2027届江苏省无锡市江阴市南菁高级中学九上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2027届江苏省无锡市江阴市南菁高级中学九上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5，6，9，另一个三角形的最长边长为4.5，则它的最短边长是（）A． B． C． D．2．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（

）A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.93．已知是一元二次方程的解，则的值为()A．-5 B．5 C．4 D．-44．如图为二次函数的图象，在下列说法中:①；②方程的根是③；④当时，随的增大而增大；⑤；⑥，正确的说法有（）A． B． C． D．5．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）A．③②①④ B．②④①③ C．③①④② D．②③④①6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．3 B．2 C．1 D．07．一个盒子中装有2个蓝球，3个红球和若干个黄球，小明通过多次摸球试验后发现，摸取到黄球的频率稳定在0.5左右，则黄球有（）个．A．4 B．5 C．6 D．108．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（）A．2 B． C． D．9．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与y轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列5个结论中，其中正确的是（）①abc＞0；②4a+c＞0；③方程ax²+bx+c=3两个根是=0，=2；④方程ax²+bx+c=0有一个实数根大于2；⑤当x＜0，y随x增大而增大A．4 B．3 C．2 D．110．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）二、填空题(每小题3分,共24分)11．△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，连接EF，则S△AEF:S△ABC＝_____．12．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．13．如图，为矩形对角线，的交点，AB=6，M，N是直线BC上的动点，且，则的最小值是_．14．如图，是一个立体图形的三种视图，则这个立体图形的体积为______．15．一元二次方程的一个根为，另一个根为_____.16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB=20，CD=16，则OE的长为______．17．某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染．设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为______．18．如图，在中，，分别是，上的点，平分，交于点，交于点，若，且，则_______．三、解答题(共66分)19．（10分）已知关于x的方程.（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.20．（6分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）（2）21．（6分）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．22．（8分）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、﹣2、3、﹣4，这些卡片除数字外都相同．王兴从口袋中随机抽取一张卡片，钟华从剩余的三张卡片中随机抽取一张，求两张卡片上数字之积．（1）请你用画树状图或列表的方法，列出两人抽到的数字之积所有可能的结果．（2）求两人抽到的数字之积为正数的概率．23．（8分）请阅读下面材料：问题：已知方程x1+x-3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．解：设所求方程的根为y，y=，所以x＝1y把x＝1y代入已知方程，得(1y)1+1y-3＝0化简，得4y1+1y-3＝0故所求方程为4y1+1y-3＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”解决下列问题：（1）已知方程1x1-x-15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：_________．（1）已知方程ax1+bx+c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，求一个关于y的一元二次方程，使它的根比已知方程根的相反数的一半多1．24．（8分）计算：2|1﹣sin60°|+tan45°25．（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解这个直角三角形.26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1，0)，C(0，3)．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴及点B的坐标；（3）设点P为该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P使△BPC为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据题意可得出两个三角形相似，利用最长边数值可求出相似比，再用三角形的最短边乘以相似比即可．【详解】解：由题意可得出：两个三角形的相似比为：，所以另一个三角形最短边长为：．故选：B．本题考查的知识点是相似三角形的相似比，根据题目求出两个三角形的相似比是解此题的关键．2、D【解析】A.种植10棵幼树，结果可能是“有9棵幼树成活”，故不正确；B.种植100棵幼树，结果可能是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”，故不正确；C.种植10n棵幼树，可能有“9n棵幼树成活”，故不正确；D.种植10n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9，故正确；故选D.3、B【解析】根据方程的解的定义，把代入原方程即可.【详解】把代入得：4-2b+6=0b=5故选：B本题考查的是方程的解的定义，理解方程解的定义是关键.4、D【分析】根据抛物线开口向上得出a＞1，根据抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上得出c＜1，根据图象与x轴的交点坐标得出方程ax2+bx+c=1的根，把x=1代入y=ax2+bx+c求出a+b+c＜1，根据抛物线的对称轴和图象得出当x＞1时，y随x的增大而增大，2a=-b，根据图象和x轴有两个交点得出b2-4ac＞1．【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞1，∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜1，∴ac＜1，∴①正确；∵图象与x轴的交点坐标是（-1，1），（3，1），∴方程ax2+bx+c=1的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜1，∴③错误；根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∵-=1，∴2a=-b，∴2a+b=1，不是2a-b=1，∴⑤错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞1，∴⑥正确；正确的说法有：①②④⑥．故答案为：D．本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性．5、B【分析】根据相似三角形的判定定理，即可得到答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∵DF∥AC，∴∠A=∠BDF，∴∆ADE~∆DBF．故选：B．本题主要考查三角形相似的判定定理，掌握“有两个角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．6、D【解析】由题意可知，该一元二次方程根的判别式的值大于零，即(-2)2-4m>0，∴m<1.对照本题的四个选项，只有D选项符合上述m的取值范围.故本题应选D.7、B【分析】设黄球有x个，根据用频率估计概率和概率公式列方程即可.【详解】设黄球有x个，根据题意得：＝0.5，解得：x＝5，答：黄球有5个；故选：B．此题考查的是用频率估计概率和根据概率求球的数量问题,掌握用频率估计概率和概率公式是解决此题的关键.8、B【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，宽BC＝ycm，

∴AD=BC=ycm，

由折叠的性质得：AE=AB=x，

∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，

∴，即，

∴x2=2y2，

∴x=y，

∴．

故选：B．本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．9、B【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】抛物线开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是不正确的；由对称轴为直线x＝−＝1得2a＋b＝0，当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，所以a＋2a＋c＜0，即3a＋c＜0，又a＜0，4a＋c＜0，故结论②不正确；当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2＋bx＋c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且−1＜x1＜0，由对称轴为直线x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；正确的结论有3个，故选：B．考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．10、D【解析】试题分析：∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式，∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选D．考点：二次函数的性质．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】由E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求得BC＝1EF，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝1EF，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△AEF：S△ABC＝（）1＝，故答案为：．本题考查了三角形中位线的性质，三角形面积比等于相似比的平方，三角形中位线是对应边的一半，所以得到相似比是1：1．12、【分析】根据题意画出草图，可得OG=2，，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.【详解】解：如图，连接、，作于；则，∵六边形正六边形，∴是等边三角形，∴，∴，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．故答案为．本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.13、2【分析】根据题意找到M与N的位置,再根据勾股定理求出OM,ON的长即可解题.【详解】解：过点O作OE⊥BC于E,由题可知当E为MN的中点时,此时OM+ON有最小值,∵AB=6,∴PE=3,（中位线性质）∵MN=2,即ME=NE=1,∴OM=ON=,（勾股定理）∴OM+ON的最小值=2本题考查了图形的运动,中位线和勾股定理,找到M与N的位置是解题关键.14、【分析】根据该立体图形的三视图可判断该立体图形为圆柱，且底面直径为8，高为8，根据圆柱的体积公式即可得答案．【详解】∵该立体图形的三视图为两个正方形和一个圆，∴该立体图形为圆柱，且底面直径为8，高为8，∴这个立体图形的体积为×42×8=128，故答案为：128本题考查由三视图判断几何体；利用该几何体的三视图得到该几何体底面半径、高是解题的关键．15、【分析】利用因式分解法解得方程的两个根，即可得出另一个根的值.【详解】，变形为：，∴或，解得：；，∴一元二次方程的另一个根为：.故答案为：.本题考查了解一元二次方程-因式分解法.16、6【分析】连接OC，易知，由垂径定理可得，根据勾股定理可求出OE长.【详解】解：连接OCAB是⊙O的直径，AB=20弦CD⊥AB于E，CD=16在中，根据勾股定理得，即解得故答案为：6本题主要考查了垂径定理，熟练利用垂径定理是解题的关键.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.17、x(x+1)+x+1=1．【分析】设每轮传染中平均一人传染x人，那么经过第一轮传染后有x人被感染，那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，列出方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后有x+1人感染，第二轮后有x(x+1)+x+1人感染，由题意得：x(x+1)+x+1=1．故答案为：x(x+1)+x+1=1．本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握一元二次方程是解题的关键.18、3：1【分析】根据题意利用相似三角形的性质即相似三角形的对应角平分线的比等于相似比即可解决问题.【详解】解：∵∠DAE=∠CAB，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∵GA，FA分别是△ADE，△ABC的角平分线，∴（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），AG：FG=3：2，∴AG：AF=3：1，∴DE：BC=3：1，故答为3：1．本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，难度一般．三、解答题(共66分)19、（1），；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x1，∵该方程的一个根为1，∴.解得.∴a的值为，该方程的另一根为.（2）∵，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.20、（1）；（2）．【分析】（1）根据因式分解法求解方程即可.（2）根据公式，将系数代入即可.【详解】（1）原方程变形，即．∴或．∴．（2）∵，∴∴∴．本题考查了一元二次方程的解法.21、（1）∠BDC=α；（2）∠ACE=β；（3）DE=．【分析】（1）连接AD，设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，证明∠DAB＝β−γ，β＝90°−γ，∠ABD＝2γ，得出∠ABD＝2∠BDC，即可得出结果；（2）连接BC，由直角三角形内角和证明∠ACE＝∠ABC，由点C为弧ABD中点，得出∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，即可得出结果；（3）连接OC，证明∠COB＝∠ABD，得出△OCH∽△ABD，则＝＝，求出BD＝2OH＝10，由勾股定理得出AB＝＝26，则AO＝13，AH＝AO＋OH＝18，证明△AHE∽△ADB，得出＝，求出AE＝，即可得出结果．【详解】（1）连接AD，如图1所示：设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，∵点C为弧ABD中点，∴，∴∠ADC＝∠CAD＝β，∴∠DAB＝β﹣γ，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴γ+β＝90°，∴β＝90°﹣γ，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝∠ABD＝α；（2）连接BC，如图2所示：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∵点C为弧ABD中点，∴，∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，∴∠ACE＝β；（3）连接OC，如图3所示：∴∠COB＝2∠CAB，∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，∴∠COB＝∠ABD，∵∠OHC＝∠ADB＝90°，∴△OCH∽△ABD，∴＝＝，∴BD＝2OH＝10，∴AB＝＝＝26，∴AO＝13，∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，∴△AHE∽△ADB，∴＝，即＝，∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝24﹣＝．本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键．22、（1）详见解析；（2）．【分析】（1）根据题意可以画出树状图，即可列出两人抽到的数字之积所有可能的结果；（2）根据概率公式，结合（1）中的结果即可求得两人抽到的数字之积为正数的概率．【详解】解：（1）如下图所示，；（2）由（1）可知，一共有12种可能性，两人抽到的数字之积为正数的可能性有4种，∴两人抽到的数字之积为正数的概率是：=，即两人抽到的数字之积为正数的概率是．本题考查了用列表法（或树状图法）求概率：当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.23、（1）1y1+y-15＝0；（1）．【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，然后把x=-y代入已知方程整理后即可得到结果；（1）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=4-1y（y≠0），代入方程ax1+bx+c=0整理即可得．【详解】解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，把x=-y代入1x1-x-15＝0，整理得，1y1+y-