高中数学导学案 第四节　复数

第四节复数新课标要求真题分布1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．2．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．2025年全国Ⅰ卷T1，全国Ⅱ卷T22024年新高考Ⅰ卷T2，新高考Ⅱ卷T12023年新高考Ⅰ卷T2，新高考Ⅱ卷T2必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，i叫做虚数单位，其中实部是____，虚部是____．(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__________(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__________(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝________(r≥0，a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OZ.3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_____________________________________;③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________________________________；④除法：z＝________________(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行运算．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝________，Z1Z2【常用结论】1．i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0，n∈N*.2．(1±i)2＝±2i，1+i1-i＝i，1-i1+i＝－3．复数的模与共轭复数的关系z·z＝|z|2＝z2.自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)原点是实轴与虚轴的交点．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()2．(人教A版必修二P94T1(1))复数a＋bi与c＋di的积是实数的充要条件是()A．ad＋bc＝0 B．ac＋bd＝0C．ac＝bd D．ad＝bc3．(人教A版必修二P94T1(2))复数5i-2的共轭复数是(A．i＋2B．－2－iC．i－2D．2－i4．(人教A版必修二P95T2(3))复数6＋5i与－3＋4i对应的向量分别为向量OA与OB，则向量BA对应的复数为________.考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一复数的有关概念例1(1)(链接·2025年全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为()A．－1B．0C．1D．6(2)(2026·淮安模拟)若复数z＝(m－1)－(m＋2)i(m∈R)为纯虚数，则复数z为()A．3iB．－3iC．3D．－3[听课笔记]学霸笔记：(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可；(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．跟踪训练(1)若复数z满足z＝1+ii，则z的虚部为(A．1B．iC．－1D．－i(2)(衔接·人教A版必修二P95复习参考题T4)已知复数z与(z＋2)2－8i都是纯虚数，则z＝________．命题点二复数的运算例2(1)(链接·2025年全国Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则1z-1＝(A．－iB．iC．－1D．1(2)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)若zz-1＝1＋i，则z＝(A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i(3)若(2－i)z＝2i3，则z·z＝()A．45B．255C．1225[听课笔记]真题探源(1)(源自人教A版必修二P81习题T4(3))计算12-i2＝(A．－37-47iBC．325-425i(2)(源自人教A版必修二P95复习参考题T7改编)已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________．学霸笔记：(1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数．命题点三复数的几何意义例3(1)(链接·2023年新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)(2026·河北部分示范性高中联考)已知复数z＝21-i，若将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转90°得到向量OZ'，则向量OZ'对应的复数z′为A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i[听课笔记]真题探源(1)(衔接·人教A版必修二P95T1(3))当23<m<1时，复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于(A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)(衔接·人教A版必修二P81T5改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i，2＋i，则点D对应的复数为()A．3－5iB．5－3iC．3＋5iD．5＋3i学霸笔记：复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)、复平面内的向量OZ三者之间建立了一一对应关系，因此解决复数问题时，可考虑运用数形结合的思想方法．提示：请完成课时作业34第四节复数必备知识·助学教材知识清单1．(1)ab(2)实数纯虚数非纯虚数(3)a＝c且b＝d(4)a＝c且b＝－d(5)a2+3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i②(a－c)＋(b－d)i③(ac－bd)＋(ad＋bc)i④ac+bdc2+d2+bc-adc2+d自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：根据题意可知(a＋bi)·(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i，复数a＋bi与复数c＋di的积是实数，∴所得积的复数的虚部是零，∴ad＋bc＝0.故选A.答案：A3．解析：5i-2＝5-2-i-2+i-2-i＝5-2-i5＝－2－i答案：C4．解析：∵复数6＋5i与－3＋4i分别对应向量OA与OB，∴BA＝OA-OB＝6＋5i－(－3＋4i)＝9答案：9＋i考教衔接·活用教材例1解析：(1)因为(1＋5i)i＝i＋5i2＝－5＋i，所以虚部为1.故选C.(2)由复数z＝(m－1)－(m＋2)i(m∈R)为纯虚数，可得m-1=0，m+2≠0⇒m＝1，则z＝－3i.答案：(1)C(2)B跟踪训练解析：(1)由z＝1+ii＝1+i-ii·-i＝1－i，故z＝1＋i，所以z(2)设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则(z＋2)2－8i＝(2＋ai)2－8i＝4－a2＋(4a－8)i.因为(z＋2)2－8i是纯虚数，则4-a2=0，4a-8≠0，解得a答案：(1)A(2)－2i例2解析：(1)因为z＝1＋i，所以1z-1＝11+i-1＝1i＝ii(2)由zz-1＝1＋i，可得z-1+1z-1＝1＋i，即1＋1z-1＝1＋i，所以1z-1＝i，所以z－1＝1i＝－i，所以z＝(3)若(2－i)z＝2i3，则z＝2i32-i＝2i32+i2-i2+i＝-2i2+i4-i2＝2-4i5＝25-45i，则答案：(1)A(2)C(3)A真题探源解析：(1)12-i2＝14-4i+i2＝13-4i＝3+4i3-4i(2)∵(1＋2i)z＝4＋3i，∴z＝4+3i1+2i＝4+3i1-2i1+2i1-2i＝10-5i5＝2－i，则答案：(1)D(2)2＋i例3解析：(1)因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A.(2)根据题意，z＝21-i＝21+i1-i1+i＝21+i1-i2＝1＋i，则复数z对应的向量OZ＝(1，1)，将其绕原点按顺时针方向旋转90°，得到向量OZ'＝(1，－1)答案：(1)A(2)B真题探源解析：(1)复数m(3＋i)－(2＋i)＝3m－2＋(m－1)i在复平面内对应的点