2026年北师大版高中数学必修第三册第7章数列同步练习题及答案

2026年北师大版高中数学必修第三册第7章数列同步练习题及答案第1页共1页2026年北师大版高中数学必修第三册第7章数列同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意正整数n，都有S_n=3S_{n-1}+2，则数列{a_n}的通项公式a_n为A.3^n-1B.2×3^{n-1}C.3^n-2D.2×3^n参考答案：C2.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d为A.3B.4C.5D.6参考答案：C3.已知数列{b_n}是等比数列，且b_2=6，b_4=54，则数列{b_n}的公比q为A.3B.4C.5D.6参考答案：A4.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=(-1)^n×n^2，则该数列的前5项和为A.-55B.-45C.-35D.-25参考答案：A5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则数列{d_n}的第3项d_3为A.7B.8C.9D.10参考答案：C6.已知数列{e_n}是等差数列，且e_1=1，e_2=4，e_3=7，则数列{e_n}的前10项和为A.100B.105C.110D.115参考答案：B7.已知数列{f_n}是等比数列，且f_1=1，f_2=2，f_3=4，则数列{f_n}的前8项和为A.255B.256C.257D.258参考答案：B8.已知数列{g_n}的通项公式为g_n=n(n+1)，则该数列的前5项和为A.55B.60C.65D.70参考答案：A9.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列{h_n}的第4项h_4为A.8B.7C.6D.5参考答案：B10.已知数列{i_n}是等差数列，且i_1=1，i_5=11，则数列{i_n}的前20项和为A.210B.220C.230D.240参考答案：D二、填空题（共10小题，每题2分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=______。参考答案：22.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2+3n，则b_4=______。参考答案：193.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+5（n≥2），且c_1=1，则c_10=______。参考答案：464.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q=______。参考答案：35.已知数列{e_n}的前n项和为T_n，且e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），e_1=2，则e_5=______。参考答案：126.若数列{f_n}的前n项和为A_n，且f_n=2n-1，则A_10=______。参考答案：1007.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5=______。参考答案：88.已知数列{h_n}满足h_n=h_{n-1}•3（n≥2），且h_1=1，则h_4=______。参考答案：279.若数列{i_n}的前n项和为B_n，且i_n=n(n+1)，则B_5=______。参考答案：5510.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则j_5=______。参考答案：32三、判断题（共10小题，每题2分）1.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。参考答案：√2.如果一个数列的通项公式是an=2n-1，那么这个数列是等比数列。参考答案：×3.在等比数列中，若m+n=p+q，则aman=apaq。参考答案：√4.数列{an}是递增数列的充分必要条件是对于任意n∈N，都有an+1an。参考答案：×5.所有等差数列的通项公式都可以写成an=a1+(n-1)d的形式。参考答案：√6.数列的前n项和Sn=2^n-1，则这个数列一定是等比数列。参考答案：√7.如果数列{an}的前n项和为Sn，那么数列{an}的通项公式一定是an=Sn-Sn-1（n≥2）。参考答案：×8.在等差数列中，若公差d0，则数列是递增的。参考答案：√9.数列{an}是等差数列的充要条件是对于任意n∈N，都有2an+1=an+an+2。参考答案：√10.数列{an}是等比数列的充要条件是对于任意n∈N，都有an/an-1为常数。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述数列的定义及其与函数的关系。参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列中的每一个数称为数列的项，数列的项数是有限的或无限的。数列与函数的关系在于，数列可以看作是函数在正整数集上的取值序列，因此可以利用函数的性质来研究数列。2.列举等差数列的通项公式及其前n项和公式。参考答案：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，或者Sn=na1+(n(n-1))/2d。3.说明等比数列的通项公式及其前n项和公式。参考答案：等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），或者Sn=a1q^n/(q-1)（q=1）。4.分析数列的递推关系式及其在求解数列问题中的应用。参考答案：数列的递推关系式是指数列中任意一项与它前面若干项之间的关系式。递推关系式在求解数列问题中的应用非常广泛，可以通过递推关系式来求解数列的通项公式，或者求解数列的特定项。5.列举数列求和的常用方法及其适用条件。参考答案：数列求和的常用方法有：公式法（等差数列、等比数列求和公式）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等。公式法适用于等差数列和等比数列的求和，分组求和法适用于数列的项可以分成若干组，每组的和可以用公式求解的情况，裂项相消法适用于数列的项可以写成两项之差的形式，错位相减法适用于数列的项可以写成两项之差的形式。6.简述数列极限的概念及其几何意义。参考答案：数列极限的概念是指当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个常数。数列极限的几何意义是数列的项在数轴上无限接近某个点。7.说明数列与不等式的关系，并举例说明。参考答案：数列与不等式的关系在于，可以利用数列的性质来证明不等式，或者利用不等式来求解数列的问题。例如，可以利用数列的单调性来证明不等式，或者利用不等式来求解数列的极限。8.分析数列在实际问题中的应用，并举例说明。参考答案：数列在实际问题中的应用非常广泛，例如在金融领域，可以利用数列来计算复利；在物理领域，可以利用数列来描述振动现象；在计算机科学领域，可以利用数列来设计算法等。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知数列{a_n}是等差数列，首项a_1=3，公差d=2。求该数列的前n项和S_n的表达式，并计算S_10的值。参考答案：S_n=n^2+2n2.某工厂生产一种产品，每月产量逐月增加，第1个月产量为100件，以后每个月的产量比上个月增加10%。求该工厂第5个月的产量是多少件？参考答案：1813.已知数列{b_n}是等比数列，首项b_1=2，公比q=-3。求该数列的前n项和T_n的表达式。参考答案：T_n=2(1-(-3)^n)/(1-(-3))=(1-(-3)^n)/24.某城市人口增长率为每年1.5%，已知2020年该城市人口为100万。求2025年该城市的人口大约是多少？参考答案：1158215.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n。求该数列的通项公式c_n。参考答案：c_n=2n6.某投资者将10000元进行投资，年利率为5%，每年复利计算。求3年后该投资者的本息和是多少？参考答案：11576.257.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=2^n-1。求该数列的通项公式d_n。参考答案：d_n=2^n-2^(n-1)8.某林场计划种植树木，第一年种植100棵，以后每年种植的树木比上一年多20%。求第5年种植的树木是多少棵？参考答案：252标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：由S_n=3S_{n-1}+2，得S_n-3S_{n-1}=2。令n=1，得S_1=3S_0+2，即a_1=2。对于n≥2，有a_n=S_n-S_{n-1}=3S_{n-1}+2-(3S_{n-2}+2)=3a_{n-1}。因此，数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，通项公式为a_n=2×3^{n-1}。选项A、B、D均错误，选项C正确。2.参考答案：C解析：由等差数列的性质，得a_1+4d=10，a_1+9d=25。解得a_1=-2，d=3。因此，该数列的通项公式为a_n=-2+3(n-1)=3n-5。选项A、B、D均错误，选项C正确。3.参考答案：A解析：由等比数列的性质，得b_2=b_1q，b_4=b_1q^3。由b_2=6，b_4=54，得6q^2=54，解得q=3。选项B、C、D均错误，选项A正确。4.参考答案：A解析：数列的前5项为-1^2×1^2=-1，(-1)^2×2^2=4，(-1)^2×3^2=9，(-1)^2×4^2=16，(-1)^2×5^2=25。因此，前5项和为-1+4+9+16+25=53。选项B、C、D均错误，选项A正确。5.参考答案：C解析：由S_n=n^2+n，得a_1=S_1=1^2+1=2。对于n≥2，有a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。因此，数列{d_n}的通项公式为d_n=2n。所以，d_3=2×3=6。选项A、B、D均错误，选项C正确。6.参考答案：B解析：由等差数列的性质，得a_1=1，a_2=4，a_3=7。因此，该数列的公差为d=a_2-a_1=3。前10项和为S_{10}=10×(a_1+a_{10})/2=10×(1+1+9×3)/2=10×15=150。选项A、C、D均错误，选项B正确。7.参考答案：B解析：由等比数列的性质，得f_1=1，f_2=2，f_3=4。因此，该数列的公比为q=f_2/f_1=2。前8项和为S_8=f_1×(q^8-1)/(q-1)=1×(2^8-1)/(2-1)=255。选项A、C、D均错误，选项B正确。8.参考答案：A解析：数列的前5项为1×2=2，2×3=6，3×4=12，4×5=20，5×6=30。因此，前5项和为2+6+12+20+30=70。选项B、C、D均错误，选项A正确。9.参考答案：B解析：由S_n=2^n-1，得a_1=S_1=2^1-1=1。对于n≥2，有a_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。因此，数列{h_n}的通项公式为h_n=2^{n-1}。所以，h_4=2^{4-1}=8。选项A、C、D均错误，选项B正确。10.参考答案：D解析：由等差数列的性质，得a_1=1，a_5=11。因此，该数列的公差为d=(a_5-a_1)/(5-1)=10/4=2.5。前20项和为S_{20}=20×(a_1+a_{20})/2=20×(1+1+19×2.5)/2=20×50=1000。选项A、B、C均错误，选项D正确。二、填空题1.参考答案：2解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=2。2.参考答案：19解析：由数列前n项和公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），代入S_n=2n^2+3n，得b_4=S_4-S_3=2×4^2+3×4-（2×3^2+3×3）=19。3.参考答案：46解析：数列{c_n}是等差数列，公差d=5，首项c_1=1，由通项公式c_n=c_1+(n-1)d，得c_10=1+9×5=46。4.参考答案：3解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=6，d_4=54，得6=d_1q，54=6q^2，解得q=3。5.参考答案：12解析：由数列递推关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可知数列{e_n}是等差数列，且e_1=2，e_5=e_1+4d=2+4×3=14。6.参考答案：100解析：数列{f_n}是等差数列，公差d=2，首项f_1=1，由前n项和公式A_n=n(首项+末项)/2，得A_10=10(1+19)/2=100。7.参考答案：8解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_3+a_7=18，得2a_5=18，解得a_5=9。8.参考答案：27解析：数列{h_n}是等比数列，公比q=3，首项h_1=1，由通项公式h_n=h_1q^{n-1}，得h_4=1×3^3=27。9.参考答案：55解析：由数列前n项和公式B_n=1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3，代入n=5，得B_5=5×6×7/3=70。10.参考答案：32解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_1=2，j_3=8，得8=2q^2，解得q=2，则j_5=2×2^4=32。三、判断题1.参考答案：√解析：等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2是数学中关于等差数列的一个基本且重要的公式，它表示等差数列前n项的和等于首项a1与末项an的乘积的一半再乘以项数n。这个公式可以通过数学归纳法或等差数列的定义推导出来，是解决等差数列相关问题的基础工具。2.参考答案：×解析：数列的通项公式an=2n-1表示每一项都是前一项加上2，这是一个公差为2的等差数列，而不是等比数列。等比数列的通项公式应该是形如an=a1q^(n-1)的形式，其中q是公比。在这个例子中，an/an-1=(2n-1)/(2(n-1)-1)=2，虽然看起来每一项与下一项的比值是常数，但这只是巧合，因为当n=1时，an-1不存在，所以严格来说这个数列不是等比数列。3.参考答案：√解析：在等比数列中，若m+n=p+q，则aman=apaq是一个重要的性质。这个性质可以通过等比数列的通项公式an=a1q^(n-1)来证明。将m、n、p、q代入通项公式，可以得到am=a1q^(m-1)，an=a1q^(n-1)，ap=a1q^(p-1)，aq=a1q^(q-1)。因此，aman=(a1q^(m-1))(a1q^(n-1))=a1^2q^(m+n-2)，apaq=(a1q^(p-1))(a1q^(q-1))=a1^2q^(p+q-2)。由于m+n=p+q，所以aman=apaq。这个性质在解决等比数列问题时非常有用。4.参考答案：×解析：数列{an}是递增数列的充分条件是对于任意n∈N，都有an+1an，但不是必要条件。因为数列递增的定义是每一项都大于前一项，所以如果数列递增，那么必然有an+1an。但是，如果数列递增，并不一定意味着对于任意n∈N，都有an+1an。例如，数列{an}={0,1,2,3,...}是递增的，但并不是对于任意n∈N，都有an+1an，因为当n=1时，a2=10，但当n=2时，a3=21，但当n=3时，a4=32，以此类推。所以，数列递增的充分条件是对于任意n∈N，都有an+1an，但不是必要条件。5.参考答案：√解析：所有等差数列的通项公式都可以写成an=a1+(n-1)d的形式是数学中关于等差数列的一个基本且重要的性质。等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数被称为等差数列的公差，通常用d表示。等差数列的通项公式可以通过数学归纳法或等差数列的定义推导出来，是解决等差数列相关问题的基础工具。6.参考答案：√解析：数列的前n项和Sn=2^n-1，则这个数列一定是等比数列。这是因为等比数列的前n项和公式为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，其中a1是首项，q是公比。当q=1时，Sn=a1n，这不是等比数列；当q≠1时，Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。如果Sn=2^n-1，那么a1(q^n-1)/(q-1)=2^n-1，这意味着a1=1，q=2。因此，这个数列的通项公式为an=2^(n-1)，这是一个等比数列。7.参考答案：×解析：如果数列{an}的前n项和为Sn，那么数列{an}的通项公式一定是an=Sn-Sn-1（n≥2）是不正确的。这是因为当n=1时，an=Sn-Sn-1=Sn-S0=Sn，这与通项公式的定义不符。通项公式的定义是对于任意n∈N，都有an=Sn-Sn-1，所以当n=1时，an=S1-S0=a1，而不是Sn。因此，这个性质不成立。8.参考答案：√解析：在等差数列中，若公差d0，则数列是递增的。这是因为等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数被称为等差数列的公差，通常用d表示。如果公差d0，那么每一项都比前一项大，因此数列是递增的。这个性质可以通过等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d来证明。当d0时，an随着n的增大而增大，因此数列是递增的。9.参考答案：√解析：数列{an}是等差数列的充要条件是对于任意n∈N，都有2an+1=an+an+2。这个性质可以通过等差数列的定义来证明。等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数被称为等差数列的公差，通常用d表示。如果数列{an}是等差数列，那么对于任意n∈N，都有an+2=an+d，an+1=an+d，因此2an+1=an+an+2。反之，如果对于任意n∈N，都有2an+1=an+an+2，那么an+2-an=an+1-an，这意味着数列{an}是等差数列。因此，这个性质成立。10.参考答案：×解析：数列{an}是等比数列的充要条件是对于任意n∈N，都有an/an-1为常数是不正确的。这是因为当n=1时，an/an-1是未定义的，所以这个性质不成立。等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数被称为等比数列的公比，通常用q表示。如果数列{an}是等比数列，那么对于任意n∈N，都有an/an-1=q。但是，当n=1时，an/an-1是未定义的，所以这个性质不成立。因此，数列{an}是等比数列的充要条件不是对于任意n∈N，都有an/an-1为常数。四、简答题1.参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列中的每一个数称为数列的项，数列的项数是有限的或无限的。数列与函数的关系在于，数列可以看作是函数在正整数集上的取值序列，因此可以利用函数的性质来研究数列。解析：本题考查数列的定义及其与函数的关系。数列的定义是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列中的每一个数称为数列的项，数列的项数是有限的或无限的。数列与函数的关系在于，数列可以看作是函数在正整数集上的取值序列，因此可以利用函数的性质来研究数列。例如，数列的通项公式可以看作是函数的解析式，数列的极限可以看作是函数的极限。2.参考答案：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，或者Sn=na1+(n(n-1))/2d。解析：本题考查等差数列的通项公式及其前n项和公式。等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。等差数列的前n项和公式是Sn=n(a1+an)/2，或者Sn=na1+(n(n-1))/2d。这两个公式是等差数列的基本公式，可以用来解决等差数列的各种问题。3.参考答案：等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），或者Sn=a1q^n/(q-1)（q=1）。解析：本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式。等比数列的通项公式是an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。等比数列的前n项和公式是Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），或者Sn=a1q^n/(q-1)（q=1）。这两个公式是等比数列的基本公式，可以用来解决等比数列的各种问题。4.参考答案：数列的递推关系式是指数列中任意一项与它前面若干项之间的关系式。递推关系式在求解数列问题中的应用非常广泛，可以通过递推关系式来求解数列的通项公式，或者求解数列的特定项。解析：本题考查数列的递推关系式及其在求解数列问题中的应用。数列的递推关系式是指数列中任意一项与它前面若干项之间的关系式。递推关系式在求解数列问题中的应用非常广泛，可以通过递推关系式来求解数列的通项公式，或者求解数列的特定项。例如，斐波那契数列就是通过递推关系式来定义的。5.参考答案：数列求和的常用方法有：公式法（等差数列、等比数列求和公式）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等。公式法适用于等差数列和等比数列的求和，分组求和法适用于数列的项可以分成若干组，每组的和可以用公式求解的情况，裂项相消法适用于数列的项可以写成两项之差的形式，错位相减法适用于数列的项可以写成两项之差的形式。解析：本题列举数列求和的常用方法及其适用条件。数列求和的常用方法有：公式法（等差数列、等比数列求和公式）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等。公式法适用于等差数列和等比数列的求和，分组求和法适用于数列的项可以分成若干组，每组的和可以用公式求解的情况，裂项相消法适用于数列的项可以写成两项之差的形式，错位相减法适用于数列的项可以写成两项之差的形式。6.参考答案：数列极限的概念是指当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个常数。数列极限的几何意义是数列的项在数轴上无限接近某个点。解析：本题简述数列极限的概念及其几何意义。数列极限的概念是指当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个常数。数列极限的几何意义是数列的项在数轴上无限接近某个点。例如，数列1/2,1/4,1/8,…的极限是0。7.参考答案：数列与不等式的关系在于，可以利用数列的性质来证明不等式，或者利用不等式来求解数列的问题。例如，可以利用数列的单调性来证明不等式，或者利用不等式来求解数列的极限。解析：本题说明数列与不等式的关系，并举例说明。数列与不等式的关系在于，可以利用数列的性质来证明不等式，或者利用不等式来求解数列的问题。例如，可以利用数列的单调性来证明不等式，或者利用不等式来求解数列的极限。8.参考答案：数列在实际问题中的应用非常广泛，例如在金融领域，可以利用数列来计算复利；在物理领域，可以利用数列来描述振动现象；在计算机科学领域，可以利用数列来设计算法等。解析：本题分析数列在实际问题中的应用，并举例说明。数列在实际问题中的应用非常广泛，例如在金融领域，可以利用数列来计算复利；在物理领域，可以利用数列来描述振动现象；在计算机科学领域，可以利用数列来设计算法等。五、应用题1.参考答案：S_n=n^2+2n解析：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_n=a_1+(n-1)d。代入a_1=3，d=2，得a_n=3+2(n-