高中数学导学案 第四节　基本不等式

第四节基本不等式新课标要求真题分布1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a>0，2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．2025年北京卷T62024年新高考Ⅱ卷T8必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.基本不等式：ab(1)基本不等式成立的条件：________________．(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．剖析a2＋b2≥2ab成立的条件与a+b2≥ab成立的条件不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a∈R，b∈R，而a+b2≥ab成立的条件是a>0，b2．算术平均数与几何平均数正数a，b的算术平均数为a+b2，几何平均数为ab，基本不等式表明：两个正数的____________3．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0.(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值________(简记：积定和最小)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值________(简记：和定积最大)．注意应用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正”“二定”“三相等”．【常用结论】如果a>0，b>0，则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22，当且仅当自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.((3)x>0且y>0是xy+yx≥2(4)函数y＝sinx＋4sinx，x∈(0，π2)的最小值为2．(人教A版必修一P46T3改编)当x＝________时，x2＋1x2取得最小值，最小值是3．(人教A版必修一P45例1改编)已知x<0，则x＋1x的最大值为________4．(人教A版必修一P48练习T3改编)做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面的边长为________m时，用纸最少．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一基本不等式的常见变形例1(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则()A．a2＋b2>2abB．1C．a＋b>abD．1[听课笔记]真题探源[源自北师大版必修一P45T1(4)]已知a>b>0，则下列不等式成立的是()A．a>a+b2>ab>bB．a>b>a+b2>C．a>a+b2>b>abD．a>ab>a+b2>学霸笔记：基本不等式的常见变形(1)ab≤(a+b2)2≤a(2)21a+1命题点二利用基本不等式求最值考向1直接法求最值例2已知x，y为正数，则2x2+3yA．4B．32C．3D．26[听课笔记]学霸笔记：若已知条件中的变量直接满足“积为定值”或“和为定值”(或变形后为定值)，且变量均为正数，在保证等号成立的前提下，可以直接利用基本不等式求最值．跟踪训练(2026·保定二模)已知x，y是非零实数，则y2x2+A．6B．12C．2D．4考向2配凑法求最值例3(2026·郴州模拟)已知x<－1，则4x＋1x+1的最大值为(A．－4 B．0C．4 D．－8[听课笔记]学霸笔记：配凑法就是将相关代数式进行适当变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法，配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键．跟踪训练已知－3<x<0，则y＝x9-x2的最小值为(A．－92B．C．－32D考向3常数代换法求最值例4(2026·豫北多校模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则－1a-4bA．－9B．－7C．－5D．－3[听课笔记]学霸笔记：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用均值不等式求最值．一般地，形如或可化为：已知1a+1b＝k(k≠0)，求ma＋nb(mn≠0)的最值；已知a＋b＝k(k≠0)，求1跟踪训练(2026·合肥模拟)已知正数a，b满足1a+2b＝1，则a＋2bA．4B．6C．8D．9考向4换元法求最值例5已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．[听课笔记]学霸笔记：当已知的条件式中既含有和式又含有积式，求和式或积式的最值时，往往把所求的式子看作一个整体进行换元，用基本不等式转化为换元后的不等式求解即可．跟踪训练已知a>0，b>0，ab＝9a＋b＋7，则ab的最小值为________．命题点三基本不等式的实际应用例6某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S的取值范围是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？[听课笔记]学霸笔记：利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，建立数学模型，求出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练(衔接·人教A版必修一P49T6)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？提示：请完成课时作业4第四节基本不等式必备知识·助学教材知识清单1．(1)a＞0，b＞0(2)a＝b2．算术平均数3．(1)2P(2)S自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：∵x2>0，∴x2＋1x2≥2，当且仅当x2＝1x2，即答案：±123．解析：∵x<0，∴－x>0，∴x＋1x＝－-x+1-x≤-2-x·1-x＝－答案：－24．解析：设长方体的底面长为xm，则宽为322x＝16x(m)，所以长方体的表面积为S＝22x+16+2×16x＝32＋4x+16x≥32＋4×2x·16x＝64，当且仅当x＝16x，即x＝4时取“＝答案：4考教衔接·活用教材例1解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于BD，取a＝12，b＝14，此时1a+1b＝2＋4＝6<112×14＝8＝1ab，1a+1b＝2＋4＝6>212答案：C真题探源解析：∵a>b>0易知a+b2>ab，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2⇒ab>b，∴a>a+b2>ab>b.故选答案：A例2解析：由x，y均为正数，则2x2+3y2xy＝2xy+3yx≥22xy答案：D跟踪训练解析：y2x2+9x2y2≥2答案：A例3解析：因为x<－1，则x＋1<0，所以－(x＋1)>0，4x＋1x+1＝4(x＋1)＋1x+1－4＝－-4x+1+1-x+1－4≤－2-4x+1×1-x+1－4＝－4－4＝－8，当且仅当－4(x＋1)＝1-答案：D跟踪训练解析：由于－3<x<0，则9－x2>0，故y＝x9-x2＝-x29-x2≥-x2+9-x22＝-9答案：A例4解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以1a+4b＝1a+4b(a＋b)＝5＋ba+4ab≥5+2ba·答案：A跟踪训练解析：由题意得a＋2b＝(a＋2b)1a+2b＝1＋2ab+2ba＋4≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当2ba＝2ab，答案：D例5解析：因为2xy＝x·(2y)≤x+2y22，所以8－(x＋2y)＝2xy≤x+2y24，令x＋2y＝t>0，则8－t≤t24，即t2＋4t－32≥0，解得t≥4，所以答案：4跟踪训练解析：ab－7＝9a＋b≥29ab＝6ab，令ab＝t>0，则t2－7≥6t，即t2－6t－7≥0，解得t≥7，所以ab≥7，即ab≥49，所以答案：49例6答案：(1)设正面铁栅长度为xm，一堵砖墙长度为ym，故S＝xy，则40x＋2×45y＋20xy＝3200，即40x＋90y＝3200－20xy.由基本不等式得40x＋90y≥240x·90y＝120xy，故3200－20xy≥120xy，即3200－20S≥120S，当且仅当40x＝90y，即x＝15，y＝203故S+16S因为S＋16>0，故S－10≤0，S≤100，由于面积大于0，故0<S≤100.答案：(2)由(1)可知，当x＝1