2026年大学物理考试亥姆霍兹自由能试题及答案

2026年大学物理考试亥姆霍兹自由能试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1.亥姆霍兹自由能的定义式是下列哪一个？A.FB.FC.FD.F答案：B2.亥姆霍兹自由能判据的适用条件是？A.等温、等压、非体积功为零B.等温、等容、非体积功为零C.等压、等容、非体积功为零D.等温、等压、体积功为零答案：B解析：选项A是吉布斯自由能判据的适用条件。亥姆霍兹自由能判据要求过程同时满足等温、等容、非体积功为零三个条件，此时自发过程朝着F减小的方向进行。3.等温过程中，系统亥姆霍兹自由能的减少量等于？A.系统对外做的体积功B.系统对外做的非体积功C.系统对外做的最大功（含体积功与非体积功）D.外界对系统做的功答案：C解析：由热力学第二定律可推导出等温过程中ΔF≤−4.亥姆霍兹自由能F是状态函数，其全微分表达式正确的是？A.dB.dC.dD.d答案：B解析：由定义F=U−TS微分得d5.根据亥姆霍兹自由能的全微分，可得∂FA.SB.−C.PD.−答案：B6.理想气体在等温膨胀过程中，其亥姆霍兹自由能的变化ΔFA.ΔB.ΔC.ΔD.无法确定答案：C解析：理想气体等温过程内能不变（ΔU=0），熵变ΔS=nRlnV7.下列关于亥姆霍兹自由能的说法，错误的是？A.F是广延量，具有能量量纲B.F的绝对值无法精确测量C.等温等容下，自发过程总是朝着F增大的方向进行D.可逆等温过程中，系统F的减少量等于对外做的最大功答案：C解析：等温等容且非体积功为零的条件下，自发过程总是朝着亥姆霍兹自由能减小的方向进行，平衡时F取最小值。8.已知某系统的亥姆霍兹自由能F(A.∂B.−C.∂D.−答案：D9.理想气体经历等温可逆压缩过程，外界对系统做的功为W，则系统亥姆霍兹自由能的变化ΔFA.ΔB.ΔC.ΔD.Δ答案：A解析：等温可逆过程中ΔF=−W系统对外10.某系统经历等温等容的自发过程，且非体积功为零，下列关于亥姆霍兹自由能变化的说法正确的是？A.ΔB.ΔC.ΔD.无法确定答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1.亥姆霍兹自由能的定义式为F=____；其全微分表达式为dF答案：U−T2.亥姆霍兹自由能判据的适用条件是____、____、非体积功为零。（每空2分）答案：等温；等容3.等温可逆过程中，系统亥姆霍兹自由能的减少量等于系统对外所做的____；这一结论也被称为____定理。（每空2分）答案：最大功；亥姆霍兹（或最大功）4.由亥姆霍兹自由能的全微分可导出麦克斯韦关系：∂S答案：∂解析：根据全微分的二阶混合偏导相等性质，对dF=−Sd5.1mol理想气体在300K下从体积V等温膨胀到2V，则该过程的亥姆霍兹自由能变化ΔF=答案：−解析：理想气体等温过程ΔU=0，熵变ΔS=三、简答题（每题10分，共20分）1.简述亥姆霍兹自由能的物理意义，并说明其判据的内容与适用条件。答案：（1）物理意义：亥姆霍兹自由能是系统的状态函数，定义为F=（2）判据内容：在等温、等容且非体积功为零的条件下，系统的自发过程总是朝着亥姆霍兹自由能减小的方向进行；当系统达到平衡态时，亥姆霍兹自由能取得最小值。（4分）（3）适用条件：必须同时满足等温、等容、非体积功为零三个条件，缺一不可。（2分）解析：亥姆霍兹自由能是热力学中为简化自发过程方向判断引入的辅助状态函数，其核心价值在于将熵判据需结合环境的复杂问题，转化为仅通过系统状态函数变化即可判断的形式，但需严格满足对应的约束条件。2.试比较亥姆霍兹自由能F与吉布斯自由能G的异同点（至少各写出3点）。答案：相同点（共4分，每点1分，答出3点即可满分）：①二者均为状态函数，具有广延性，量纲为能量；②二者的绝对值均无法直接测量，通常只研究过程中的变化量ΔF和Δ③二者均可用于判断自发过程的方向，均对应特定条件下的极值判据；④二者均由内能、熵、温度等基本状态函数组合定义，属于热力学辅助函数。不同点（共6分，每点2分，答出3点即可满分）：①定义不同：F=U−②判据适用条件不同：F的判据适用于等温、等容、非体积功为零的过程；G的判据适用于等温、等压、非体积功为零的过程；③物理意义不同：等温过程中ΔF的减少量等于系统对外做的最大总功（含体积功）；等温等压过程中Δ④应用场景不同：等容过程常用F判据，等压过程（如大多数化学反应、相变）常用G判据。解析：二者是热力学中最常用的两个自由能函数，核心区别在于约束条件不同，需结合过程的外界条件选择合适的判据，避免混淆。四、计算题（每题10分，共30分）1.2mol理想气体在298K下经历等温可逆膨胀过程，体积从0.02 m3（1）亥姆霍兹自由能变化ΔF（2）系统对外做的功W；（3）验证等温可逆过程中ΔF与功的关系。（已知普适气体常量R=8.31答案：（1）理想气体等温过程内能不变，即ΔU=0Δ由亥姆霍兹自由能定义ΔF$$\DeltaF=0-298\times18.27≈-5444\\text{J}≈-5.44\\text{kJ}$$（2分）

（也可直接通过$\DeltaF=nRT\ln\frac{V_1}{V_2}$计算，结果一致）

（2）等温可逆过程系统对外做功为：

$$W=\int_{V_1}^{V_2}PdV=nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$$（2分）

代入数据得：

$$W=2\times8.31\times298\times\ln3≈5444\\text{J}≈5.44\\text{kJ}$$（1分）

（3）验证：由计算结果可知$\DeltaF=-W$，即等温可逆过程中，系统亥姆霍兹自由能的减少量等于系统对外做的最大功，符合亥姆霍兹自由能的物理意义。（2分）

**解析**：本题考查理想气体等温过程的亥姆霍兹自由能计算，核心是结合熵变公式和$F$的定义式推导，同时验证$F$与最大功的对应关系，属于基础应用题型。

2.已知1mol水在100℃、101.325kPa下发生可逆气液相变，变为同温同压的水蒸气，摩尔汽化热$\Delta_{\text{vap}}H_m=40.67\\text{kJ·mol}^{-1}$。视水蒸气为理想气体，液态水的体积可忽略不计。试计算该相变过程的：（1）亥姆霍兹自由能变化$\DeltaF$；（2）能否用亥姆霍兹自由能判据判断该过程的自发性？请说明原因。

**答案**：

（1）相变温度$T=100+273.15=373.15\\text{K}$。

可逆相变的熵变为：

$$\DeltaS=\frac{\Delta_{\text{vap}}H_m}{T}$$（1分）

代入数据得：

$$\DeltaS=\frac{40670\\text{J·mol}^{-1}}{373.15\\text{K}}≈109.0\\text{J·mol}^{-1}·\text{K}^{-1}$$（1分）

相变过程的内能变化由焓变推导：$\DeltaU=\DeltaH-\Delta(PV)$，由于液态水体积可忽略，故$\Delta(PV)≈PV_g=nRT$。（2分）

代入数据得：

$$\DeltaU=40670\\text{J}-1\times8.31\times373.15≈37569\\text{J}$$（1分）

由亥姆霍兹自由能定义$\DeltaF=\DeltaU-T\DeltaS$，代入数据得：

$$\DeltaF=37569-373.15\times109.0≈-3104\\text{J}≈-3.10\\text{kJ}$$（2分）

（也可通过关系$\DeltaG=\DeltaF+\Delta(PV)$计算：可逆相变$\DeltaG=0$，故$\DeltaF=-nRT≈-3.10\\text{kJ}$，结果一致）

（2）不能用亥姆霍兹自由能判据判断该过程的自发性。（1分）

原因：亥姆霍兹自由能判据的适用条件是等温、等容、非体积功为零，而该相变过程是等压过程，液态水变为水蒸气体积显著增大，不满足等容条件，因此不能直接用$\DeltaF$的符号判断过程自发性。（2分）

**解析**：本题考查相变过程的亥姆霍兹自由能计算，易错点是直接套用可逆相变$\DeltaG=0$的结论认为$\DeltaF$也为0，需注意$F$和$G$的适用条件差异。

3.某固体的物态方程为$V=V_0-\alphaP+\betaT$，其中$V_0$、$\alpha$、$\beta$均为正的常量。已知温度为$T_0$、体积为$V_0$时，该固体的熵为$S_0$，定容热容$C_V$为常量。试推导该固体以$T$、$V$为独立变量的亥姆霍兹自由能$F(T,V)$的表达式。

**答案**：

亥姆霍兹自由能的全微分为$dF=-SdT-PdV$，只需将$S(T,V)$和$P(T,V)$表示为$T$、$V$的函数，再通过参考态积分即可得到表达式。（1分）

首先由物态方程解出压强的表达式：

由$V=V_0-\alphaP+\betaT$移项得：

$$P(T,V)=\frac{V_0+\betaT-V}{\alpha}$$（2分）

接下来推导熵的表达式$S(T,V)$，利用熵的全微分：

$$dS=\left(\frac{\partialS}{\partialT}\right)_VdT+\left(\frac{\partialS}{\partialV}\right)_TdV$$其中定容热容满足CV=T由麦克斯韦关系∂S∂V$$\left(\frac{\partialS}{\partialV}\right)_T=\frac{\beta}{\alpha}$$（1分）

对熵的全微分从参考态$(T_0,V_0)$积分到任意态$(T,V)$：

$$S(T,V)=S_0+\int_{T_0}^T\frac{C_V}{T}dT+\int_{V_0}^V\frac{\beta}{\alpha}dV$$计算积分得：$$S(T,V)=S_0+C_V\ln\frac{T}{T_0}+\frac{\beta}{\alpha}(V-V_0)$$（2分）

最后对亥姆霍兹自由能的全微分积分，参考态$F(T_0,V_0)=F_0$：

$$F(T,V)=F_0+\int_{T_0}^T\left(\frac{\partialF}{\partialT}\right)_{V=V_0}dT+\int_{V_0}^V\left(\frac{\partialF}{\partialV}\right)_TdV$$代入偏导关系∂F∂T温度积分（固定V=T体积积分（固定温度T）：$$\int_{V_0}^V-P(T,V)dV=-\frac{(V-V_0)(V_0+2\betaT-V)}{2\alpha}$$（2分）

整理得最终表达式：$$\begin{aligned