高中数学导学案 第九节　函数与方程

第九节函数与方程新课标要求真题分布1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程的近似解具有一般性．2025年北京卷T82024年新高考Ⅰ卷T7，新高考Ⅱ卷T6必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有________⇔函数y＝f(x)的图象与________有公共点．剖析函数f(x)的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．剖析函数f(x)在[a，b]上连续且单调，f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．2．二分法：对于在区间上图象连续不断且________的函数，通过不断地把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【常用结论】若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．特别地，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.()(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．()2．(多选)(人教A版必修一P155T1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是()3．(人教A版必修一P144T2改编)函数f(x)＝x－5＋3x的零点所在的区间为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)4．(人教A版必修一P143例1改编)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一函数零点所在区间的判断例1(1)(链接·2025年天津卷)函数f(x)＝0.3x－x的零点所在区间是()A．(0，0.3)B．(0.3，0.5)C．(0.5，1)D．(1，2)(2)若函数f(x)＝2ex的图象与函数g(x)＝1x＋5的图象交点的横坐标所在的区间为(k，k＋1)，则整数k可能为(A．－2B．0C．1D．2[听课笔记]学霸笔记：(1)定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练(1)函数f(x)＝lnx－1x2－2的零点所在区间是(A．(0，1)B．(1，e)C．(e，e2)D．(e2，e3)(2)(衔接·必修一P160T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为()A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．b>a>c命题点二函数零点个数的判定例2(1)函数f(x)＝12x-1－log2x的零点个数为A．0B．1C．2D．3(2)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin(3x－π6)的交点个数为(A．3B．4C．6D．8[听课笔记]学霸笔记：(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练(1)设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2]＝2，[2.3]＝2，[－2.3]＝－3，则方程x－|log6x|＝[x]解的个数为()A．4B．5C．6D．7(2)已知函数f(x)＝x3-1，x>0，-x，x≤0，g(x)＝f(x)＋f(－x)命题点三根据零点情况确定参数考向1根据零点个数求参数例3已知函数f(x)＝2-x+1，x≤0，ln1x，x>0，g(x)＝f(x)－x－a，若函数gA．[－1，0)B．[1，＋∞)C．(－∞，1]D．[2，＋∞)[听课笔记]学霸笔记：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．跟踪训练已知函数f(x)＝(x+1)2，x≤0，|lg⁡x|，x>0，若函数g(x)＝f(xA．(0，1] B．[0，1]C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)考向2根据零点所在区间求参数范围例4(2026·抚顺模拟)函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为()A．[－4，1)B．(－4，1]C．[－1，4)D．(－1，4][听课笔记]学霸笔记：根据零点所在区间求参数范围问题的常用方法：首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理构建不等式组求解．跟踪训练某同学用二分法求函数f(x)＝log2x＋2x＋a零点的近似值时，确定零点所处的初始区间为(1，2)，则实数a的取值范围为()A．(－5，－3)B．(－5，－2)C．(－∞，－5)∪D．(－∞，－5)∪提示：请完成课时作业14第九节函数与方程必备知识·助学教材知识清单1．(1)f(x)＝0(2)零点x轴(3)f(a)f(b)<0f(c)＝02．f(a)f(b)<0一分为二零点自主诊断1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：题图A，C中不存在区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.故选AC.答案：AC3．解析：因为y＝x和y＝3x是R上的单调递增函数，所以f(x)＝x－5＋3x是R上的单调递增函数，且其图象是连续不断的一条曲线，又f(1)＝1－5＋31＝－1<0，f(2)＝2－5＋32＝6>0，故函数f(x)＝x－5＋3x的零点所在的区间为(1，2)．答案：A4．解析：由于函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，故函数f(x)在(1，3)内有唯一零点，即也在(0，＋∞)内有唯一零点．故选B.答案：B考教衔接·活用教材例1解析：(1)由指数函数、幂函数的单调性可知y＝0.3x在R上单调递减，y＝x在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝0.3x-x在定义域上单调递减，显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0，所以根据零点存在定理可知f(x)的零点位于(0.3(2)作图易知函数f(x)＝2ex的图象与函数g(x)＝1x＋5的图象在y轴两侧各有一个交点．设h(x)＝f(x)－g(x)＝2ex－1x－5，则h(－1)＝2e－4<0，h-110＝2e-110＋5>0，h(1)＝2e－6<0，h(2)＝2e2－112>0，故h(－1)h-110<0，h(1)h(2)<0，所以函数h(x)的零点所在区间是-1，-答案：(1)B(2)C跟踪训练解析：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x→0时，f(x)→－∞，f(1)＝－3<0，f(e)＝lne－1e2-2＝-1-1e2<0，f(e2)＝lne2－1e4-2＝-1e4<0，f(e3)＝lne3－(2)由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，所以c＝0.由f(x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得log2x＝－x.在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝log2x，y＝－x的图象如图所示．由图象知a<0，b>0，所以a<c<b.故选B.答案：(1)D(2)B例2解析：(1)由f(x)＝0，得12x-1＝log2x，因此函数f(x)的零点即为函数y＝log2x与的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数y＝log2x与y＝12x-1的图象，如图，观察图象知，函数y＝log2x与y＝12x-1的图象有唯一公共点，所以函数f(x)＝12x解析：(2)因为函数y＝sinx的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin3x-π6的最小正周期为T＝2π3，所以在x∈[0，有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点．故选C.答案：(1)B答案：(2)C跟踪训练解析：(1)方程x－|log6x|＝[x]解的个数等价于函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象交点个数，作函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象如图所示．由图可知函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象的交点个数为5.方程x－|log6x|＝[x]解的个数为5.故选B.解析：(2)当x＝0时，g(0)＝2f(0)＝0，所以0是g(x)的零点，当x>0时，g(x)＝x3－1＋x＝x3＋x－1.因为y＝x3，y＝x－1均在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(0)＝－1<0，g(1)＝1>0，则g(0)·g(1)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．当x<0时，g(x)＝－x＋(－x)3－1＝－x3－x－1，易知g(x)在(－∞，0)上单调递减．又g(－1)＝1>0，g(0)＝－1<0，则g(－1)·g(0)<0，所以g(x)在(－∞，0)上有且仅有1个零点．综上，g(x)的零点个数为3.答案：(1)B答案：(2)3例3解析：由函数f(x)＝2-x+1，x≤0，ln1x，x>0，因为g(x)＝f(x)－x－a，令g(x由函数g(x)有2个零点，即y＝f(x)和y＝x＋a有两个交点，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．故选D.答案：D跟踪训练解析：由题意，函数g(x)＝f(x)－b有三个不同的零点，即方程f(x)＝b有3个解，即函数y＝f(x)与y＝b有3个交点，画出函数f(x)的大致图象．由图可知，要使函数y＝f(x)与y＝b有3个交点，则b>1，所以实数b的取值范围为(1，＋∞)．故选D.答案：D例4解析：当