高中数学导学案 第二节　用样本估计总体

第二节用样本估计总体新课标要求真题分布1.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．2．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．3．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．4．结合实例，能用样本估计总体的取值规律．2025年全国Ⅱ卷T12024年新高考Ⅱ卷T42023年新高考Ⅰ卷T9必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.百分位数(1)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据小于或等于这个值，且至少有________的数据大于或等于这个值．如果将样本数据从小到大排列成一行，那么第k百分位数pk所处位置如图所示．(2)四分位数：25%分位数，50%分位数，75%分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．剖析50%分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广．2．总体集中趋势的估计(1)平均数：x＝__________．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最________的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的________(当数据个数是偶数时)．(3)众数：一组数据中出现次数________的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．剖析(1)平均数、中位数、众数分别从不同角度描述了一组数据的特征，刻画了一组数据的大致情况．平均数表示“一般水平”，中位数表示“中等水平”，众数表示“多数水平”．(2)一组数据的平均数、中位数都是唯一的．众数不一定唯一，且众数一定是原数据中的数，而平均数和中位数都不一定是原数据中的数．3．总体离散程度的估计设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x，这组数据的方差和标准差分别是s2＝1ni＝1nx【常用结论】1．若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为mx＋a，方差为m2s2.2．s2＝1ni＝1n自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．()(2)方差与标准差具有相同的单位．()(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．()(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．()2．(人教A版必修二P181练习T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数()A．一定为5.5kW·hB．高于5.5kW·hC．低于5.5kW·hD．约为5.5kW·h3．(人教A版P203例2改编)某射击运动员7次的训练成绩分别为86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为()A．88.5B．89C．91D．89.54．(人教A版必修二P216习题T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲0102203124乙2311021101分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，__________机床的性能更好．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一总体百分位数的估计例1(1)(2026·安阳模拟)2025年高考结束后，7款AI大模型产品挑战高考数学试卷，得分按照从高到低排列如下：146，144，144，140，139，136，134，则这7个数据的25%分位数为()A．135B．136C．144D．145(2)某校对全校1000名学生的物理成绩进行统计，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若学校对成绩排名前15%的学生进行表彰，则被表彰的学生的物理成绩最低分数为()A．86分B．87.5分C．88分D．88.5分[听课笔记]学霸笔记：(1)计算一组n个数据第p百分位数的步骤：第一步，按从小到大的顺序排列原始数据；第二步，计算i＝n×p%；第三步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．(2)由频率分布直方图求第p百分位数的方法确定要求的p%分位数所在分组[A，B)，由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×p%-ab-a跟踪训练(1)(2026·武汉模拟)已知样本数据15，28，30，32，37，39，41，43，则这组样本数据的上四分位数是()A．42B．40C．31D．29(2)(2026·贵阳模拟)据某调查机构统计数据显示，截至2024年6月，我国生成式人工智能产品的用户规模达2.3亿人，其中10岁至70岁之间各年龄段用户的占比情况如图所示．根据图中数据，估计其用户年龄的55%分位数约为()A．20B．25C．30D．35命题点二总体集中趋势的估计例2(1)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：亩产量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是()A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间(2)(多选)(2026·哈尔滨模拟)有1000人的某工厂举行知识竞赛，为了了解竞赛成绩(满分100分，90分及以上为优秀)，从中抽取50人的成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是()A．a＝0.016B．估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为40C．估计该工厂竞赛成绩的中位数为75D．估计该工厂竞赛成绩的众数为75[听课笔记]学霸笔记：(1)众数：公数的估计值最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．跟踪训练(1)(2026·金华模拟)如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是()A．平均数＝中位数＝众数B．众数<中位数<平均数C．平均数<众数<中位数D．平均数<中位数<众数(2)某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据(单位：吨)，得到如图所示的频率分布直方图．估计该市居民月均用水量的中位数为()A．8.45B．8.55C．8.65D．8.85命题点三总体离散程度的估计考向1分层随机抽样的方差与标准差例3(2026·昆明一模)在对某中学高三年级学生体重(单位：kg)的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有60人，其体重的平均数和方差分别为65，32，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为55，12，则估计该校高三年级学生体重的方差为()A．24B．27C．48D．54[听课笔记]学霸笔记：设样本容量为n，平均数为x，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为x1，x2，方差分别为s12，s22，则这个样本的方差为s2跟踪训练为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量，按年级分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计．现抽取高一学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为3.2；抽取高二学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为2本，方差为2.3.则该校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总样本的方差是__________．考向2方差与标准差例4李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)估计李明在主场比赛中的命中率；(2)记S12为表中主场命中次数的方差，S22[听课笔记]学霸笔记：标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．跟踪训练(衔接·人教A版必修二P222复习参考题T7)在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．下面是两组评委对同一名选手的打分：小组A424548465247495542514745小组B553670667549466842625847(1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值．(2)你能据此判断小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？提示：请完成课时作业59第二节用样本估计总体必备知识·助学教材知识清单1．(1)p%(100－p)%2．(1)1n(x1＋x2＋…＋xn)(2)中间平均数(3)自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW·h.故选D.答案：D3．解析：因为7次训练的成绩从小到大排列为85，86，87，88，88，89，90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.故选B.答案：B4．解析：甲机床的平均数x甲＝0+1+0+…+410＝1.5，标准差s甲＝1100-1.52+1-1.52+…+4-1.52≈答案：乙考教衔接·活用教材例1解析：(1)将得分按照从低到高排列如下：134，136，139，140，144，144，146，由于25%×7＝1.75，故这7个数据的25%分位数为136.故选B.解析：(2)因为[90，100]的频率为0.1，[80，90)的频率为0.2，设被表彰的学生的物理成绩最低分数为x，由题意可得(90－x)×0.02＋0.1＝0.15，解得x＝87.5.故选B.答案：(1)B答案：(2)B跟踪训练解析：(1)8×75%＝6，所以这组数据的上四分位数是39+412＝40.故选B解析：(2)因为(0.023＋0.032)×10＝0.55，故其用户年龄的55%分位数约为30岁．故选C.答案：(1)B答案：(2)C例2解析：(1)对于A，因为6＋12＋18＝36<50，36＋30＝66>50，所以100块稻田亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；对于B，因为100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田有66块，所占比例为66%<80%，故B错误；对于C，100块稻田亩产量的极差的最大值小于1200－900＝300，最小值大于1150－950＝200，所以极差介于200kg至300kg之间，故C正确；对于D，同一组中的数据都用中间值来估计，则这100块稻田亩产量的平均值的最小值为1100×(6×925＋12×975＋18×1025＋30×1075＋24×1125＋10×1175)＝1067>1000，所以平均值不介于900kg至1000kg之间，故D错误．故选C解析：(2)对于A，由频率分布直方图性质可知(a＋0.032＋0.04＋0.008＋0.004)×10＝1，解得a＝0.016，故A正确；对于B，易知样本中优秀员工占比为0.004×10＝0.04，可估计全厂优秀员工的占比也为0.04，因此估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为0.04×1000＝40，故B正确；对于C，成绩在[50，70)分的频率为(0.016＋0.032)×10＝0.48<0.5，在[50，80)分的频率为(0.016＋0.032＋0.04)×10＝0.88>0.5，所以成绩的中位数在区间[70，80)内，设中位数为x，则(0.016＋0.032)×10＋(x－70)×0.04＝0.5，解得x＝70.5，可知估计该工厂竞赛成绩的中位数为70.5，故C错误；对于D，根据频率分布直方图中最高的矩形所对应成绩范围可知出现频率最高的数在[70，80)内，因此估计该工厂竞赛成绩的众数为75，故D正确．故选ABD.答案：(1)C答案：(2)ABD跟踪训练解析：(1)众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点，所有矩形的面积之和为1，显然前两个矩形的面积之和小于0.5，即众数＜中位数；又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数，所以众数＜中位数＜平均数．故选B.解析：(2)由频率分布直方图可知，月均用水量在5.2吨以下的居民用户所占的比例为4×0.060＝0.24，月均用水量在9.2吨以下的居民用户所占的比例为4×(0.060＋0.080)＝0.56>0.5，故中位数落在区间(5.2，9.2)内，设样本的中位数为x，则0.24＋(x－5.2)×0.080＝0.5，解得x＝8.45，即样本的中位数为8.45，由样本估计总体的思想，估计该市居民月均用水量的中位数为8.45.故选A.答案：(1)B答案：(2)A例3解析：记总样本的平均数为x，则x＝60100×65＋40100×55＝61，所以总样本的方差s2＝60100×[32＋(61－65)2]＋40100×[12＋(61－55)2]＝48，所以估计该校高三年级学生体重的方差为答案：C跟踪训练解析：因为高一抽取学生25人，样本均值为3；高二抽取学生25人，样本均值为2，根据分层随机抽样总样本均值公式z＝25×3+25×