高中数学导学案 第三节　函数的奇偶性、周期性

第三节函数的奇偶性、周期性新课标要求真题分布1.了解函数奇偶性的概念及其几何意义．2．了解函数的周期性及其几何意义．3．会依据函数的性质进行简单的应用．2025年全国Ⅰ卷T5，全国Ⅱ卷T102024年—2023年新高考Ⅰ卷T11，新高考Ⅱ卷T4必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.奇偶性(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D，都有-x∈D,如果若________，则f(x)为偶函数；若________，则f(x)为奇函数．函数为奇数或偶函数的前提是：定义域关于原点对称．(2)性质：①奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于________对称．②在关于y轴对称的两个区间内，奇函数的单调性________，偶函数的单调性________．2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．【常用结论】1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(3)若函数满足f(x)＝0或解析式可化简为f(x)＝0(x∈D)，其中定义域D是关于原点对称的非空数集，则函数既是奇函数又是偶函数．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的一个周期为2a.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的一个周期为2a．(3)若f(x＋a)＝1fx，则函数的一个周期为2(4)若f(x＋a)＝－1fx，则函数的一个周期为2自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)不存在既是奇函数又是偶函数的函数．()(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()2．(多选)(人教A版必修一P84例6改编)下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5C．f(x)＝x＋1x D．f(x)＝3．(人教B版必修一P115B组T2)改编已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________．4．(人教A版必修一P203T4改编)设函数f(x)（x∈R）是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2，则f(72)＝________考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝x-1+(2)f(x)＝x2(3)f(x)＝4-x(4)f(x)＝x[听课笔记]学霸笔记：判断函数奇偶性常用的两种方法跟踪训练(1)下列函数是偶函数的是()A．f(x)＝|x－1|B．f(x)＝x＋1C．f(x)＝ex－e－xD．f(x)＝ex＋e－x(2)下列函数是奇函数的是()A．f(x)＝lnxB．f(x)＝－x2C．f(x)＝3xD．f(x)＝lg1-x命题点二函数奇偶性的应用考向1求值(解析式)例2(1)已知偶函数f(x)的定义域为R，且当x>0时，f(x)＝－3x＋m，若f(－2)＝－7，则f(3)＝()A．－25 B．－15C．25 D．15(2)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x－3，则函数f(x)＝________．[听课笔记]学霸笔记：(1)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：先将所求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．跟踪训练已知函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1，则f(－2)＝()A．1B．－3C．3D．－3考向2求参数例3(链接·2023年新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln2x-12x+1为偶函数，则a＝(A．－1B．0C．12D．[听课笔记]真题探源(源自人教B版必修一P117B组T8)已知函数f(x)＝(x－1)2＋ax＋2是偶函数，求实数a的值．学霸笔记：根据函数的奇偶性求函数解析式中的参数的方法主要是利用函数的奇偶性建立关于f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的恒等式求解，也可利用特殊值求解(使用特殊值求解，所得的参数的值需要检验)．考向3解不等式例4(2026·上饶模拟)已知函数f(x)＝x－sinx，且f(log2m)＋f(－1)<0，则m的取值范围是()A．(－∞，2) B．(0，2)C．(1，2) D．(2，＋∞)[听课笔记]学霸笔记：求解函数奇偶性与单调性有关的不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，转化为自变量的不等式．跟踪训练已知定义在区间[－2，2]上的偶函数f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，若f(1－2m)>f(1)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－12，0)∪(1C．[－12，0)∪(1，32]D．[－1命题点三函数的周期性及应用例5(1)(2026·呼和浩特模拟)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(194)＝(A．－12B．－14C．14(2)(链接·2025年全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－34)＝(A．－12B．－14C．14[听课笔记]真题探源(源自人教A版必修一P214T18改编)已知周期函数y＝f(x)的图象如图所示．(1)求函数的周期；(2)画出函数y＝f(x＋1)的图象；(3)写出函数y＝f(x)的解析式．学霸笔记：求解函数的周期性问题，首先应根据题意求出函数的周期，利用函数的周期性将函数在未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上．跟踪训练(1)(2026·龙岩模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(3)＝2，则f(2025)的值为________．(2)(2026·九江模拟)已知奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1)时，f(x)＝4x＋a，则f(101.5)＝________．提示：请完成课时作业8第三节函数的奇偶性、周期性必备知识·助学教材知识清单1．(1)f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)(2)①原点y轴②相同相反2．(1)f(x＋T)＝f(x)(2)最小的正数最小正数自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数．答案：BC3．解析：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)的定义域为R则g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＝－g(x)－8.因为f(－2)＝10，所以g(2)＝－18，所以f(2)＝g(2)－8＝－26.答案：－264．解析：因为函数y＝f(x)是以2为周期的函数，所以f72＝f2+32＝f32＝答案：1考教衔接·活用教材例1解析：答案：(1)由x-1≥0，1-x≥0，解得x≥1则f(x)＝x-1+1-x为答案：(2)由1-x2≥0，x2-1≥0，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x2答案：(3)由4-x2≥0，x+3-3≠0，得－2≤所以x＋3>0，|x＋3|＝x＋3，所以f(x)＝4-x因为f(－x)＝－4-x2x＝－f(x)答案：(4)方法一f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝-x即f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．方法二画出f(x)的图象，观察可知图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数．跟踪训练解析：(1)对于A，函数f(x)＝|x－1|的定义域为R，关于原点对称，任取x＝3，则－x＝－3，f(－3)＝4，f(3)＝2，因为f(－3)≠f(3)，故f(x)＝|x－1|不是偶函数；对于B，函数f(x)＝x＋1x的定义域为xx≠0}，关于原点对称，任取x＝3，则－x＝－3，f(－3)＝－103，f(3)＝103，因为f(－3)≠f(3)，故f(x故关于原点对称，因为f-x＝e-x解析：(2)对于A，f(x)＝lnx的定义域为(0，＋∞)，所以函数f(x)＝lnx为非奇非偶函数，故A错误；对于B，f(x)＝－x2的定义域为R，且f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，即函数f(x)＝－x2为偶函数，故B错误；对于C，f(x)＝3x的定义域为R，且f(－x)＝3－x≠－3x＝－f(x)，即函数f(x)＝3x为非奇非偶函数，故C错误；对于D，f(x)＝lg1-x1+x的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝lg1+x1-x＝－lg1-x1+x＝－f(x)，即函数f(x)＝lg1-x1+x答案：(1)D答案：(2)D例2解析：(1)由偶函数的性质可知，f(－2)＝f(2)＝－9＋m＝－7，得m＝2，即x>0时，f(x)＝－3x＋2，则f(3)＝－27＋2＝－25，故A正确．故选A.解析：(2)根据题意，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－3＝x2－2x－3，又由函数f(x)为R上的偶函数，则f(x)＝f(－x)．则x<0时，f(x)＝x2－2x－3.故f(x)＝x答案：(1)A答案：(2)f(x)＝x跟踪训练解析：根据题意，当x≥0时，f(x)＝2x－1，则f(2)＝22－1＝3，又由f(x)为奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－3.故选D.答案：D例3解析：由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>12或x<－12，则f(x)的定义域为{x|x>12，或x<-12，关于原点对称．因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)·ln13＝(－1＋a)ln3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝xln2x-12x+1，f(－x)＝(－x)·ln2-x-12-x+1＝(－x)ln2x+12x-1＝(－x)ln答案：B真题探源解析：因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋2是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋2＝(x－1)2＋ax＋2，整理得(2a－4)x＝0，所以2a－4＝0，解得a＝2.例4解析：∵函数f(x)＝x－sinx的定义域为R，∴f′(x)＝1－cosx≥0恒成立，故函数f(x)为增函数，又由f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，f(log2m)＋f(－1)<0⇒f(log2m)<－f(－1)＝f(1)，则log2m<1，解得0<m<2.故选B.答案：B跟踪训练解析：因为f(x)是[－2，2]上的偶函数，所以f(1－2m)＝f1-2m所以-2≤1-2m≤2，1-2m>