高中数学导学案 第三节　不等式的性质

第三节不等式的性质新课标要求真题分布梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．近几年未单独考查必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.两个实数比较大小的方法关系方法作差法作商法a＞ba－b＞0ab＞1(a，b＞0)或ab________1(a，ba＝ba－b＝0ab＝1(b≠a＜ba－b＜0ab＜1(a，b＞0)或ab________1(a，b2.不等式的性质性质性质内容对称性a＞b⇔________传递性a＞b，b＞c⇒________可加性a＞b⇒a＋c＞b＋c可乘性a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒________同向可加性a＞b，c＞d⇒____________同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0⇒________同正可乘方性a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)【常用结论】与倒数有关的结论：(1)a>b，ab>0⇒1a<1(2)a<0<b⇒1a<1(3)a>b>0，0<c<d⇒ac>b(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()(2)一个不等式的两边同加上或同乘一个数，不等号方向不变．()(3)若ab>1，则a>b.((4)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc.(2．(多选)(人教A版必修一P42练习T2改编)下列命题为真命题的是()A．若a>b，c<d，那么a－c>b－dB．若a>b>0，c<d<0，那么ac>bdC．若a>b>0，那么1a2D．若a>b>c>0，那么ca<3．(人教A版必修一P40T2改编)设M＝(x＋3)(x＋7)，N＝(x＋4)(x＋6)，则M与N的大小关系为________．4．(人教A版必修一P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一比较数与式的大小例1(1)设P＝2，Q＝7-3，R＝6-2，则P，Q，R的大小关系A．P>Q>RB．P>R>QC．Q>P>RD．Q>R>P(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为__________(用“<”连接)．[听课笔记]学霸笔记：(1)作差法：若待比较的式子为多项式(或变形后为多项式)，常用作差比较法，一般作差后利用因式分解或配方等判断符号．(2)作商法：若待比较的式子符号相同，且含分式或指数式，常用作商比较法．跟踪训练(1)已知P＝x2＋xy＋y2，Q＝3xy－1，则()A．P>QB．P＝QC．P<QD．P，Q的大小关系不确定(2)已知P＝a2＋a＋1，Q＝1a2-a+1(a∈R)，则P，Q命题点二不等式的基本性质例2(多选)(2026·临沂二模)已知a>b>c，则下列不等式正确的是()A．1a-c<1a-bB．ab2>C．a＋b>cD．a2＋c2>b2[听课笔记]学霸笔记：判断不等式是否成立主要是综合不等式的性质进行推理论证，求解时常用比较大小的方法以及取特殊值判断．跟踪训练(多选)(2026·沧州模拟)下列说法正确的是()A．若a<b，则ac2B．若a<b，则1a>C．若a<b，c>d，则a－c<b－dD．若a，b，m>0，则ab<命题点三利用不等式的性质求范围例3(1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围为________，3x＋2y的取值范围为________．(2)已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则ac的取值范围是________[听课笔记]学霸笔记：利用不等式的性质求取值范围时，应注意同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除求解时要充分利用所给条件进行适当变形，注意变形的等价性．跟踪训练(1)设α∈(－π6，π2)，β∈[0，π]，那么2α－βA．(0，2π3) B．(－πC．[－π3，2π3) D．((2)已知3<a<8，4<b<9，则ab的取值范围是________提示：请完成课时作业3第三节不等式的性质必备知识·助学教材知识清单1．<＞2．b＜aa＞cac＜bca＋c＞b＋dac＞bd自主诊断1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：若a＞b，c<d，则－c＞－d，由同向可加性得a－c＞b－d，故A正确；若a＞b＞0，c<d<0，同向同正才能相乘，则－c＞－d＞0，才能得出－ac＞－bd，即ac<bd，故B错误；若a＞b＞0，则0<1a<1b，由同正可乘方性即可得出1a2<1b2，故C错误；若a＞b＞c＞0，则0<1a<1b答案：AD3．解析：M－N＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以M<N.答案：M<N4．解析：因为b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，所以糖水的浓度为ab×100％.再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水的浓度为a+mb+m×100％答案：a+mb+m＞考教衔接·活用教材例1解析：(1)∵P－R＝2－6-2＝22-6>0，∴P>R，R－Q＝6-2－7-3＝6+3－7+2，而6+32＝9＋218，7+22＝9＋214，而(2)eπ·πeee·ππ＝eπ-eππ-e＝eππ－e，又0<eπ<1，0<π－e<1，所以eππ－e<1，即eπ答案：(1)B(2)eπ·πe＜ee·ππ跟踪训练解析：(1)因为P－Q＝x2＋xy＋y2－3xy＋1＝(x－y)2＋1>0，所以P>Q.故选A.(2)因为P＝a2＋a＋1＝a+122＋34>0，a2－a＋1＝a-122＋34>0，则Q>0.所以PQ＝(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝a2+12－a2＝a4＋a答案：(1)A(2)P≥Q例2解析：对于A，1a-c-1a-b＝a-b-a-ca-ca-b＝c-ba-ca-b，因为a>b>c，所以c－b<0，a－c>0，a－b>0，即c-ba-ca-b<0，所以1a-c<1a-b，故A正确；对于B，取a>b＝0>c，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1>b＝－2>c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若b＝0，则a2＋c2>b2＝0显然成立，若b<0，则a2＋c2≥a2>b2成立，若a>0>b>c，则a2＋c2≥c2>b2成立，综上所述，只要a答案：AD跟踪训练解析：对于A，因为a<b，且1c2>0，所以ac2<bc2，故A正确；对于B，若a<0<b，则1a<1b，故B错误；对于C，因为c>d，所以－c<－d，又因为a<b，所以a－c<b－d，故C正确；对于D，若a>b>0，则ab＋am>ab＋bm，不等式两边同时除以b(b＋m)答案：AC例3解析：(1)∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.(2)∵a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，b＝－2a－c.∵a＞b＞c，∴－2a－c＜a，即3a＞－c，解