高中数学导学案 第二节　平面向量基本定理及坐标表示

第二节平面向量基本定理及坐标表示新课标要求真题分布1.掌握平面向量基本定理．2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．4．能用坐标表示平面向量共线．2025年全国Ⅰ卷T6必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________．若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．把一个向量分解为两个________________的向量，叫做把向量作正交分解．2．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝____________，a－b＝____________，λa＝________．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝________，AB＝________________．剖析向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔________________．【常用结论】(1)已知点P为线段AB的中点，若Ax1，y1，(2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B则G自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这个基底唯一表示．()(2)若两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝2．(人教A版必修二P36习题T1改编)如图，在△ABC中，AD＝13AB，点E是CD的中点，AB＝a，AC＝b，A．13a＋bBC．12a+13．(人教A版必修二P60复习参考题T5)已知A(1，1)，B(－1，0)，C(0，1).若AB＝CD，则点D的坐标为4．(人教A版必修二P31例7)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一平面向量基本定理的应用例1(1)在△ABC中，P是边AB上靠近A的四等分点，已知CA＝a，CB＝b，则PCA．－34a+14C．－32a+12[听课笔记](2)(2026·吕梁模拟)在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，点P在线段BD上．若PE＝λAB+μAD，则λ＋A．12B．－C．13D．－[听课笔记]学霸笔记：(1)选定基底后，根据向量的加、减、数乘运算法则以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一个基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．跟踪训练(1)(衔接·人教A版必修二P27练习T2改编)平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，AB＝a，AD＝b，G是CD上靠近D的三等分点，则OGA．13a＋b BC．16a+12b(2)(2026·宁波模拟)在△ABC中，AE＝3EC，若BE＝xAB+A．－12B．－C．－14D．－命题点二平面向量的坐标运算例2(1)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且AB＝2AP，则点P的坐标为()A．(3，1) B．(1，－1)C．(3，－1)或(－1，1) D．(3，1)或(1，－1)[听课笔记](2)在∠A＝90°的等腰直角△ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，BC＝λAF+μCE，A．－23B．－C．－43D．－[听课笔记]学霸笔记：(1)若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(2)若已知问题中的图形易建立平面直角坐标系，可以建立平面直角坐标系，用坐标运算求解，使问题简单化．跟踪训练(1)(衔接·人教A版必修二P33练习T5改编)已知点O，向量OA＝(2，3)，OB＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标为________．(2)如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM+μBD，则λ－A．43B．C．－1D．1命题点三平面向量共线的坐标表示例3(1)(2026·六安模拟)已知向量a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，若(2a－b)∥(a＋kb)，则k＝()A．12 B．－C．－53 D．[听课笔记](2)已知平面向量OA＝(－1，1)，OB＝(－2，2)，OC＝(k＋1，k－3)，若A，B，C三点不能作为三角形的三个顶点，则实数k满足的条件是()A．k＝－16 B．k＝16C．k＝－1 D．k＝1[听课笔记]学霸笔记：已知向量共线(平行)求参数值时，主要利用“a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2＝x2y1”这一结论进行求解．跟踪训练(1)(衔接·人教A版必修二P33练习T2改编)若向量a＝(2，3)，b＝(x，6)共线，则x＝()A．9B．－9C．4D．－4(2)平面上三点A(2，3)，B(－3，2)，C(1，y)共线，则y＝________．提示：请完成课时作业32

第二节平面向量基本定理及坐标表示必备知识·助学教材知识清单1．不共线λ1e1＋λ2e2不共线互相垂直2．(1)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)(x2－x1，y2－y1)x3．x1y2－x2y1＝0自主诊断1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：在△ABC中，AD＝13AB，点E是CD的中点，AE＝12(AD+AC)＝12(13答案：B3．解析：设D(x，y)，由题意知(－2，－1)＝(x，y－1)，所以x＝－2，y＝0，所以点D的坐标为(－2，0)．答案：(－2，0)4．解析：因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y＝3.答案：3考教衔接·活用教材例1解析：(1)由题意可知，PB＝34AB，则PC＝PB+BC＝34AB-CB＝34(CB-CA(2)设PD＝mBD(0≤m≤1)，所以PE＝PD+DE＝mBD-12AD＝m(AD-AB)－12AD＝－mAB＋(m－12)AD，则λ＝－m，μ＝m－12，故答案：(1)B(2)B跟踪训练解析：(1)OG＝DG-DO＝13a－12(a－b)＝－16a＋(2)因为AE＝3EC，可得AE＝34AC，所以BE＝AE-AB＝34AC-AB，又因为BE＝答案：(1)D(2)D例2解析：(1)∵A(2，0)，B(4，2)，∴AB＝(2，2)．∵点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，∴AB＝2AP或AB＝－2AP，故AP＝(1，1)或AP＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．故选D.(2)以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设B(2，0)，C(0，2)，则F(1，1)，E(1，0)，则BC＝(－2，2)，CE＝(1，－2)，λAF＋μCE＝λ(1，1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)，∴λ+μ=-2，λ-2μ=2，∴λ＝－2答案：(1)D(2)A跟踪训练解析：(1)因为OA＝(2，3)，OB＝(6，－3)，所以AB＝OB-OA＝(4，－6)．因为点P是线段AB的三等分点，所以AP＝13AB＝(43，－2)或AP＝23AB＝(83，－4)，所以OP＝OA+AP＝OA+13AB＝(2，3)＋(43，－2)＝(103，1)或OP＝OA+AP＝OA+23AB＝(2，3)＋(2)以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，则M(1，12)．故AC＝(1，1)，AM＝(1，12)，BD＝(－1，1)，故由AC＝λAM＋μBD得λ-μ=1，12λ+μ=1，解得λ=4答案：(1)(143，－1)或(103，1)例3解析：(1)2a－b＝(－4，7)，a＋kb＝(－1＋2k，3－k)．因为(2a－b)∥(a＋kb)，所以－4(3－k)＝7(－1＋2k)，解得k＝－12.故选(2)因为OA＝(－1，1)，OB＝(－2，2)，OC＝(k＋1，k－3)，所以AB＝(－1，1)，AC＝(k＋2，k－4)．若A，