高中数学强基题 课时作业7　函数的单调性与最值

课时作业7函数的单调性与最值(分值：100分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．(2026·龙岩模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是()A．f(x)＝12B．f(x)＝x2－4x＋C．f(x)＝2xD．f(x)＝log12．函数f(x)＝－x＋1x在-2，-1A．32B．－C．－2D．23．已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1<x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则()A．f(3)<f(π)<f(2)B．f(π)<f(3)<f(2)C．f(2)<f(π)<f(3)D．f(π)<f(2)<f(3)4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x2－2x)<f(3)的实数x的取值范围是()A．[－1，3]B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3，3)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)5．“函数f(x)＝(k－1)x－3在R上为增函数”是“k>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数f(x)＝3x－10＋x-5的值域为()A．[5，＋∞)B．[6，＋∞)C．[7，＋∞)D．[10，＋∞)7．若函数y＝x－kx+k3在(1，＋∞)上单调递增，则实数kA．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)8．如果函数y＝f(x)在区间I上是单调递减，且函数y＝fxx在区间I上是单调递增，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”．若函数f(x)＝x2－4x＋2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为(A．-∞，-2B．2C．0D．1二、多项选择题(每小题6分，共12分)9．下列说法正确的是()A．若y＝f(x)在区间I上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则y＝f(x)在I上单调递减B．函数f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增C．函数f(x)＝－1xD．函数f(x)＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞10．已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是()A．函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增B．函数y＝f(x)在[－1，0]上单调递减C．当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值三、填空题(每小题5分，共10分)11．能说明“函数f(x)的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若fmin(x)＝f(2)，则f(x)单调递减”为假命题的一个函数为________．12．函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递减区间是________.四、解答题(共28分)13．(13分)已知函数f(x)＝2x-3x+1(1)函数单调性的定义证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；(2)求函数f(x)在区间[1，4]上的最大值和最小值．14．(15分)已知函数f(x)＝2ax+3(1)若a>0，求f(x)的值域；(2)若f(x)在R上单调递减，求实数a的取值范围．优生选做题15．(5分)函数f(x)＝x-4+x2-2xA．0 B．4C．2 D．2216．(5分)已知函数f(x)＝x2-x-2，x≤-1，-2x-2，x>-1，若f(2t2－1)>课时作业7函数的单调性与最值1．解析：由“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”，得函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，对于A，f(x)＝12在(0，+∞)上不单调递增，A不是；对于B，函数fx＝x2-4x＋4在(0，2)上单调递减，B不是；对于C，函数f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，C是；对于D，函数f(x)＝log12x在答案：C2．解析：易知f(x)＝－x＋1x在-2，-13上单调递减，故其最大值为f(－2)＝答案：A3．解析：因为∀x1，x2∈R，x1<x2，则x1－x2<0，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，可得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，可知f(x)是R上的减函数，且π>3>2，所以f(π)<f(3)<f(2)．故选B.答案：B4．解析：因为f(x)为R上的减函数，且f(x2－2x)<f(3)，所以x2－2x>3，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3.答案：B5．解析：函数f(x)＝(k－1)x－3在R上为增函数，等价于k－1>0，即k>1，所以“函数f(x)＝(k－1)x－3在R上为增函数”是“k>2”的必要不充分条件．故选B.答案：B6．解析：由x－5≥0得x≥5，所以f(x)的定义域为[5，＋∞)．因为y＝3x－10与y＝x-5在[5，＋∞)上均为增函数，所以f(x)在[5，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(5)＝5，即函数f(x)的值域为[5，＋∞)．故选A.答案：A7．解析：当k>0时，y＝x－kx+k3在(1，＋∞)上单调递增，满足题意，当k＝0时，y＝x，满足题意，当k<0时，y＝x＋-kx+k3，由对勾函数的性质知，若满足题意，则-k≤1，解得－1≤k答案：B8．解析：因为函数f(x)＝x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝2，所以函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，又当x≤2且x≠0时，fxx＝x+2x－4，令g(x)＝x＋2x－4(x≤2且x≠0)，则g(x)在-∞，-2和2，2上单调递增，故f(答案：A9．解析：对于A，由题意，任意取x1，x2∈I，若x1>x2，则f(x1)<f(x2)，由函数单调性可知y＝f(x)在I上是减函数，故A正确；对于B，因为函数f(x)＝x2的图象是以直线x＝0为对称轴，开口向上的抛物线，故函数f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，因为函数f(x)＝－1x的图象为双曲线，在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递增，但不能说f(x)在定义域内单调递增，故C错误；对于D，因为函数f(x)＝1x的图象为双曲线，在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，故D答案：AB10．解析：f(x)＝－x2＋2|x|＋1＝-作出函数f(x)的图象如图．由图象可知f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，故AB正确；由图象可知f(x)在x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：函数f(x)＝－x-122在0，12上单调递增，在12，2上单调递减，图象连续不断，f(0)＝－14，f(2)＝-94，所以函数f(x)＝－x-122在区间[0，答案：f(x)＝－x-122(答案不12．解析：函数f(x)＝|x(x－2)|的图象即为y＝x(x－2)的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变，据此可得函数f(x)＝|x(x－2)|的图象，如图所示．由图象可知函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递减区间是(－∞，0]，[1，2].答案：(－∞，0]，[1，2]13．解析：(1)证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x因为x1，x2∈(－1，＋∞)，x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f(x)在区间[1，4]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝－12，f(x)max＝f(4)＝1所以函数f(x)在区间[1，4]上的最大值为1，最小值为－1214．解析：答案：(1)因为f(x)＝2ax+3，x≤1可知f(x)＝2ax＋3在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤f(1)＝2a＋3，所以f(x)在(－∞，1]上的值域为(－∞，2a＋3]；且f(x)＝ax2＋x在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)>f(1)＝a＋1，所以f(x)在(1，＋∞)上的值域为(a＋1，＋∞)；注意到2a＋3＝(a＋1)＋(a＋2)>a＋1，所以f(x)在R上的值域为R.答案：(2)若f(x)＝2ax+3，x≤则a<0，-12a≤1，2a+3所以实数a的取值范围为-2，15．解析：根据题意，函数f(x)的定义域为[4