高中数学导学案 第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系新课标要求真题分布1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能用定理解决问题．2025年全国Ⅰ卷T9，全国Ⅱ卷T17必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.平面的基本事实基本事实1：过________________的三个点，有且只有一个平面．当三个点共线时，过这三点的平面有无数个基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线________．2．基本事实的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条______________________________________________________直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条__________________________________________________________直线，有且只有一个平面．剖析三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交____________个平行____________个在平面内____________个平面与平面平行____________个相交____________个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)取值范围：________．【常用结论】(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()2．(人教A版必修二P128T2)下列命题正确的是()A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．圆心和圆上两点可确定一个平面D．梯形可确定一个平面3．(人教A版必修二P131T3改编)下列命题正确的是()A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面α平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点4．(人教A版必修二P131T4改编)已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b的位置关系为________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．[听课笔记]学霸笔记：(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证明两平面重合．(2)证明点共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练(衔接·人教A版必修二P132T8)如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q，R三点共线．命题点二空间两直线的位置关系例2(1)下列关于空间中不重合的两条直线说法错误的是()A．这两条直线可能既共面，又共点B．这两条直线可能既不共面，又不共点C．这两条直线可能共面但不共点D．这两条直线可能共点但不共面(2)(多选)(2026·内江模拟)如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()[听课笔记]学霸笔记：(1)判断空间直线的位置关系，一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断；二是利用排除法．(2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．②判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练(1)(衔接·人教A版必修二P131练习T1(2))设直线a，b分别是长方体的相邻的两个面的对角线所在的直线，则a与b()A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线(2)(多选)(衔接·人教A版必修二P132T9改编)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是()A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF与AB是异面直线D．EF与CD是异面直线命题点三异面直线所成的角例3已知正三棱锥A-BCD，AB＝3，BC＝2，F为CD的中点，则异面直线AF与BD所成角的余弦值为()A．22B．33C．24[听课笔记]学霸笔记：(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法．平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成角的三步骤：“一作、二证、三求”．①一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．②二证：证明作出的角(或其补角)是异面直线所成的角．③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．跟踪训练(衔接·人教A版必修二P148T3)如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝AD＝23，AA′＝2，则直线BC与A′C′所成的角为________，直线AA′与BC′所成的角为________．提示：请完成课时作业40第二节空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识·助学教材知识清单1．不在一条直线上两个点一条平行2．相交平行3．相交平行任何4．a∩α＝A1a∥α0a⊂α无数α∥β0α∩β＝l无数5．相等或互补6．(2)0自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：由不共线的三点确定一个平面，故A错误；由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B错误；当圆心和圆上两点在圆的直径上时，该三点不能确定一个平面，故C错误；由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形可确定一个平面，故D正确．答案：D3．解析：若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，故A错误；若直线l平行平面α，则l与平面α内的任一条直线有平行、异面两种位置关系，故B错误；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面可能平行，也有可能就在平面内，故C错误；若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点，故l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故D正确．答案：D4．解析：因为α∥β，a⊂α，b⊂β，所以a，b没有公共点，即a，b不相交，作平面γ，使得γ与α，β都相交，若γ∩α＝a，γ∩β＝b，则由面面平行的性质，得a∥b；若γ∩α＝a，γ∩β＝l，b与l相交，则a与b异面．所以直线a，b的位置关系为平行或异面．答案：平行或异面考教衔接·活用教材例1证明：(1)如图所示．∵E，F分别为D1C1，C1B1的中点，∴EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD，∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β.∴Q是α与β的公共点．同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)由(1)知，EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交．设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1，∴DE，BF，CC1三线交于一点M.跟踪训练证明：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α，又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC，∴由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．例2解析：(1)设a，b是空间中不重合的两条直线，对于A，若直线a，b相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确；对于B，若直线a，b是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确；对于C，若直线a，b是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确；对于D，若直线a，b相交于一点，则直线a，b一定共面，故D说法错误．故选D.(2)对于A，由G，M均为所在棱的中点，根据三棱柱的性质易得GH∥MN，不是异面直线；对于B，在题图中，G，H，M三点在同一个平面内，直线MN显然与G，H，M确定的平面相交，故直线GH，MN是异面直线；对于C，连接NH，由N，H均为所在棱的中点，所以GM∥NH，且GM＝2NH，易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交，不是异面直线；对于D，在题图中，N，H，M三点在同一个平面内，直线GH显然与N，H，M确定的平面相交，故直线GH，MN是异面直线．故选BD.答案：(1)D(2)BD跟踪训练解析：(1)如图，长方体ABCDA′B′C′D′中，当A′B所在直线为a，BC′所在直线为b时，a与b相交；当A′B所在直线为a，B′C所在直线为b时，a与b异面．所以长方体相邻两面的对角线必相交或异面．(2)展开图还原为几何体后，如图，AB与CD是异面直线，GH与CD相交，EF与AB是相交直线，EF与CD是平行直线，所以AB正确，CD错误．答案：(1)D(2)AB例3解析：取BC的中点E，连接AE，EF，因为F是CD的中点，所以EF∥BD，所以∠AFE(或其补角)为异面直线AF与BD所成的角，因为正三棱锥ABCD，A