初三上册数学-第11讲-平行线分线段成比例（培优）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第11讲----平行线分线段成比例授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握比例的性质及其简单应用；结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段；探索并掌握基本事实“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论；进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识框架知识概念（一）线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n，或写成EQ\F(AB,CD)=EQ\F(m,n)，其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。1.确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一2.两条线段的比值是长度比，所以结果是正数，没有单位3.图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺（二）成比例线段四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．1.四条线段a，b，c，d成比例，只能记作eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)或a：b=c：d，不能写成其他形式。四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序写出。2.判断给定的四条线段是否成比例的方法（1）排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；（2）算：分别求出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比；（3）判：若这两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。（三）比例的性质1.基本性质：如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc；如果eq\f(a,b)＝EQ\F(b,c)，那么b2=ac，b叫做a、c的比例中项2.合分比性质：如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么eq\f(a±b,b)＝eq\f(c±d,d)3.等比性质：如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq\f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq\f(a,b).（四）平行线分线段成比例定理1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。2.如下图所示，所得的对应线段成比例的有：EQ\F(AB,BC)=eq\f(DE,EF)，EQ\F(AB,AC)=\F(DE,DF)，\F(AB,DE)=\F(AC,DF)，等等。3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示：（五）平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有EQ\F(ＡＤ,ＡＢ)＝\F(ＡＥ,ＡＣ)，\F(ＡＤ,ＤＢ)＝\F(ＡＥ,ＥＣ)，\F(ＤＢ,ＡＢ)＝\F(ＥＣ,ＡＣ)典例分析典例分析考点一：线段的比例1、已知2x+4y=0，且x≠0，则y与x的比是（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2【解析】A．例2、在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是（）A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km【解析】设甲、乙两地间的实际距离为x，则：=，解得x=125000cm=1.25km．故选：D．考点二：成比例线段例1、已知线段a=l，c=5，线段b是线段a、c的比例中项，线段b的值为（）A．2.5 B． C．±2.5 D．±【解析】∵线段b是线段a、c的比例中项，∴b2=ac，即b2=1×5，解得b=﹣（舍去）或b=，∴线段b的值为．故选B．例2、已知a，b，c，d四条线段依次成比例，其中a＝3cm，b＝(x－1)cm，c＝5cm，d＝(x＋1)cm.求x的值．【解析】依题意，得eq\f(3,x－1)＝eq\f(5,x＋1)，解得x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，∴x＝4考点三：比例的性质例1、若互不相等的四条线段的长a、b、c、d满足EQ\F(a,b)=\F(c,d)，m是任意实数，则下列各式中，一定成立的是（）A．EQ\F(a+m,b+m)=\F(c+m,d+m)B．C． D．【解析】A，根据分式的基本性质，错误；B，根据比例的性质可知该等式不成立，错误．C，根据乘法交换律，交换两内项的位置，应是EQ\F(a,b)=\F(c,d)，错误；D，若EQ\F(a,b)=\F(c,d)，根据分式的合比性质，得①，②．①÷②，得D正确．例2、已知，则的值是（）A．3 B．4C．﹣4 D．﹣3【解析】A．例3、阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设=k，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a），∴x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，∴x+y+z=0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当时，求的值．【解析】本题考查了比例的性质．解题是，涉入了一个中介k，利用比例的性质得到a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，通过约分求得代数式的值．解：设=k，所以a+b﹣c=kc①，aib+c=kb②，﹣a+b+c=ka③，由①+②+③，得a+b+c=k（a+b+c）．∵a+b+c≠0，∴k=1．∴a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b．∴==8．考点四：平行线分线段成比例定理及其推论例1．如图，l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是()A.eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)B.eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)C.eq\f(CE,AE)＝eq\f(DF,BF)D.eq\f(AE,BF)＝eq\f(BD,AC)【解析】D（第1题图)（第2题图)例2、如图，直线l1∥l2∥l3，已知AG＝0.6cm，BG＝1.2cm，CD＝1.5cm，则CH＝____cm.【解析】0.5例3、如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，BE交AD于点G，则=．【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵AE=EF=FC，∴F是CE中点，∴DF∥GE，又∵AE=EF，∴GE为△ADF的中位线，即得DF∥BE，即=．故答案为：．例4、如图，D为△ABC的BC边的中点，E为AC边上的一点，AC=3CE，BE和AD交于G点，则AG：GD=（）A．2B．3C．3或4D．4【解析】过点D作DF∥AC，交BE于F，由D为△ABC的BC边的中点，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由AC=3CE，即可得=4．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意对应线段的对应关系．例5、（2014•泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A． B． C． D．【解析】作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出=，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=BC求解．作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：C．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、已知eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，则下列式子中正确的是()A．a∶b＝c2∶d2B．a∶b＝d∶cC．a∶b＝(a＋c)∶(b＋d)D．a∶b＝(a－d)∶(b－d)【解析】C2、已知四条线段满足a=EQ\F(cd,b)，将它改写成为比例式，下面正确的是（）A． B． C． D．【解析】C．3、如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5【解析】A4、如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．= B．= C．= D．=【解析】先根据矩形的性质得AD∥BC，CD∥AB，再根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到=，=，则可对A、C进行判断；由DF∥AB得=，则可对B进行判断；由于=，利用BC=AD，则可对D进行判断．5、如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①eq\f(AN,CN)＝eq\f(AM,AB)；②eq\f(AD,DM)＝eq\f(AM,MB)；③eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,NC)；④eq\f(AD,AM)＝eq\f(AN,AC).其中正确结论的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】C6、已知三条线段的长分别为1cm，2cm，eq\r(2)cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．【解析】设另一条线段长为xcm，有三种情况：①1×2＝eq\r(2)x，解得x＝eq\r(2)；②2×eq\r(2)＝1·x，解得x＝2eq\r(2)；③1×eq\r(2)＝2x，解得x＝eq\f(\r(2),2).综上所述，另外一条线段的长是2eq\r(2)cm或eq\r(2)cm或eq\f(\r(2),2)cm7、（2016•济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．【解析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．故答案为：．8、（2015•安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【解析】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．∴PQ=3课后反击1、若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则eq\f(a＋b,c－2b)的值是()A．2B．－2C．3D．－3【解析】B2、下列结论中，错误的是（）A．若=，则=B．若=，则=C．若==（b﹣d≠0），则=D．若=，则a=3，b=4【解析】D．3、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解析】C4、如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（）A． B． C． D．【解析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE=BF，BD=EF；∵DE∥BC，∴==，==，∵EF∥AB，∴=，=，∴，故选C．5、已知，则k的值是．【解析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值；故答案为：26、如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD=．【解析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得AF=3，则AD=AF+FD=4.5即可．故答案为：4.5．7、已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【解析】（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．∴x=﹣2或6．8、如图，点E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，eq\f(BE,AB)＝eq\f(1,3)，EF＝2，BF＝1.5.求DF，BC的长．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(EF,DF)，∴eq\f(1,3)＝eq\f(2,DF)，∴DF＝6，又∵CD∥BE，∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(EF,DF)，∴eq\f(1.5,FC)＝eq\f(2,6)，∴CF＝4.5，∴BC＝FC＋BF＝69、如图，点E为AC的中点，点F在AB上，且AF∶AB＝2∶5，FE与BC的延长线交于点D，求EF∶ED的值．【解析】作EG∥BC交AB于点G，∵点E为AC的中点，EG∥BC，∴AG＝BG，又∵AF∶AB＝2∶5，即AF∶FB＝2∶3，∴FG∶BG＝0.5∶2.5＝1∶5，又∵EG∥BC，∴eq\f(FG,BG)＝eq\f(EF,ED)，即EF∶ED＝1∶5直击中考直击中考1、【2014•牡丹江】若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）﹣5 B．﹣ C． D．5【解析】A2、【2015•成都】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】B3、【2015•嘉兴】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A. B．2 C． D．【