高中数学导学案 第四节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第四节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式新课标要求真题分布1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，能利用独立性计算概率．2．结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．3．结合古典概型，理解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率．4．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．2025年全国Ⅰ卷T14，全国Ⅱ卷T192024年新高考Ⅰ卷T14，新高考Ⅱ卷T182023年新高考Ⅱ卷T12必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与________，A与________，A与B也都相互独立．2．条件概率(1)概念：设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝________；②概率的乘法公式：P(AB)＝________．(3)性质：设P(A)>0，则①P(Ω|A)＝________；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝________；③设B和B互为对立事件，则PBA＝________3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，B(Ω)＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝____________，此公式为全概率公式．【常用结论】1．如果A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．2．若P(A)>0，当且仅当事件A与B相互独立时，P(B|A)＝P(B)．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B相互独立．()(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).()(4)若A，B相互独立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则A，B都不发生的概率为0.3.()2．(人教A版必修二P251例2改编)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为()A．0.02B．0.08C．0.18D．0.723．(人教A版选修三P46例1改编)在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()A．25B．C．12D．4．(人教A版选修三P50例4改编)学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一相互独立事件考向1相互独立事件的判断例1有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立[听课笔记]学霸笔记：(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率．(2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．(3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与B，A与B，A与B跟踪训练(多选)(衔接·人教A版必修二P249T1改编)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第1枚正面朝上”，事件B＝“至少有一枚反面朝上”，事件C＝“两枚都正面朝上”，事件D＝“两枚硬币朝上的面相同”，则()A．事件A与事件C独立B．事件B与事件C对立C．事件B与事件D互斥D．事件A与事件D独立考向2相互独立事件的概率例22024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为23，乙能解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都能解出该题的概率为(1)求乙、丙各自解出该题的概率；(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率．[听课笔记]学霸笔记：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面求解较麻烦(如“至多”“至少”问题)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练(衔接·人教A版必修二P267T8改编)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是23，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为________命题点二条件概率例3(1)(2026·南京模拟)从编号1～7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)＝()A．512B．514C．521(2)(2026·沧州模拟)已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件A1表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件A2表示第2次摸出的小球中有红球，则P(A2|A1)＝()A．45B．C．25D．[听课笔记]学霸笔记：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PAB(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再在事件A发生的条件下，求事件B包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝nAB跟踪训练(1)(衔接·人教A版选修三P48T2改编)从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为()A．14B．C．126D．(2)(衔接·人教A版选修三P48T3改编)在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个．现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为()A．710B．C．23D．命题点三全概率公式例4(1)(2026·阳江模拟)医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014.若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为()A．0.03B．0.024C．0.02D．0.018(2)现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球、2个黑球，2号罐子中装有2个红球、3个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为________．[听课笔记]学霸笔记：(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)．(3)代入全概率公式计算．跟踪训练(1)(衔接·人教A版选修三P52练习T2改编)两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品不是次品的概率为()A．0.956B．0.966C．0.044D．0.036(2)(衔接·人教A版选修三P53T5改编)在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是________．提示：请完成课时作业64第四节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式必备知识·助学教材知识清单1．(1)P(A)P(B)(2)B2．(1)P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)(2)①eq\f(n（AB）,n（A）)②P(A)P(B|A)(3)①1②P(B|A)＋P(C|A)③1－P(B|A)3.eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)自主诊断1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：两人都脱靶的概率为P＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02.答案：A3．解析：设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，所以P(A)＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(3,10)，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).答案：C4．解析：根据题意设A1表示“第1天去A餐厅用餐”，B1表示“第1天去B餐厅用餐”，A2表示“第2天去A餐厅用餐”，由题意P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式得王同学第2天去A餐厅用餐的概率为P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.答案：0.7考教衔接·活用教材例1解析：P(甲)＝eq\f(1,6)，P(乙)＝eq\f(1,6)，P(丙)＝eq\f(5,36)，P(丁)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝eq\f(1,36)＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝eq\f(1,36)≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁).故选B.答案：B跟踪训练解析：根据题意，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，则A＝{(正，正)，(正，反)}，B＝{(正，反)，(反，正)，(反，反)}，C＝{(正，正)}，D＝{(正，正)，(反，反)}，依次分析选项：对于A，AC＝{(正，正)}，则P(AC)＝eq\f(1,4)，而P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,4)，则P(AC)≠P(A)P(C)，事件A、C不相互独立，A错误；对于B，由对立事件的定义，事件B与事件C对立，B正确；对于C，B∩C＝{(反，反)}，B、C可以同时发生，不是互斥事件，C错误；对于D，P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(D)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，A∩D＝{(正，正)}，则P(AD)＝eq\f(1,4)，有P(AD)＝P(A)P(D)，事件A、D相互独立，D正确．故选BD.答案：BD例2解析：(1)设乙能解出该题的概率为p1，丙能解出该题的概率为p2，因为甲、丙都能解出该题的概率为eq\f(1,2)，所以eq\f(2,3)×p2＝eq\f(1,2)，解得p2＝eq\f(3,4).因为乙能解出而丙不能解出该题的概率为eq\f(1,8)，所以(1－eq\f(3,4))×p1＝eq\f(1,8)，解得p1＝eq\f(1,2).所以乙、丙各自解出该题的概率是eq\f(1,2)，eq\f(3,4).(2)甲、乙、丙3人都没有解出该题的概率是(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(3,4))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24)，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率是1－eq\f(1,24)＝eq\f(23,24)．跟踪训练解析：根据题意，设事件A＝“李华最终通过面试”，则其对立事件为“李华没有通过面试”，则P()＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,27)，则P(A)＝1－P()＝eq\f(26,27)，即李华最终通过面试的概率为eq\f(26,27).答案：eq\f(26,27)例3解析：(1)第一次抽到3或6的概率为eq\f(2,7)，所以P(A)＝eq\f(2,7)，当第一次抽到3时，第二次可抽4，5，6，7，共4种情况；当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况，所以P(AB)＝eq\f(4＋1,7×6)＝eq\f(5,42)，P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(5,42),\f(2,7))＝eq\f(5,12).故选A.(2)因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球，又因为事件A1发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球．P(A2|A1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(3＋9,15)＝eq\f(4,5).故选A.答案：(1)A(2)A跟踪训练解析：(1)记“第一次抽到K牌”为事件A，“第二次抽到K牌”为事件B.根据题意可得P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(AB)＝eq\f(4,52)×eq\f(3,51)＝eq\f(1,221)，因此所求概率为P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,221),\f(1,13))＝eq\f(1,17).(2)设第一次摸出白球为事件A，第二次摸出黑球为事件B，则第一次摸出黑球为事件.∵P(B)＝P(AB)＋P(B)＝eq\f(7,10)×eq\f(3,9)＋eq\f(3,10)×eq\f(2,9)＝eq\f(3,10)，∴P(Aeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B)))＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(7,10)×\f(3,9),\f(3,10))＝eq\f(7,9).答案：(1)D(2)B例4解析：(1)设事件A＝“居民患有这种地方性疾病”，事件B1＝“居民有良好卫生习惯”，事件B2＝“居民没有良好卫生习惯”．由题意，P(B1)＝0.6，P(B2)＝0.4，P(A)＝0.014，P(A|B1)＝0.01，由全概率公式，可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2