江苏省南京市溧水区2027届数学九上期末学业水平测试模拟试题含解析

江苏省南京市溧水区2027届数学九上期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．若关于的一元二次方程有两个实数根则的取值范围是()A． B．且 C．且 D．2．点关于原点的对称点是A． B． C． D．3．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A．（2，2） B．（2，4） C．（4，2） D．（1，2）4．下图中几何体的左视图是（）A． B． C． D．5．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定6．将点A(2，1)向右平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（）A．(0，1) B．(2，﹣1) C．(4，1) D．(2，3)7．如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（）A． B．C． D．8．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝（）A．116° B．32° C．58° D．64°9．在平面直角坐标系中，点（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（）A．(2，-6) B．(-2，6) C．(-6，2) D．(-6，2)10．为了解某地区九年级男生的身高情况，随取了该区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180cm的概率是（）组别（cm）x≤160160＜x≤170170＜x≤180x＞180人数1542385A．0.05 B．0.38 C．0.57 D．0.9511．已知二次函数的与的部分对应值如表：下列结论：抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是；⑤若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（）A． B． C． D．12．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（为实数）其中结论错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，正方形的顶点分别在轴和轴上，边的中点在轴上，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为__________．14．一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为_____．15．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为____．16．关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________．17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度，他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，则AB＝_____m．18．若点P(3，1)与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是___________．三、解答题（共78分）19．（8分）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB=50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A,B,C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒轮⊙A，⊙A与水平地面相切于点D，在拉杆伸长到最大的情况下，当点B距离水平地面34cm时，点C到水平地面的距离CE为55cm.设AF∥MN.（1）求⊙A的半径.（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为76cm，∠CAF=64°,求此时拉杆BC的伸长距离（结果精确到1cm，参考数据：sin64°≈0.9,cos64°≈0.39,tan64°≈2.1).20．（8分）（如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图2，抛物线l3：与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐标为；（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，写出a1与a2的关系式，并说明理由．21．（8分）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，．求证．（先填空，再证明）证明：22．（10分）如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．23．（10分）如图，是的平分线，点在上，以为直径的交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．（1）求证：直线是的切线；（2）若的半径为，，求的长．24．（10分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，她在地面上竖直立一根2米长的标杆CD，某一时刻测得其影长DE＝1.2米，此时旗杆AB在阳光下的投影BF＝4.8米，AB⊥BD，CD⊥BD．请你根据相关信息，求旗杆AB的高．25．（12分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃的面积为72平方米，求x的值；(2)这个苗圃的面积能否是120平方米？请说明理由．26．沙坪坝正在创建全国文明城市，其中垃圾分类是一项重要的举措．现随机抽查了沙区部分小区住户12月份某周内“垃圾分类”的实施情况，并绘制成了以下两幅不完整的统计图，图中表示实施天数小于5天，表示实施天数等于5天，表示实施天数等于6天，表示实施天数等于7天．（1）求被抽查的总户数；（2）补全条形统计图；（3）求扇形统计图中的圆心角的度数．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：且．故选：C．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式△，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．2、C【解析】解：点P(4，﹣3)关于原点的对称点是(﹣4，3)．故选C．本题考查关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，两个点的横、纵坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点是P′(﹣x，﹣y)．3、B【详解】解：连接A′B，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B⊥AB，且A′B=AB，由A（-2，0）、B（2，0）得AB=4，于是可得A′的坐标为（2，4）．故选B．4、D【分析】根据左视图是从左面看到的图形，即可．【详解】从左面看从左往右的正方形个数分别为1，2，故选D．本题主要考查几何体的三视图，理解左视图是从左面看到的图形，是解题的关键．5、A【解析】先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案．【详解】解：一元二次方程中，△，则原方程有两个不相等的实数根．故选：A．本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根6、C【分析】把点（2，1）的横坐标加2，纵坐标不变即可得到对应点的坐标．【详解】解：∵将点（2，1）向右平移2个单位长度，∴得到的点的坐标是（2+2，1），即：（4，1），故选：C．本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7、C【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．【详解】由作图步骤可得：是的角平分线，∴∠COE=∠DOE，∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，∴△COE≌△DOE，∴∠CEO=∠DEO，∵∠COE=∠DOE，OC=OD，∴CM=DM，OM⊥CD，∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，但不能得出，∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，故选C．本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键.8、B【分析】根据圆周角定理求得：∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知∠BOD＝180°﹣∠AOD，∴∠BCD＝32°．【详解】解：连接OD．∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，∴∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；∴∠BCD＝32°；故答案为B．本题主要考查了圆周角定理，理解同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解答本题的关键.9、A【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点A（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（2，-6），

故选：A．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．10、D【分析】先计算出样本中身高不高于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不高于180cm的频率＝＝0.1，所以估计他的身高不高于180cm的概率是0.1．故选：D．本题考查了概率，灵活的利用频率估计概率是解题的关键.11、B【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)可对③④进行判断；根据二次函数的性质求出x的值，即可对⑤进行判断．【详解】设抛物线解析式为y=ax(x﹣4)，把(﹣1，5)代入得5=a×(﹣1)×(﹣1﹣4)，解得：a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x，所以①正确；抛物线的对称轴为直线x==2，所以②正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)，开口向上，∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，由x2﹣4x=2，解得：x1=，由x2﹣4x=3，解得：x2=，若取x1=，x2=，则⑤错误．故选：B．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．12、B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线可知：，，对称轴，∴，∴，故①错误；②由对称轴可知：，∴，，故②错误；③关于的对称点为，∴时，，故③正确；④当时，y的最小值为，∴时，，∴，故④正确故选：B.本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】过点E作EG⊥x轴于G，设点E的坐标为（），根据正方形的性质和“一线三等角”证出△CEG≌△FCO，可得EG=CO=，CG=FO=OG－OC=，然后利用等角的余角相等，可得∠BAF=∠FCO，先求出tan∠BAF，即可求出tan∠FCO，即可求出x的值，从而求出OF和OC，根据勾股定理和正方形的性质即可求出CF、BF、AB、AF，从而求出OA.【详解】解：过点E作EG⊥x轴于G，如下图所示

∵反比例函数的图象过点，设点E的坐标为（）∴OG=x，EG=∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°∵点E、F分别是CD、BC的中点∴EC=CD=BC=CF∵∠CEG＋∠ECG=90°，∠FCO＋∠ECG=90°，∴∠CEG=∠FCO在△CEG和△FCO中∴△CEG≌△FCO∴EG=CO=，CG=FO=OG－OC=∵∠BAF＋∠AFB=90°，∠FCO＋∠COF=90°，∠AFB=∠COF∴∠BAF=∠FCO在Rt△BAF中，tan∠BAF=∴tan∠FCO=tan∠BAF=在Rt△FCO中，tan∠FCO=解得：则OF==，OC=根据勾股定理可得：CF=∴BF=CF=，AB=BC=2CF=，根据勾股定理可得：AF=∴OA=OF＋AF=故答案为：.此题考查的是反比例函数、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握利用反比例函数解析式设图象上点坐标、作辅助线构造全等三角形和等角的锐角三角函数相等是解决此题的关键.14、12【解析】先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长．【详解】解：x1﹣3x﹣10＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，即x﹣2＝0或x+1＝0，∴x1＝2，x1＝﹣1．因为方程x1﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，所以等边三角形的边长为2．所以该三角形的周长为：2×3＝12．故答案为：12．本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键．15、5，．【分析】一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可．【详解】解：方程整理得：，则一次项系数、常数项分别为5，；故答案为：5，．此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．16、且【解析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞1且m≠1，求出m的取值范围即可．详解：∵一元二次方程mx2-2x+3=1有两个不相等的实数根，∴△＞1且m≠1，∴4-12m＞1且m≠1，∴m＜且m≠1，故答案为：m＜且m≠1．点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．17、6.5【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上AC的长即可求得树AB的高．【详解】∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，CD＝10m，∴，解得：BC＝5（m），∵AC=1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5（m），故答案为：6.5本题考查相似三角形的应用，如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．18、(–3，–1)【分析】根据关于原点对称的点的规律：纵横坐标均互为相反数解答即可．【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点，可得：点P(3，1)关于原点过对称的点Q的坐标是(–3，–1)．故答案为：(–3，–1)．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题时根据两个点关于原点对称时，它们的同名坐标互为相反数可直接得到答案，本题属于基础题，难度不大，注意平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(–x，–y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．三、解答题（共78分）19、（1）4；（2）BC=30cm【分析】（1）作BK⊥AF于点H,交MN于点K,通过△ABH∽△ACG，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，求解即可；（2）在Rt△ACG中利用正弦值解线段AC长，即可得.【详解】（1）解：作BK⊥AF于点H,交MN于点K,则BH∥CG,△ABH∽△ACG,设圆形滚轮的半径AD长为xcm,∴即解得，x=4∴⊙A的半径是4cm.（2）在Rt△ACG中，CG=76-4=72cm,则sin∠CAF=∴AC=cm,∴BC=AC-AB=80-50=30cm.本题考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，构建相似三角形及建立模型是解答此题的关键.20、（1）；（2）的函数表达式为，；（3），理由详见解析【分析】（1）设x=1，求出y的值，即可得到C的坐标，根据抛物线L3：得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；（2）由（1）可知点D的坐标为（4，1），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；

（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=1．可得．【详解】解：（1）∵抛物线l3：，

∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，

设x=1，则y=1，

∴C（1，1），

∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，1）；（2）解：设的函数表达式为由“友好”抛物线的定义，过点的函数表达式为与中同时随增大而增大的自变量的取值范围是（3）理由如下：∵抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，①+②得：本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．21、已知，分别是∠BAC、∠上的角平分线，【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，对应角相等，可证得和相似，再利用相似三角形的性质求解．【详解】已知，分别是∠BAC、∠上的角的平分线，求证：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴，∠B=∠，∠BAC∠，∵分别是∠BAC、∠上的角的平分线，∴∠BAD∠，∴，∴，本题实际上是相似三角形的性质的拓展，不但有对应角的平分线等于相似比，对应边上的高，对应中线也都等于相似比．22、（1）见解析；（2）AD＝2．【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE＝OC，依据切线的判定可得；（2）先求得∠EOA＝∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8，AB=10，由切线长定理知BE=BC=6，AE=4，OE=3，继而得BO=3，根据相似三角形的性质即可得出结论.【详解】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，∵O为∠MBN角平分线上一点，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°，∴∠BCO＝∠D＝90°，∵∠BOC＝∠AOD，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，在△BOC和△BOE中，∵，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE＝OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵tan∠ABC＝、BC＝6，∴AC＝BC•tan∠ABC＝8，则AB＝10，由（1）知BE＝BC＝6，∴AE＝4，∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，∴，∴OE＝3，OB＝＝3，∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABD∽△OBC，∴，即，∴AD＝2．故答案为：AD＝2．本题主要考查了切线的判定与性质.解题的关键是掌握切线的判定，切线长定理，全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用.23、（1）证明见解析；（2）1．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得，证明，可得结论；（2）在中，设