高中数学导学案 第七节　对数函数

第七节对数函数新课标要求真题分布1.通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．2．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．2025年全国Ⅰ卷T82024年新高考Ⅰ卷T6，新高考Ⅱ卷T82023年新高考Ⅱ卷T4必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.对数函数(1)定义：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是________．(2)图象与性质项目a＞10＜a＜1图象性质定义域：________值域：R图象过定点________，即恒有loga1＝0当x＞1时，恒有y＞0；当0＜x＜1时，恒有y＜0当x＞1时，恒有y＜0；当0＜x＜1时，恒有y＞0______函数______函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论2.反函数：指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，y＝ax与y＝logax的函数图象关于直线________对称．【常用结论】对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．()(2)函数y＝ln1+x1-x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．((3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.()(4)函数y＝log2x与y＝log121x的2．(人教A版必修一P135T1改编)函数y＝log3x与y＝log13x的图象(A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称3．已知a＝log32，b＝log23，c＝log34，则()A．a>c>bB．c>b>aC．a>b>cD．b>c>a4．(人教A版必修一P140T1(2)改编)函数y＝log0.54x-3的定义域为考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一对数函数的图象及应用例1(1)已知lga＋lgb＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是()(2)(多选)(2026·合肥模拟)已知m>0且m≠1，则函数f(x)＝logm(x＋1m)＋3的图象一定经过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[听课笔记]学霸笔记：在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．跟踪训练已知函数y＝loga(x－c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论中成立的是()A．a>1，c<－1 B．a>1，－1<c<0C．0<a<1，c<－1 D．0<a<1，－1<c<0命题点二对数函数的性质及应用考向1比较对数值的大小例2(1)设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．c<a<b(2)已知实数a，b满足loga2>logb2>1，则()A．1<a<2<bB．1<a<b<2C．1<b<a<2D．a<1<b<2[听课笔记]学霸笔记：(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断．(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较．跟踪训练设a＝log0.20.3，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>cB．c>b>aC．b>a>cD．b>c>a考向2解简单的对数不等式例3(1)已知loga22<12，则实数a的取值范围为(A．(0，1B．(－∞，－12)∪(1C．(12，＋∞D．(0，12)∪((2)不等式log12(x2－3x－4)>log12(2[听课笔记]学霸笔记：(1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数形式，再借助y＝logax的单调性求解．跟踪训练函数g(x)＝lnx+12的定义域为A．(－12，＋∞)B．[12，＋C．[－12，＋∞)D．(12，＋命题点三对数型函数性质的综合问题例4(1)(链接·2023年新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln2x-12x+1为偶函数，则a＝(A．－1B．0C．12D．(2)(多选)已知函数f(x)＝log12(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中错误的是A．函数f(x)的定义域是[－4，2]B．函数y＝f(x－1)是偶函数C．函数f(x)在区间[－1，2)上单调递减D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称[听课笔记]真题探源(源自人教B版必修二P53B组T9)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax是偶函数，求a的值．学霸笔记：(1)与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．(2)函数y＝logaf(x)的值域是R，这说明函数y＝f(x)可以取遍所有大于0的数，而函数y＝logaf(x)的定义域是R，则说明f(x)＞0在R上恒成立．跟踪训练(1)若函数y＝lg(2＋mx)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为()A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)C．[－2，0) D．(0，1](2)(2026·湛江模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－8x＋a2)的值域为R，则a的取值范围为()A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪C．[－4，4]D．(－∞，－4]∪提示：请完成课时作业12第七节对数函数必备知识·助学教材知识清单1．(1)(0，＋∞)(2)(0，＋∞)(1，0)增减2．y＝x自主诊断1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：由y＝log13x得y＝－log3x，所以函数y＝log3x与y＝log13x的答案：A3．解析：设函数y＝log3x，函数在(0，＋∞)上单调递增，故log32<log34，即a<c；因为log23>log28＝32，log34<log327答案：D4．解析：由题意知4x-3>0，log0.54x-3≥0答案：3考教衔接·活用教材例1解析：(1)由lga＋lgb＝0可知，1a＝b，故f(x)＝a－x＝bx，故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B解析：(2)由f(x)＝logmx+1m＋3＝2logmx+1m＋3，m>0且m≠1，则f(0)＝2logm1m＋3＝－2＋3＝1，即函数f(x)过点(0，1)，当m>1时，函数答案：(1)B答案：(2)AB跟踪训练解析：由函数的图象知该函数为减函数，∴0<a<1.图象通过第一、二、四象限且图象与x轴的交点横坐标在区间(0，1)内，∴0<c＋1<1，解得－1<c<0.故选D.答案：D例2解析：(1)∵log43＝log4333＝log6427，log86＝log8262＝log6436，∴log(2)∵loga2>logb2>1＝log22，∴1<a<b<2.故选B.答案：(1)D答案：(2)B跟踪训练解析：a＝log0.20.3<log0.20.2＝1，b＝log23>log222＝log2232＝32，1＝log33<c＝log34<log答案：D例3解析：(1)loga22<12＝logaa，①a>1，a>22⇒a>1；②0<a<1，a<22⇒0<a<1(2)因为y＝log12x在定义域(0，＋∞)上是减函数，所以原不等式等价于解得－2<x<－1或4<x<7，所以原不等式的解集为(－2，－1)∪(4，7)．答案：(1)A答案：(2)(－2，－1)∪(4，7)跟踪训练解析：由题可得lnx+12≥0，x+12>0⇒lnx+12≥ln1，x>-12.因为y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，则lnx+12≥ln1答案：B例4解析：(1)因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以1+aln13＝(－1＋a)ln3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝xln2x-12x+1，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>12或x<－12，则其定义域为{x|x>12，或x<-12，关于原点对称．f(－x)＝-xln2-x-12-x+1＝(－x)ln2x+12x-1＝(－解析：(2)函数f(x)＝log122-x－log2(x＋4)＝－log2[(2－x)(x＋4)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数定义域为(－4，2)，故A错误；由f(x－1)＝－log2[(3－x)(x＋3)]＝-log2⁡(9-x2)，定义域为(－3，3)，显然f(x－1)为偶函数，故B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log28，f(－1)<f(0)，故C错误；由f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)图象向左平移1个单位得到y＝f(x)的图象，故函数f(x)的图象答案：(1)B答案：(2)AC真题探源解析：f(x)＝ln(ex＋1)－ax，f(－x)＝ln(e－x＋1)＋ax＝ln