高中数学导学案 第五节　三角函数的图象与性质

第五节三角函数的图象与性质新课标要求真题分布1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在-π2025年全国Ⅰ卷T4，全国Ⅱ卷T152024年—2023年新高考Ⅱ卷T16必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)，π2，1，________，________，(2π，(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，π2，0，________，________，(2π，2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR________值域________________R周期性________________________奇偶性________________________递增区间________________________递减区间________________无对称中心________________k对称轴方程________________无【常用结论】1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．3．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ-π2，kπ＋π2)(k∈Z自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sinx在第一象限是增函数．()(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函数．()2．(多选)(人教A版必修一P200T4改编)函数y＝1＋cosx，x∈π3，2π的图象与直线y＝t(t为常数)A．0个B．1个C．2个D．3个3．(人教A版必修一P207T5改编)函数y＝3sin2x+π4，x∈[0，π]的单调递减区间为4．(人教A版必修一P213练习T3改编)函数y＝tan3x的定义域为________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一三角函数的定义域、值域(或最值)例1(1)在[0，2π]内，函数f(x)＝1-2cosx＋lnsinx-A．π4，π3C．π3，3π(2)已知函数f(x)＝2cosπ6-2x，则函数f(x)AC(3)[学霸笔记(2)①②形如y＝asin2x＋bsinx跟踪训练(2)命题点二三角函数的奇偶性、周期性与对称性例的图象的一个对称中心，则AC2若AC学霸笔记而偶函数一般可化为若①f(x)②f(x)2y3如果求或令ω求或令（ωx＋φ＝π2＋kπ（k∈Z）②对于可化为f(x)＝Atan⁡(ωx＋φ)形式的函数，如果求跟踪训练则下列能满足条件的AC(2)(ABCD命题点三三角函数的单调性例AC(2)[听课笔记]学霸笔记2视防止把单调性弄错．跟踪训练则实数AC(2)ABCD提示：请完成课时作业26第五节三角函数的图象与性质必备知识·助学教材知识清单1．(1)(π，0)(3π2，－1)(2)(π，－1)(3π22．{xx≠kπ+π2}[－1，1][－1，1]2π2ππ奇函数偶函数奇函数[－π2＋2kπ，π2＋2kπ][－π＋2kπ，(－π2＋kπ，π2＋kπ)[π2＋2kπ，3π2＋2kπ][2kπ，π＋2kπ](kπ，0)(kπ＋π2，0)x＝kπ＋π自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.解析：画出函数f(x)的图象，如图所示，当t＜0或t≥2时，没有交点；当t＝0或32≤t＜2时，有1个交点；当0＜t＜32时，有2个交点．故选答案：ABC3．解析：由2kπ＋π2≤2x＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，当k＝0时，π8≤x答案：[π84．解析：令3x≠π2＋kπ，k∈Z，解得x≠π6+kπ3故函数的定义域为{xx≠π6+kπ3，答案：{xx≠π6+kπ考教衔接·活用教材例1解析：(1)由题意得1-2cosx≥0，sinx-22>0，0≤x≤2π，解得π3≤x(2)因为x∈-π12，π2，所以π6－2x∈-5π6，π3，则cos(π6－2x)∈-32，1，所以f(x(3)因为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，所以y＝sinx＋cosx－2[(sinx＋cosx)2－1].令t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，可知t∈[－2，2]，则y＝－2t2＋t＋2，t∈[－2，2].二次函数的图象开口向下，对称轴为t＝14，当t＝14时，ymax＝－2×(14)2＋14＋2＝178；当t＝－2时，ymin＝－2×(－2)2－答案：(1)C(2)B(3)1跟踪训练解析：(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0，利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示，在[0，2π]上，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x2kπ+π4≤x≤2kπ＋5π(2)函数f(x)＝cos2x＋2sinx的定义域为R，则f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－12)2＋32，而－1≤sinx≤1，因此当sinx＝12时，f(x)max＝32；当sinx＝－1时，f(x)min＝－3，所以函数f(x)＝cos2x＋2sin答案：(1){x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}例2解析：(1)由题意得，2tan(a－π3)＝0，则a－π3＝kπ2(k∈Z)，故a＝kπ2+π又a>0，则k＝0时，amin＝π3.故选(2)因为2π3＜T＜π，所以2π3＜2πω＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(3π2，2)中心对称，所以b＝2，3π2ω＋π4＝kπ，k∈Z，所以ω＝－16+23k，k∈Z.令2＜-16+23k＜3，解得134＜k＜194.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝52.所以f(x)＝sin(52x＋π答案：(1)B(2)A跟踪训练解析：(1)由题设φ＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，则φ＝kπ＋π6，k∈Z，显然k＝0时φ＝π6，而φ＝－π(2)对于A，最小正周期T＝2π2＝π，A正确；对于B，令x＝π4，解得f(π4)＝3sin3π4＝322≠0，所以函数f(x)的图象并不关于点(π4，0)对称，B错误；对于C，令x＝5π8，解得f(5π8)＝3sin(3π2)＝－3，此时函数f(x)取得最小值，故函数f(x)的图象关于直线x＝5π8对称，C正确；对于D，f(x－π8)＝3sin[2(x－π8)＋π4]＝3sin2x，设h(x)＝3sin2x，x∈R，定义域关于原点对称，设任意x∈R，则－x∈R，则h(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin2x＝－h(x)，故h答案：(1)C(2)ACD例3解析：(1)由a＝cos(－3π8)＝cos3π8，b＝cos9π7＝cos(π＋2π7)＝－cos2π7<0，c＝sin2π7＝cos(π2-2π7)＝cos3π14，又0<3π14<3π8<π2，因为y＝cosx在(0，π2)上单调递减，所以cos3π14>cos3π(2)由题意知y＝2sin(－2x＋π6)＝－2sin(2x－π6)，所以函数y＝－2sin(2x－π6)的单调递减区间就是y＝2sin(2x－π6)的单调递增区间．已知y＝sinx的单调递增区间为-π2+2kπ，π2+2kπ，k∈Z，得－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，当k＝0时，单调递增区间为-π6，π3；当k＝－1时，单调递增区间为-7π6，-2π3.所以y＝2sin(2x－π6)在答案：(1)D(2)-π，-跟踪训练解析：(1)因为b＝2(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)＝2sin60°，c＝2(sin45°cos31°－cos45°sin31°)＝2sin14°.因为sin14°<sin59°<sin6