高考数学一轮复习 第50讲　二项式定理及其应用 学用

第50讲二项式定理及其应用知识整合体系重构激活思维1．(教材经典题)(x－1)10的展开式的第6项的系数是()A．－Ceq\o\al(6,10) B．Ceq\o\al(6,10)C．－Ceq\o\al(5,10) D．Ceq\o\al(5,10)2．(教材经典题)若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝()A．4 B．5C．6 D．73．(1－2x)(x＋2)3的各项系数和为()A．－27 B．27C．16 D．－164．(教材经典题改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121C．－74 D．－1215．(教材经典题)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是____________．聚焦知识1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝_________(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝___________，它表示第_________项二项式系数展开式中各项的二项式系数为Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})2．二项式系数的性质(1)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(n,n)＝1，Ceq\o\al(m,n＋1)＝__________，Ceq\o\al(m,n)＝__________(0≤m≤n)．(2)二项式系数先增后减中间项最大．当n为偶数时，第eq\f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为Ceq\o\al(eq\f(n,2),n)；当n为奇数时，第eq\f(n＋1,2)项和第eq\f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为Ceq\o\al(eq\f(n－1,2),n)和Ceq\o\al(eq\f(n+1,2),n)．(3)各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝_________，Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝_________．题型突破思维拓展举题说法展开式中的特定项视角1(a＋b)n的展开式例1－1(1)(2025·张家口三模)若(2－x)n的展开式中x2项的系数为240，则n＝()A．4 B．5C．6 D．8(2)(2025·杭州期末)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))7的展开式中eq\f(1,x3)项的系数是84，则实数a＝____．求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．视角2(a＋b)m(c＋d)n的展开式例1－2(1)(2025·广州二模)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(1－2x)4的展开式中，x2项的系数为()A．24 B．－24C．－36 D．－40(2)(2026·青岛期初)(x＋y)(x－y)5的展开式中，x4y2项的系数是____________．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．视角3(a＋b＋c)n的展开式例1－3(2025·漳州三模)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－3))5的展开式中，常数项为___________．要求三项展开式中指定的项，常有这几种做法：(1)两项看成一项，利用二项式定理展开；(2)因式分解，转化为两个二项式再求解；(3)看作多个相同因式的乘积，用组合的知识解答．二项式系数与项的系数问题视角1二项式系数和与所有项系数和例2－1(1)(2026·唐山期初)(多选)在(x－y)5的展开式中，下列说法正确的是()A．一共有5项 B．第3项为－10x3y2C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32(2)(多选)若(1－2x)2026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2026x2026，则下列结果正确的是()A．a0＋a1＋a2＋…＋a2026＝1B．a0＋a2＋a4＋…＋a2026＝eq\f(1＋32026,2)C．eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2026,22026)＝0D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2026a2026＝4052一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，奇数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，偶数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．变式2(2025·上饶二模)(多选)若(x＋2)(x－1)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a9(x＋1)9，则下列结论正确的是()A．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2B．a7＝96C．a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9＝4D．a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝－15视角2二项式系数与项的系数的最值例2－2(1)(3＋2x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为()A．8 B．7C．6 D．5(2)(2024·全国甲卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋x))10的展开式中，各项系数的最大值是____．求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解得k．二项式定理的综合应用例3(1)已知今天是星期三，则67－1天后是()A．星期一 B．星期二C．星期三 D．星期五(2)(2025·枣庄3月模拟)已知(3x＋1)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2025x2025，则eq\f(4,3)a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2a2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2025a2025被4除的余数为()A．3 B．2C．1 D．0随堂内化1．在(x－eq\r(,x))4的展开式中，x3的系数为()A．6 B．－6C．12 D．－122．(2026·济南期初)(a＋2x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝()A．1 B．2C．3 D．43．(2026·福州一检)(多选)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－x))n的展开式中，二项式系数的和为256，则()A．n＝8B．展开式中各项系数的和为38C．展开式中存在常数项D．展开式中x6的系数为164．已知(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝()A．9 B．10C．18 D．19A组夯基精练一、单项选择题1．(2025·泰州一模)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(a),x2)))6展开式中的常数项为60，则常数a的值为()A．4 B．5C．6 D．82．(2025·福州三模)设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．－2 B．－1C．0 D．13．(2025·济宁一模)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x)))(2x－1)11的展开式中的常数项为()A．18 B．20C．22 D．24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x－\f(1,y)))8展开式中x2y－2的系数为()A．－840 B．－420C．420 D．8405．(2025·镇江期初)若(3＋x)5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，x∈R，则a1－a2＋a3－a4＋a5＝()A．－31 B．31C．－32 D．326．(2025·汕头一模)在(x－2021)(x＋2022)(x－2023)(x＋2024)(x－2025)的展开式中，含x4的项的系数是()A．－2025 B．－2023C．－2021 D．2025二、多项选择题7．(2026·益阳期初)若(x＋1)(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则()A．a0＝64 B．a7＝64C．a0＋a1＋a2＋…＋a7＝2 D．a1＋a3＋a5＋a7＝a2＋a4＋a68．(2025·马鞍山二模)已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)－\f(1,x)))n的展开式中，各项系数之和为eq\f(1,64)，则()A．展开式中共有6项B．展开式中二项式系数的和为64C．展开式中常数项为eq\f(15,16)D．展开式中系数最大的项是第2项9．已知(x2＋x＋1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18，则下列说法正确的有()A．a0＝1 B．a2＝42C．a2＋a4＋…＋a18＝eq\f(39＋1,2) D．a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝311三、填空题10．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝_________，a1＋a2＋a3＋a4＝__________．11．(2025·苏州期末)已知x8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a2＝__________．12．(2025·保定二模)若(x－1)n(n∈N*)的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为___________．13．(2025·梅州质检)912的末三位数是_________．14．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式(a＋b)n(n＝1,2,3，…)展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第k(k≤n，k∈N*)个数组成的数列称为第k斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2026行第k斜列与第k＋1斜列各项之和最大时，k的值为_________．四、解答题15．(2026·镇江期初)已知f(x)＝(x－2)n，n∈N*．(1)当n＝10时，f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，求a0，a1，a2，…，an中的最大值；(2)若f(x)＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋bn(x＋1)n，求eq\i\su(r＝0,n,r)br．B组创新题体验16．设a，b∈Z，a≠