高中数学导学案 第三节　随机事件与概率

第三节随机事件与概率新课标要求真题分布1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算．2．理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率．3．理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则，会用频率估计概率．2025年全国Ⅰ卷T142024年新高考Ⅰ卷T14必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件；②表示：大写字母A，B，C，…；③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．事件的关系与运算事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生________并事件(和事件)A与B至少一个发生________或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生________或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝________互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝________，A∪B＝________3.古典概型(1)古典概型的定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①有限性：样本空间的样本点只有________；②等可能性：每个样本点发生的可能性________．(2)古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．4．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________．性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝________________．【常用结论】1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生．()(3)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.()(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()2．(必修二P235T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是()A.至多一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都没中靶3．(必修二P238例9改编)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到黄球的概率是()A．110B．C．310D．4．(必修二P243例11改编)从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P(A)＝P(B)＝14，设C＝“抽到红花色”，则P(C)＝________；设D＝“抽到黑花色”，则P(D)＝________考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一随机事件关系的判断例1抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则()A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件[听课笔记]学霸笔记：(1)定义法判断互斥事件、对立事件：不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件所含的结果组成集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．跟踪训练袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球命题点二随机事件的概率考向1古典概型例2(1)(链接·2022年新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A．16B．C．12D．(2)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________．[听课笔记]真题探源(源自必修二P246T8)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是()A．310 B．C．25 D．学霸笔记：求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图法)，以及排列、组合法．跟踪训练(2026·沧州模拟)从1～10这10个正整数中任选3个正整数，所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率()A．16 B．C．112 D．考向2互斥事件与对立事件的概率例3将一枚质地均匀的正方体骰子(点数分别为1，2，3，4，5，6)连续抛掷三次，求下列事件的概率．(1)点数都为奇数；(2)至少出现一次3点．[听课笔记]学霸笔记：(1)直接求解法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接求解法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－PA，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便．跟踪训练(衔接·必修二P247T13改编)某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为________；命中的环数不超过5环的概率为________．考向3用频率估计概率例4如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)[10，20](20，30](30，40](40，50](50，60]选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率：(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[听课笔记]学霸笔记：概率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．跟踪训练(衔接·必修二P261T2)用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数(如下表)，如果再抛掷一次，则估计标记3的面落在桌面上的概率为________．四面体的面1234频数22182139提示：请完成课时作业63第三节随机事件与概率必备知识·助学教材知识清单1．(1)①基本结果(2)①子集2．A⊆BA∪BA∩B∅∅Ω3．(1)①有限个②相等(2)kn＝4．P(A)＋P(B)1－P(A)1－P(B)P(A)＋P(B)－P(A∩B)自主诊断1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶；设事件P：至少一次中靶，则P＝{①，②}，对于A，事件A：至多一次中靶，则A＝{②，③}，P∩A＝{②}，不互斥，不对立；对于B，事件B：两次都中靶，则B＝{①}，P∩B＝{①}，不互斥，不对立；对于C，事件C：只有一次中靶，则C＝{②}，P∩C＝{②}，不互斥，不对立；对于D，事件D：两次都没中靶，则D＝{③}，P∩D＝∅，且P∪D＝{①，②，③}，互斥且对立．答案：D3．解析：由题意可给这五个球分别标上号码，红球为1，2，黄球为3，4，5，可得从中不放回地依次随机摸出2个球，基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，其中摸出的2个球都是黄球的基本事件有(3，4)，(3，5)，(4，5)，共3个，故摸出的2个球都是黄球的概率为310答案：C4．解析：因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝14+14＝12.因为C与D互为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝答案：1考教衔接·活用教材例1解析：根据题意，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，包含“骰子向上的点数为2”、“骰子向上的点数为3”、“骰子向上的点数为5”，三个基本事件；事件2表示“骰子向上的点数为合数”，包含“骰子向上的点数为4”、“骰子向上的点数为6”，两个基本事件；事件3表示“骰子向上的点数大于2”，包含“骰子向上的点数为3”、“骰子向上的点数为4”、“骰子向上的点数为5”、“骰子向上的点数为6”，四个基本事件，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，包含“骰子向上的点数为1”、“骰子向上的点数为2”，两个基本事件，依次分析选项：对于A，事件1与事件3可能同时发生，不是互斥事件，A错误；对于B，事件1与事件2互为互斥事件，但不是对立事件，B错误；对于C，事件2与事件3可能同时发生，不是互斥事件，C错误；对于D，事件3与事件4互为对立事件，D正确．故选D.答案：D跟踪训练解析：对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不是；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不是；对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C是；对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不是．答案：C例2解析：(1)从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有C72＝21种结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为1421＝23(2)不妨设甲四轮比赛中所选卡片顺序固定，即四轮比赛所选卡片依次为1，3，5，7，此时乙有A当甲得若甲第二、四轮的数字大，则有若甲第三、四轮的数字大，则有A22A22+1＋A22当甲得3分时，甲第一轮的数字小，其他三轮的数字大，有1种选法．故甲的总得分不小于2的概率P＝11+124＝1答案：(1)D(2)1真题探源解析：从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个，即(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)，其中能构成三角形的基本事件有3个，即(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)，故所求概率P＝310答案：A跟踪训练解析：由题意知1～10中的素数为2，3，5，7，共4个，所以所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率为P＝1-C63C10答案：B例3解析：(1)将一枚质地均匀的正方