数学广角 鸽巢问题 人教版 六年级上册数学

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鸽巢问题情境激趣,初识鸽巢问题同学们,生活里藏着好多有趣的数学秘密!今天咱们就来研究鸽子和鸽笼里的奥秘。情境激趣,初识鸽巢问题7只鸽子要飞进3个鸽笼,不管怎么飞,老师敢确定地说:总有一个鸽笼里,至少会飞进3只鸽子。大家先想一想,这句话到底是什么意思?试着说说自己的理解。

肯定有一个鸽笼里的鸽子多。

最少有一个鸽笼里有3只鸽子。情境激趣,初识鸽巢问题看来大家都有自己的理解,那到底为什么会有这样的结论呢?我们用手里的小棒当鸽子、小盒子当鸽笼,放一放并在图纸上画一画,记一记,看看有哪些不同的情况。探究明理,理解鸽巢原理任务1:探究7只鸽子飞进3个鸽笼的规律,理解“总有”“至少”活动1:观察交流,梳理摆放情况谁愿意把自己的摆放情况和大家分享一下?(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)等。探究明理,理解鸽巢原理请大家仔细观察这些不同的情况,你发现了什么共同的特点?总有一个鸽笼里的鸽子数不少于3只。探究明理,理解鸽巢原理活动2:辨析讲解,理解“总有”“至少”大家说说“至少”是什么意思?“总有”又可以怎么说?

“至少”是不少于3只、最少3只,也可以是4只、5只甚至更多。

“总有”就是一定有、肯定有,不管怎么放,都会有一个鸽笼是这样的。探究明理,理解鸽巢原理这就是我们今天要研究的鸽巢问题,下面我们来深入探究它背后的道理。探究明理,理解鸽巢原理活动3:思考探究,提炼方法(假设法、平均分)我们通过枚举法解决了问题,如果鸽子和鸽笼的数量变多,一一列举就太麻烦了,如何找到“至少”数,有没有更简便的方法?先给每个鸽笼里放2只鸽子,3个鸽笼就放了6只,剩下1只不管放进哪个鸽笼,这个鸽笼都有3只了。探究明理,理解鸽巢原理把7只鸽子放进3个鸽笼,先平均分,每个鸽笼放2只,用算式表示就是7÷3=2(只)……1(只),商2表示每个鸽笼先平均放进2只,余数1表示剩下1只,剩下的1只无论放进哪个鸽笼,这个鸽笼都有2+1=3(只),所以总有一个鸽笼里至少有3只鸽子。探究明理,理解鸽巢原理为什么要先平均分呢?平均分能让每个鸽笼里的鸽子数尽可能少,这种最“不利的情况”找到的“至少”的数量才是最准确的,能保证不管怎么放,都能满足这个结论。探究明理,理解鸽巢原理任务2:抽象特征,建立鸽巢问题模型活动1:梳理方法,明确核心规律我们用平均分的方法解释了7只鸽子飞进3个鸽笼的问题,如果数量变化,这个方法还适用吗?试一试:如果6只鸽子飞进3个鸽笼,总有一个鸽笼至少飞进几只?6÷3=2(只),没有余数,所以总有一个鸽笼至少飞进2只。探究明理,理解鸽巢原理对比这两个问题,谁能说说怎么通过算式快速判断“至少数”?用鸽子数除以鸽笼数,有余数的时候,至少数就是商加1;没有余数的时候,至少数就是商。探究明理,理解鸽巢原理小结:其实不仅是鸽子和鸽笼,生活中很多类似的问题都可以用这个规律解决,我们把这类问题统称为“鸽巢问题”,把要分配的物体看作“鸽子”,把容纳物体的容器看作“鸽笼”,核心规律就是:鸽子数÷鸽笼数=商……余数,有余数时,总有一个鸽笼至少有“商+1”个物体;无余数时,总有一个鸽笼至少有“商”个物体。探究明理,理解鸽巢原理活动2:联系生活,寻找鸽巢问题原型想一想,生活中还有哪些问题可以用鸽巢原理来解释?请举例说明。

把书放进抽屉里,书相当于“鸽子”,抽屉相当于“鸽笼”。

把苹果放进盘子里,苹果相当于“鸽子”,盘子相当于“鸽笼”(苹果数大于等于盘子数)。

书的数量必须大于或者等于抽屉数量,鸽巢问题也叫抽屉原理。探究明理,理解鸽巢原理

生活中的“鸽子”和“鸽笼”可以是不同的事物。即“把多于kn(k是正整数)个的物体任意分放进n个空抽屉,那么一定有一个抽屉中放进了至少(k+1)个物体”。只要符合“把若干物体放进若干容器”的数量关系,就是鸽巢问题。练习巩固,深化鸽巢原理1.基础应用:把3本书放进2个抽屉,总有1个抽屉至少放2本。说明理由。3÷2=1(本)……1(本)平均每个抽屉先放1本,还余下1本。余下的这1本,不管放进哪个抽屉,那个抽屉就有1+1=2(本)。所以总有1个抽屉至少放2本。练习巩固,深化鸽巢原理2.挑战自我1:随意找13位同学,他们中至少有几人的属相相同?为什么?一共有12个属相。13÷12=1(人)……1(人)。平均每个属相先分配1个人,还剩下1个人。剩下的这1个人,不管是什么属相,都会归入12个属相中的某一个。1+1=2(人)。所以至少有2人的属相相同。练习巩固,深化鸽巢原理挑战自我2:任意给出3个不同的自然数,其中一定有2个数的和是偶数。请说明理由。“鸽子”(3个自然数);“鸽笼”(奇数、偶数两类)。取3个不同自然数,只有两种情况:①2奇1偶:两个奇数相加,和是偶数。②2偶1奇:两个偶数相加,和是偶数。所以任意3个不同自然数,其中一定有2个数的和是偶数。课堂总结同学们,能说一说你理解的鸽巢问题吗?可以从知识、方法、感受等方面说一说。

知道了什么是鸽巢原理,理解了“总有”和“至少”的意思。

学会了用枚举法和假设法解决鸽巢问题,还会用有余数的除法算式表示思考过程。

知道了生活中的很多问题都能用鸽巢原理解释,数学就在我们身