高考数学一轮复习 微专题4　同构思想在函数中的应用 学用

同构思想在函数中的应用变量分离同构例1(1)已知x＞0，y＞0，且e2x－ey＞sin2x－siny，则()A．2x＜y B．2x＞yC．x＞y D．x＜y(2)若当0＜x1＜x2＜a时，x2lnx1－x1lnx2≤x1－x2恒成立，则实数a的最大值为()A．eq\f(1,2) B．1C．e D．2e(3)若对任意的x1，x2∈[－2,0)，且x1＜x2，eq\f(x2ex1－x1ex2,x1－x2)＜a恒成立，则实数a的最小值为()A．－eq\f(3,e2) B．－eq\f(2,e2)C．－eq\f(1,e2) D．－eq\f(1,e)变量分离同构策略：(1)eq\f(x1fx2－x2fx1,x1－x2)＞mx1x2(0＜x1＜x2)型：先等价变形为eq\f(fx1,x1)＋mx1＞eq\f(fx2,x2)＋mx2，再研究g(x)＝eq\f(fx,x)＋mx；(2)|f(x1)－f(x2)|≤m|x1－x2|(x1＜x2)型：讨论f(x)的单调性，去掉绝对值，若f(x)在其定义域内单调递减，则有f(x1)＋mx1≤f(x2)＋mx2，研究g(x)＝f(x)＋mx；(3)eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜eq\f(k,x1x2)型：设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＜eq\f(kx1－x2,x1x2)＝eq\f(k,x2)－eq\f(k,x1)，即等价变形为f(x1)＋eq\f(k,x1)＜f(x2)＋eq\f(k,x2)，研究g(x)＝f(x)＋eq\f(k,x)．变式1若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，eq\f(x1lnx2－x2lnx1,x2－x1)＜2恒成立，则m的最小值是()A．e2 B．eC．1 D．eq\f(1,e)指、对跨阶同构例2－1(1)已知函数f(x)＝ex－alnx(其中a为参数)，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(x)＞alna恒成立，则正实数a的取值范围是________．(2)若函数f(x)＝xex－x－lnx＋a－2有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(－∞，1)例2－2已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(e为自然对数的底数)．(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当a≥eq\f(1,e2)时，求证：f(x)≥lnx－x2－x－2．(1)五个常见变形：xex＝ex＋lnx;x＋lnx＝ln(xex)；eq\f(ex,x)＝ex－lnx;x－lnx＝lneq\f(ex,x)；eq\f(x,ex)＝elnx－x．(2)三种基本模式：①积型：aea≤blnb三种同构方式,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤lnbelnb→fx＝xex，,同右：ealnea≤blnb→fx＝xlnx，,取对：a＋lna≤lnb＋lnlnb→fx＝x＋lnx．))②商型：eq\f(ea,a)＜eq\f(b,lnb)三种同构方式,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)＜\f(elnb,lnb)→fx＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)＜\f(b,lnb)→fx＝\f(x,lnx)，,取对：a－lna＜lnb－lnlnb→fx＝x－lnx．))③和差型：ea±a＞b±lnb两种同构方式,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a＞elnb±lnb→fx＝ex±x，,同右：ea±lnea＞b±lnb→fx＝x±lnx．))变式2(1)若不等式ex＋a≥lnx－a恒成立，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞) B．[－1，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，＋∞)) D．[－e，＋∞)(2)已知实数x，y满足ex＝ylnx＋ylny，则满足条件的整数y的最小值为()A．1 B．3C．5 D．7(3)已知函数f(x)＝xex－a(x＋lnx)有两个零点，则实数a的取值范围是________．配套精练一、单项选择题1．已知a＞0，b＞0，则“lneq\f(2a,b)＞3b－9a”是“a＞b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知alna＝beb，b＞0，则eq\f(b,a2)的最大值为()A．e2 B．eq\f(1,2e)C．eq\f(1,e) D．－eq\f(1,e2)3．已知函数f(x)＝eax－2lnx－x2＋ax，若f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,e)，＋∞))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,e)))C．(2e，＋∞) D．(0,2e)4．已知f(x)＝x(ex－1)，g(x)＝lnx，与y轴平行的直线l与f(x)和g(x)的图象分别交于A，B两点，则AB的最小值是()A．1B．eq\r(e)C．e D．eeq\s\up6(\r(2))5．若关于x的不等式ex＋x＋2lneq\f(1,x)≥mx2＋lnm恒成立，则实数m的最大值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(e2,4)C．1 D．e2二、多项选择题6．若0＜x1＜x2＜1，则下列结论错误的是()A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1B．ex1－ex2＞lnx2－lnx1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex27．已知函数f(x)＝etx－lnx＋(t－1)x，若f(x)≥0恒成立，则实数t的可能的取值为()A．eq\f(1,e) B．eq\f(1,2e)C．eq\f(1,e2) D．eq\f(2,e)三、填空题8．已知函数f(x)＝aex＋4x，对任意的实数x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1≠x2，不等式eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞x1＋x2恒成立，则实数a的取值范围是_________．9．若对