高考数学一轮复习 微专题14　概率中递推关系的应用-马尔科夫链 学用

概率中递推关系的应用——马尔科夫链马尔科夫链(MarkovChain)：状态空间中，从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆性”，即下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．一阶递推关系例1(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(eq\i\su(i＝1,n,X)i)＝eq\i\su(i＝1,n,q)i．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．连续两项的递推特征(当前状态只与上个状态有关)解题的关键在于利用全概率公式构建数列的递推关系式：Pi＝aPi－1＋b(1－Pi－1)，再利用构造法求出通项公式．变式1(2025·蚌埠二模节选)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记n次传球后球在乙手中的概率为pn，n＝1，2，3，…．(1)求pn；(2)若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则Eeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\i\su(i＝1,n,X)i))＝eq\i\su(i＝1,n,q)i．记前n次(即从第1次到第n次传球)中球在乙手中的次数为随机变量Y，求Y的数学期望．二阶递推关系例2(2026·新乡期初)为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分．已知小明每道题答对的概率为eq\f(2,3)，答错的概率为eq\f(1,3)，且每道题答对与否互不影响．(1)求小明答4道题后积分小于5的概率．(2)设小明答5道题后积分为X，求E(X)．(3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为i(i＝0，1，2，…，10)时最终积分为10的概率为Pi，则P0＝0，P10＝1．①证明：{Pi＋1－Pi}(i＝0，1，2，…，9)为等比数列；②求P5的值．连续三项的递推特征(当前状态只与上两个状态有关)(注：图中a表示从上个状态转移到下个状态的概率)解题的关键在于利用全概率公式构建数列的递推关系式：Pi＋1＝aPi＋(1－a)Pi－1，再利用构造法求出通项公式．变式2一种掷硬币跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，若硬币的正面向上，棋子向前跳一站，若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时，游戏结束．(1)求P1，P2，P3；(2)证明：数列{Pn＋1－Pn}(n＝1，2，3，…，98)为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．配套精练1．甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1，2，3，…，25)．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和数学期望；(2)证明数列{Pn－Pn－1}(n＝2，3，…，24)为等比数列．2．(2025·镇江期初)口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球．甲、乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回．若颜色相同，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球．第一次由甲开始摸球，记第n次由甲摸的概率是Pn．(1)求P2，P3；(2)证明数列eq\b\lc\{\rc\}(eq\a\vs4\al\co1(Pn－eq\f(1,2)))是等比数列，并求Pn．3．(2025·佛山一模)ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲、乙发出ACE球的概率均为p0，记An＝“第n次发球的人是甲”．(1)证明：P(An＋1|An)＋P(An＋1|eq\x\to(An))＝1；(2)若P(A1)＝1，P(A2)＝eq\f(9,20)，求p0和P(An)．4．统计发现：学生第一次借阅图书，按时归还的概率为eq\f(3,4)．从第二次借阅开始，若前一次按时归还，则本次按时归还的概率为eq\f(5,6)；若前一次未按时归还，则本次按时归还的概率为eq\f(2,3)．记学生第n次借阅按时归还的概率为Pn．(1)求P2，P3；(2)求数列e