对称轴位置分析；指数函数单调性由底数大小决定。掌握这些基本函数的单调性是解决复合函数单调性问题的基础。4.参考答案：极值点为x=1。解析：首先求导数f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。通过二阶导数检验，f''(1)=-60，故x=1为极大值点；f''(-1)=60，故x=-1为极小值点。函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极大值f(1)=1，在x=-1处取得极小值f(-1)=-1。极值点判断需综合导数符号变化与二阶导数检验。5.参考答案：是周期函数，周期为2π。解析：函数g(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为√2sin(x+π/4)。正弦函数sin(x)的周期为2π，因此g(x)也是周期函数，周期为2π。判断周期性时，需找到最小的正数T，使得f(x+T)=f(x)对所有x成立。对于三角函数，通常通过化简为标准形式判断周期。6.参考答案：①定义域为(-∞,+∞)；②值域为(0,+∞)；③过点(0,1)；④在(-∞,+∞)上单调递增；⑤图像为指数曲线，随着x增大迅速上升；⑥是偶函数，图像关于y轴对称。解析：指数函数y=e^x具有独特的图像特征。其值域为正实数集，这是所有指数函数的共同特征。图像过点(0,1)意味着当x=0时y=1。单调递增性表明函数值随x增大而增大。由于e^(-x)=1/e^x，e^x是偶函数，图像关于y轴对称。这些特征在解决指数函数相关问题时非常重要。7.参考答案：①当a0时，函数开口向上；②当a0时，函数开口向下；③a的绝对值越大，开口越窄；④对称轴为x=-b/2a。解析：二次函数开口方向由二次项系数a决定，这是判断二次函数图像性质最基本的方法。当a0时，抛物线开口向上，顶点为最小值点；当a0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点。a的绝对值越大，抛物线开口越窄，即函数值变化越快。对称轴位置由-b/2a确定，这是求解函数最值点的基础。8.参考答案：①当a1时，函数图像在第一象限上升较快，在第三象限下降较慢；②当0a1时，函数图像在第一象限上升较慢，在第三象限下降较快；③a越大，图像越靠近y轴；④a越接近1，图像越平缓。解析：对数函数y=logₐ(x)的图像特征与底数a密切相关。当a1时，函数在x1时单调递增，图像在第一象限上升较快；当0a1时，函数在x1时单调递减，图像在第一象限下降较快。底数a越大，图像越靠近y轴，即函数值随x增大增长越快。当a接近1时，图像趋于平缓。掌握这些特征有助于解决对数函数相关的不等式与方程问题。五、应用题1.参考答案：a=3，单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)解析：由f'(x)=3x^2-3=0得x=±1，又f(x)在x=1处取得极值，故a=3。f'(x)=3(x-1)(x+1)，令f'(x)0得x-1或x1，令f'(x)0得-1x1，故单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)。2.参考答案：b≤1解析：g'(