初三上册数学-第12讲-相似三角形的判定（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第12讲---相似三角形的判定授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握相似三角形的三种判定方法；熟练应用三种判定方法进行解题；提高学生几何综合证明的能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建一、知识框架二、知识概念（一）相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．1、相似三角形是相似多边形中的一种；2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；3、相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；4、相似用“∽”表示，读作“相似于”；5、相似三角形的对应边之比叫做相似比，书写对应边的比时，一定要找准对应边。（二）相似三角的判定方法1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（三）相似三角形基本类型1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC2、相交线型：常见的有如下四种情形（1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC（2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB（3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，右图为常见的基本图形．4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．5、斜交型：如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）典例分析典例分析考点1：三角形相似判定方法的运用例1、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD【解析】证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解析】△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，所以有三对相似三角形．例3、如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=【解析】D．根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．例4、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．【解析】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形．考点2：网格图中相似三角形的判定例1、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A． B．C．D．【解析】B.此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．例2、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【解析】A．例3、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）【解析】（1）首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例.（2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可；△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1．考点3：动态探究问题例1、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【解析】B．例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．【解析】由题意可设AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，①当=时，△APQ∽△ABD，∴=，解得：t=3；②当=时，△APQ∽△ADB，∴=，解得：t=1.2．∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、下列命题中，是真命题的为（）A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似D．等边三角形都相似【解析】D．2、如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．=【解析】C．此题属于基础题，要求学生应熟练掌握．3、如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A．4对 B．5对 C．6对D．7对【解析】图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对．4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【解析】C．5、如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【解析】B．①②③正确；④错误．首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD．此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6、若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是__________.【解析】12.7、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。【解析】△EGC，△EAB8、如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．9、如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．【解析】BC=2a．（1）由BD∥AC，得∠EAC=∠B；由此可根据SAS判定两个三角形相似．（2）首先根据已知条件表示出AB、AD、AC的值，进而可由勾股定理判定∠D=∠E=90°；根据（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的长，进而可在Rt△BEC中，根据勾股定理求出BC的长.课后反击1、下列命题中，真命题是（）①同旁内角互补，两直线平行．②三角形任意两边之和不小于第三边；③两条对角线平分的四边形是平行四边形；④两边及其中一角对应相等的两个三角形全等；⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．A．①③⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②③④⑤【解析】A．2、已知△ABC∽△DEF，AB=6cm，BC=4cm，AC=9cm，且△DEF的最短边边长为8cm，则最长边的边长为（） A．16cm B．18cm C．4.5cm D．13cm【解析】B3、如右图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）∠APB＝∠EPCB.∠APE＝90°C.P是BC的中点D.BP︰BC＝2︰3【解析】C4、已知：如图在△ABC中，AE=ED=DC，FE∥MD∥BC，FD的延长线交BC的延长线于N，则为（） A． B． C． D．【解析】C5、如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【解析】△AGB∽△FGH，△HED∽△HBC，△HED∽△BEA，△AEB∽△HBC，共4对．故选C．6、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A． B． C． D．【解析】B．7、如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．下列结论错误的是（）A．四边形EDCN是菱形 B．四边形MNCD是等腰梯形C．△AEM与△CBN相似 D．△AEN与△EDM全等【解析】D．首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得A正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得B正确，利用SSS即可判定D正确，利用排除法即可求得答案．8、如图，已知∠ADC=∠BAC，BC=16cm，AC=12cm，求DC的长．【解析】根据已知可得出△ADC∽△BAC，再利用相似三角形的性即可得出答案．∵∠ADC=∠BAC，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴，∵BC=16cm，AC=12cm，∴DC==9cm．9、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【解析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．直击中考直击中考1、【2015•海南】如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3对.2、【2014•贵阳】如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1 B．P2 C．P3D．P4【解析】C3、【2011•深圳】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A． B． C． D．【解析】B．4、【2014•宿迁】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】C.由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使