2026年北师大版高一数学上册第4章函数性质测试题及答案

2026年北师大版高一数学上册第4章函数性质测试题及答案第1页共1页2026年北师大版高一数学上册第4章函数性质测试题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)上的最大值是A.2B.1C.0D.-1参考答案：C2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是A.0B.1C.2D.3参考答案：C3.若函数h(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上且顶点在x轴上，则下列条件正确的是A.a0且b^2-4ac=0B.a0且b^2-4ac0C.a0且b^2-4ac0D.a0且b^2-4ac=0参考答案：A4.函数k(x)=1/x在点(1,1)处的切线方程是A.y=xB.y=-xC.y=x-1D.y=-x+1参考答案：A5.函数m(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是A.1B.√2C.√3D.2参考答案：B6.函数n(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性是A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增参考答案：A7.函数p(x)=log(x)在区间(0,1)上的图像是A.上升且无界B.下降且无界C.上升且有界D.下降且有界参考答案：D8.函数q(x)=tan(x)的周期是A.πB.2πC.π/2D.3π/2参考答案：A9.函数r(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-∞,+∞)上的零点个数是A.1B.2C.3D.4参考答案：C10.函数s(x)=|x|在区间(-1,1)上的导数是A.-1B.0C.1D.不存在参考答案：D二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的对称轴方程是______。参考答案：x=22.若函数f(x)=1/x在x=2处的切线斜率为-1/4，则该切线的方程为______。参考答案：y=-1/4x+23.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______。参考答案：34.函数h(x)=2sin(x)+1的最大值为______。参考答案：35.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上且顶点在x轴上，则b^2-4ac的值为______。参考答案：06.函数y=log_a(x)在x=2时取得值为1，则a的值为______。参考答案：27.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点为______。参考答案：-1,18.函数g(x)=e^x-x在x=0附近的单调性为______。参考答案：单调递增9.函数h(x)=sin(x)cos(x)的周期为______。参考答案：π10.若函数f(x)=x^2+px+q的图像经过点(1,0)和(3,0)，则p+q的值为______。参考答案：4三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3在定义域内单调递增。参考答案：√2.若函数f(x)是奇函数，则其图像一定关于原点对称。参考答案：√3.函数f(x)=1/x在(0,+∞)上单调递减。参考答案：√4.函数f(x)=|x|在定义域内处处可导。参考答案：×5.若函数f(x)在x=a处取得极值，则其导数f'(a)必等于0。参考答案：×6.函数f(x)=x^2-4x+3的图像与x轴有两个交点。参考答案：√7.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2。参考答案：√8.函数f(x)=e^x在定义域内单调递增且无界。参考答案：√9.若函数f(x)在区间(a,b)上连续且单调递增，则其在该区间上必有最大值但无最小值。参考答案：×10.函数f(x)=log_a(x)在x0时，当a1时单调递增，当0a1时单调递减。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数y=f(x)在其定义域内的某个区间I上，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断方法。参考答案：判断函数奇偶性的方法：①根据定义判断。如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。②利用奇偶函数的图像特征判断。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。3.列举三个常见的函数及其单调区间。参考答案：三个常见的函数及其单调区间：①一次函数f(x)=x，在R上单调递增；②二次函数f(x)=x^2，在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增；③指数函数f(x)=2^x，在R上单调递增。4.分析函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程。参考答案：函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为x=2。5.判断函数f(x)=1/x在定义域内的单调性。参考答案：函数f(x)=1/x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内不是单调函数。6.列举一个既是奇函数又是单调递增的函数。参考答案：一个既是奇函数又是单调递增的函数是f(x)=x。7.说明函数f(x)=a^x(a0且a≠1)的图像特征。参考答案：函数f(x)=a^x(a0且a≠1)的图像特征：①过定点(0,1)；②当a1时，图像在y轴右侧上升，在y轴左侧下降；当0a1时，图像在y轴右侧下降，在y轴左侧上升；③图像不相交于x轴；④图像是连续不断的。8.分析函数f(x)=sin(x)的周期性。参考答案：函数f(x)=sin(x)的周期为2π。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值3，最小值02.设函数g(x)=|x-1|+|x+2|，求函数g(x)的最小值。参考答案：33.已知函数h(x)=2sin(x)+cos(2x)，求函数h(x)的最大值和最小值。参考答案：最大值√5+1，最小值-√5-14.判断函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上是否存在零点，若存在，求出零点所在的区间。参考答案：存在，零点在(-1,0)5.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-1，求a+b+c的值。参考答案：-26.设函数f(x)=|x-1|-|x+1|，求函数f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积。参考答案：27.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且极值为-1，求a和b的值。参考答案：a=3，b=-28.已知函数f(x)=e^x-x^2，判断函数f(x)在区间(0,1)上是否单调递增。参考答案：是单调递增标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。最大值为2。2.参考答案：C解析：g(x)=|x-1|+|x+1|表示数轴上点x到1和-1的距离之和，最小值为2。3.参考答案：A解析：开口向上需a0，顶点在x轴上需b^2-4ac=0。4.参考答案：A解析：k'(x)=-1/x^2，k'(1)=-1，切线方程为y-1=-1(x-1)，即y=x。5.参考答案：B解析：m(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2。6.参考答案：A解析：n'(x)=e^x-1，在(0,+∞)上e^x1，n'(x)0，单调递增。7.参考答案：D解析：log(x)在(0,1)上单调递减且值域为(-∞,0)。8.参考答案：A解析：tan(x)的周期为π。9.参考答案：C解析：r'(x)=3x^2-6x+2=0有两个不等实根，结合函数图像可知有三个零点。10.参考答案：D解析：|x|在x=0处不可导。二、填空题1.参考答案：x=2解析：函数f(x)=x^2-4x+3可化为f(x)=(x-2)^2-1，对称轴为x=2。2.参考答案：y=-1/4x+2解析：f'(x)=-1/x^2，f'(2)=-1/4，切线方程为y-1/2=-1/4(x-2)，化简得y=-1/4x+2。3.参考答案：3解析：g(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2时取得最小值3。4.参考答案：3解析：h(x)=2sin(x)+1的最大值为2+1=3。5.参考答案：0解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上且顶点在x轴上，则Δ=b^2-4ac=0。6.参考答案：2解析：log_a(2)=1，则a^1=2，a=2。7.参考答案：-1,1解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)=-60，f''(1)=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。8.参考答案：单调递增解析：g'(x)=e^x-1，x=0时g'(0)=0，但x0时g'(x)0，x0时g'(x)0，故x=0附近单调性为递增。9.参考答案：π解析：h(x)=sin(x)cos(x)=1/2sin(2x)，周期为π。10.参考答案：4解析：f(1)=1+p+q=0，f(3)=9+3p+q=0，联立解得p=-4,q=3，p+q=-1。三、判断题1.参考答案：√解析：对于函数f(x)=x^3，其导数f'(x)=3x^2。由于3x^2≥0对所有实数x恒成立，且仅当x=0时取等号，因此f'(x)≥0在定义域R上恒成立，根据导数与单调性的关系可知，函数f(x)=x^3在定义域R上单调递增。此结论符合函数单调性的判定定理，故该命题正确。2.参考答案：√解析：根据奇函数的定义，若函数f(x)是奇函数，则满足f(-x)=-f(x)对所有定义域内的x成立。在几何上，这意味着函数图像关于原点对称。具体证明如下：设P(x,y)为函数f(x)图像上任意一点，则其关于原点对称的点为P'(-x,-y)。由奇函数定义f(-x)=-f(x)，即f(-x)的函数值与-f(x)相等，而-f(x)对应的点为(-x,-f(x))，这与点P'(-x,-y)重合。因此，函数f(x)的图像关于原点对称。此结论符合奇函数的几何性质，故该命题正确。3.参考答案：√解析：对于函数f(x)=1/x，其导数f'(x)=-1/x^2。在区间(0,+∞)上，x^20，因此-1/x^20恒成立。根据导数与单调性的关系可知，f'(x)0在(0,+∞)上恒成立，这表明函数f(x)=1/x在(0,+∞)上单调递减。此结论符合反比例函数的单调性性质，故该命题正确。4.参考答案：×解析：函数f(x)=|x|在x=0处不可导。具体分析如下：当x0时，f(x)=x，其导数为f'(x)=1；当x0时，f(x)=-x，其导数为f'(x)=-1。在x=0处，左导数f'_-(0)=lim(x→0^-)f'(x)=-1，右导数f'_+(0)=lim(x→0^+)f'(x)=1。由于左导数不等于右导数，即f'_-(0)≠f'_+(0)，根据可导的必要条件可知，函数f(x)=|x|在x=0处不可导。因此，该命题错误，正确表述应为"函数f(x)=|x|在x=0处不可导"。5.参考答案：×解析：函数f(x)在x=a处取得极值，其导数f'(a)可能等于0，也可能不存在。根据极值的必要条件，可导函数在极值点处的导数必等于0，但非可导函数在极值点处的导数可能不存在。例如，函数f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但f'(0)不存在。因此，该命题错误，正确表述应为"可导函数f(x)在x=a处取得极值，则其导数f'(a)必等于0"。6.参考答案：√解析：函数f(x)=x^2-4x+3的图像与x轴的交点即为方程x^2-4x+3=0的实数根。解此方程得(x-1)(x-3)=0，即x=1或x=3。因此，函数f(x)=x^2-4x+3的图像与x轴有两个交点(1,0)和(3,0)。此结论符合二次函数图像与坐标轴交点的性质，故该命题正确。7.参考答案：√解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以表示为√2sin(x+π/4)，因为f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x)cos(π/4)+√2cos(x)sin(π/4)=√2sin(x+π/4)。正弦函数的最大值为1，因此√2sin(x+π/4)的最大值为√2。当x+π/4=π/2+2kπ(k∈Z)时，即x=π/4+2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值√2。此结论符合三角函数的性质，故该命题正确。8.参考答案：√解析：对于指数函数f(x)=e^x，其导数f'(x)=e^x。由于e^x0对所有实数x恒成立，因此f'(x)0在定义域R上恒成立，这表明函数f(x)=e^x在定义域R上单调递增。同时，当x→+∞时，e^x→+∞；当x→-∞时，e^x→0。因此，函数f(x)=e^x无界。此结论符合指数函数的性质，故该命题正确。9.参考答案：×解析：若函数f(x)在区间(a,b)上连续且单调递增，则其在该区间上必有最大值和最小值。根据闭区间上连续函数的性质，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。虽然该命题中只给出了开区间(a,b)，但根据函数在开区间上单调递增的性质，其最大值出现在b处（如果b是有限值且属于定义域），最小值出现在a处（如果a是有限值且属于定义域）。即使a或b为无穷，单调递增函数在开区间上仍然有最大值和最小值。因此，该命题错误，正确表述应为"若函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调递增，则其在该区间上必有最大值和最小值"。10.参考答案：√解析：根据对数函数的性质，当底数a1时，对数函数f(x)=log_a(x)在x0时单调递增；当0a1时，对数函数f(x)=log_a(x)在x0时单调递减。具体证明如下：对于a1，任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1x2，则log_a(x1)-log_a(x2)=log_a(x1/x2)。由于x1x2，x1/x21，对于a1，log_a(x)在(0,1)区间内为负值，因此log_a(x1/x2)0，即log_a(x1)log_a(x2)，函数单调递增。对于0a1，同理可得log_a(x1)log_a(x2)，函数单调递减。此结论符合对数函数的性质，故该命题正确。四、简答题1.参考答案：函数y=f(x)在其定义域内的某个区间I上，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调递增（或单调递减）的。解析：本题考查函数单调性的定义。函数单调性是函数的重要性质之一，定义中需要注意三点：①定义域内的某个区间I；②任意两个自变量x1，x2；③x1x2时，f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。如果是不等号，则函数单调递增；如果是大于号，则函数单调递减。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。2.参考答案：判断函数奇偶性的方法：①根据定义判断。如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。②利用奇偶函数的图像特征判断。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。解析：本题考查函数奇偶性的判断方法。判断函数奇偶性通常有两种方法：一是根据定义判断，需要验证f(-x)与f(x)的关系；二是利用图像特征判断，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。两种方法都需要注意函数的定义域必须关于原点对称才能是奇函数或偶函数。3.参考答案：三个常见的函数及其单调区间：①一次函数f(x)=x，在R上单调递增；②二次函数f(x)=x^2，在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增；③指数函数f(x)=2^x，在R上单调递增。解析：本题考查常见函数的单调性。一次函数f(x)=ax+b的单调性由a决定，a0时单调递增，a0时单调递减。二次函数f(x)=ax^2+bx+c的单调性由对称轴x=-b/2a决定，在对称轴左侧单调性相反，右侧单调性相同。指数函数f(x)=a^x(a0且a≠1)的单调性由a决定，a1时单调递增，0a1时单调递减。4.参考答案：函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为x=2。解析：本题考查二次函数的对称轴。二次函数f(x)=ax^2+bx+c的对称轴方程为x=-b/2a。将a=1，b=-4代入得x=-(-4)/(2×1)=2。对称轴是函数图像的对称中心，决定了函数的单调区间。5.参考答案：函数f(x)=1/x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内不是单调函数。解析：本题考查反比例函数的单调性。反比例函数f(x)=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)两个区间上分别是单调递减的，但在整个定义域内不是单调函数。因为当x10x2时，f(x1)f(x2)，不满足单调性定义。6.参考答案：一个既是奇函数又是单调递增的函数是f(x)=x。解析：本题考查奇函数和单调递增函数的例子。奇函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，单调递增函数满足x1x2时f(x1)≤f(x2)。f(x)=x是满足这两个条件的函数，其图像是一条过原点的直线，既关于原点对称又是单调递增的。7.参考答案：函数f(x)=a^x(a0且a≠1)的图像特征：①过定点(0,1)；②当a1时，图像在y轴右侧上升，在y轴左侧下降；当0a1时，图像在y轴右侧下降，在y轴左侧上升；③图像不相交于x轴；④图像是连续不断的。解析：本题考查指数函数的图像特征。指数函数的图像特征与底数a的取值密切相关。当a1时，函数单调递增，图像从左下向右上延伸；当0a1时，函数单调递减，图像从左上向右下延伸。所有指数函数的图像都过定点(0,1)且不与x轴相交。8.参考答案：函数f(x)=sin(x)的周期为2π。解析：本题考查正弦函数的周期性。正弦函数f(x)=sin(x)是周期函数，其周期T满足f(x+T)=f(x)。由于sin(x+2π)=sin(x)，所以正弦函数的周期为2π。周期函数的图像每隔一个周期重复出现，正弦函数的图像在[-π/2,π/2]区间内从0增加到1，在[π/2,3π/2]区间内从1减少到-1，然后重复出现。五、应用题1.参考答案：最大值3，最小值0解析：函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上是一个开口向上的抛物线，其顶点为(2,-1)，因此最小值为f(