2026年北京市第四中学高一数学第7章复数同步练习题及答案

2026年北京市第四中学高一数学第7章复数同步练习题及答案第1页共1页2026年北京市第四中学高一数学第7章复数同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.若复数z满足方程z^2=-4，则z的实部是A.2B.-2C.0D.±2参考答案：C2.在复平面内，点Z对应复数z=3-4i，则Z关于实轴对称的点对应的复数是A.3+4iB.-3-4iC.3-4iD.-3+4i参考答案：A3.计算(1+i)^4的结果是A.0B.4C.-4D.16参考答案：B4.若复数α=a+bi(a,b∈R)的模为√5，且α的辐角主值为π/3，则a的值是A.√5/2B.-√5/2C.5/2D.-5/2参考答案：A5.已知复数z=1/(1-i)，则z的共轭复数是A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i参考答案：A6.设集合A={z|z=a+bi,a,b∈Z}，则复数√2+√3i属于集合A吗？A.属于B.不属于参考答案：B7.若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则z对应的点在复平面内的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线参考答案：B8.计算√(-9)×√(-4)的结果是A.6iB.-6iC.12D.-12参考答案：D9.已知复数z=2cosθ+2isinθ(θ∈[0,2π))，则z^2的实部是A.4cos2θB.4sin2θC.4D.-4参考答案：A10.若复数z=1+i，则z^3的虚部是A.0B.2C.-2D.4参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）1.若复数z满足(2+3i)z=6-15i，则z=______。参考答案：3-i2.在复平面内，点A对应的复数是3+4i，则点A关于实轴对称的点对应的复数是______。参考答案：3-4i3.若复数α=1+i，则α²的虚部是______。参考答案：24.已知复数β=1-2i，则β的共轭复数β̄的模长|β̄|=______。参考答案：√55.方程x²+2x+5=0的两个根的实部之和是______。参考答案：-26.若复数γ=a+bi(a,b∈R)满足γ•(1+i)=2i，则a=______，b=______。参考答案：1,-17.在复平面内，向量对应的复数是-1+2i，则该向量逆时针旋转90°后对应的复数是______。参考答案：-2-3i8.若复数δ=2-3i，则|δ|²=______。参考答案：139.已知复数μ=1+i，则μ•μ̄=______。参考答案：210.若复数ν=3+4i，则ν在复平面内对应的点关于原点对称的点的坐标是______。参考答案：(3,-4)三、判断题（共10小题，每题2分）1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|等于点(a,b)在复平面内对应的向量长度。参考答案：√2.两个共轭复数的差一定是纯虚数。参考答案：×3.若复数z满足z²=-1，则z=i。参考答案：×4.实数集R是复数集C的真子集。参考答案：√5.复数方程x²+1=0在实数范围内有解。参考答案：×6.任何复数都可以表示为a+bi的形式，其中a,b是实数。参考答案：√7.若z₁=2+3i,z₂=1-i，则z₁+z₂=3+2i。参考答案：√8.复数z=-3i的辐角主值是π/2。参考答案：×9.两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等。参考答案：√10.若复数z满足|z|=2且z²是实数，则z只能是2或-2。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述复数的基本概念及其表示方法。参考答案：复数由实部和虚部组成，一般表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。复数可以在复平面上表示，实部作为横坐标，虚部作为纵坐标。2.说明复数相等的充要条件是什么？参考答案：两个复数a+bi和c+di相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等，即a=c且b=d。3.列举复数运算的交换律和结合律的具体表现。参考答案：复数加法满足交换律a+bi=b+ai，乘法也满足交换律a(bi)=bi(a)，加法满足结合律(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，乘法也满足结合律(a+bi)((c+di)+(e+fi))=a(bi+cj+df+ei)。4.分析复数纯虚数的定义及其特征。参考答案：纯虚数是实部为0且虚部不为0的复数，即形如bi(b≠0)的复数。其特征是它在复平面上位于虚轴上，不与原点重合。5.解释复数模的概念及其几何意义。参考答案：复数z=a+bi的模定义为|z|=\sqrt{a²+b²}，几何意义是复数在复平面上对应的点（a,b）到原点的距离。6.列举复数乘法的几何意义。参考答案：复数乘法的几何意义是：将一个复数乘以另一个非零复数，相当于将原复数对应的向量按辐角（旋转角）乘以另一个复数的辐角，模（长度）乘以另一个复数的模。7.简述复数除法的运算规则。参考答案：复数除法运算是通过乘以除数的共轭复数来实现的，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c²+d²)，结果形式为x+yi，其中x=(ac+bd)/(c²+d²)，y=(bc-ad)/(c²+d²)。8.说明复数在解决实际问题中的应用举例。参考答案：复数在解决实际问题中的应用举例包括：交流电电路中的阻抗计算，利用复数表示旋转和振荡，计算机图形学中的旋转变换，控制理论中的系统稳定性分析，量子力学中的波函数描述等。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知复数z=1+2i，求z^2-2z的值。参考答案：-3-4i2.若复数w满足(2-i)w=1+3i，求w的实部和虚部。参考答案：实部为1/5，虚部为7/53.在复平面内，点A对应复数3-i，点B对应复数-1+2i，求向量AB的模长。参考答案：√104.已知复数u=a+bi(a,b∈R)，且u^2=5-12i，求a和b的值。参考答案：a=2，b=35.解方程x^2+2x+5=0，并用几何方法说明其解的情况。参考答案：x=-1±√4i6.已知复数v=2cosθ+(2sinθ)i(θ为实数)，求|v|的取值范围。参考答案：[2,2√2]7.若复数z满足|z-1|=2且z的实部为2，求z的值。参考答案：z=3+i8.设复数z=1-i，求z^4+z^3+z^2+z+1的值。参考答案：0标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：由z^2=-4可得z=±2i，因此z的实部为0。选项A、B、D均为实数，不符合题意。2.参考答案：A解析：Z关于实轴对称的点对应的复数为3+4i。选项B、C、D均为Z关于虚轴或原点对称的点。3.参考答案：B解析：(1+i)^4=[(1+i)^2]^2=(1+2i+i^2)^2=(2i)^2=-4。选项C、D错误，选项A、B中只有B正确。4.参考答案：A解析：由|α|=√5可得a^2+b^2=5，由arg(α)=π/3可得b/a=√3，联立方程组解得a=√5/2,b=(√3/2)√5。选项B、C、D均不符合计算结果。5.参考答案：A解析：z=1/(1-i)=(1+i)/(1-i)(1+i)=(1+i)/2=1/2+1/2i，其共轭复数为1/2-1/2i=1+i。选项B、C、D均为错误计算。6.参考答案：B解析：集合A中的元素a,b均为整数，而√2,√3不是整数，因此√2+√3i不属于集合A。选项A错误。7.参考答案：B解析：由|z-1|+|z+1|=4可知，z对应的点到点(1,0)和(-1,0)的距离之和为4，大于两定点距离，因此轨迹为椭圆。选项A、C、D均为错误几何图形。8.参考答案：D解析：√(-9)×√(-4)=3i×2i=6i^2=-6。选项A、B错误，选项C为错误计算，选项D正确。9.参考答案：A解析：z^2=(2cosθ+2isinθ)^2=4cos^2θ+4i^2sin^2θ+8icosθ=4cos^2θ-4sin^2θ+8icosθ=4(cos^2θ-sin^2θ)+8icosθ=4cos2θ+8icosθ，实部为4cos2θ。选项B、C、D均为错误计算。10.参考答案：B解析：z^3=(1+i)^3=(1+i)(1+i)(1+i)=(1+2i+i^2)(1+i)=(2i)(1+i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i，虚部为2。选项A、C、D均为错误计算。二、填空题1.参考答案：3-i解析：由(2+3i)z=6-15i，两边同时除以2+3i得z=(6-15i)/(2+3i)=(6-15i)(2-3i)/(2²+3²)=(12-18i-30i+45i²)/13=(-33-48i)/13=3-i。2.参考答案：3-4i解析：点A对应的复数是3+4i，其关于实轴对称的点的虚部取相反数，因此对应的复数是3-4i。3.参考答案：2解析：α²=(1+i)²=1²+2i+(-1)²=1+2i-1=2i，因此α²的虚部是2。4.参考答案：√5解析：β的共轭复数β̄=1+2i，其模长|β̄|=√(1²+(2)²)=√(1+4)=√5。5.参考答案：-2解析：方程x²+2x+5=0的两个根为x₁,x₂，根据韦达定理x₁+x₂=-b/a=-2/1=-2，因此两个根的实部之和是-2。6.参考答案：1,-1解析：由γ•(1+i)=2i，得(a+bi)(1+i)=2i，展开得a+ai+bi+b(-1)=2i，即(a-b)+(a+b)i=0+2i，因此a-b=0且a+b=2，解得a=1,b=-1。7.参考答案：-2-3i解析：向量对应的复数是-1+2i，逆时针旋转90°后对应的复数是-2i-1=-2-3i。8.参考答案：13解析：|δ|²=|2-3i|²=2²+(-3)²=4+9=13。9.参考答案：2解析：μ•μ̄=(1+i)(1-i)=1²-i²=1-(-1)=2。10.参考答案：(3,-4)解析：复数ν=3+4i对应的点在复平面内的坐标是(3,4)，该点关于原点对称的点的坐标是(3,-4)。三、判断题1.参考答案：√解析：复数z=a+bi在复平面上对应的点为(a,b)，该点与原点之间的距离即为复数z的模|z|，根据两点间距离公式可得|z|=√(a²+b²)，这正是向量(a,b)的长度，因此该说法正确。2.参考答案：×解析：设复数z=a+bi，则其共轭复数为z̄=a-bi，z-z̄=(a+bi)-(a-bi)=2bi。当b=0时，z-z̄=0是实数而非纯虚数，因此该说法错误。3.参考答案：×解析：满足z²=-1的复数z有两个解，即z=i和z=-i，因为i²=-1且(-i)²=(-1)²•i²=-1，所以该说法错误。4.参考答案：√解析：实数集R可以看作是复数集C的一个子集，其中所有复数的虚部b=0，即形如a+0i的复数，因此R⊂C且R不是C的真子集，该说法正确。5.参考答案：×解析：方程x²+1=0的解为x=±√(-1)，即x=±i，而i不是实数，因此该方程在实数范围内无解，该说法错误。6.参考答案：√解析：根据复数的定义，任何复数都可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，即使b=0时，a+bi仍为实数，因此该说法正确。7.参考答案：√解析：z₁+z₂=(2+3i)+(1-i)=(2+1)+(3i-i)=3+2i，计算结果与题干所述一致，因此该说法正确。8.参考答案：×解析：复数z=-3i的辐角为3π/2（或-π/2），其辐角主值是π/2+kπ（k∈Z），当k=0时主值为3π/2，当k=-1时主值为π/2，因此π/2不是z=-3i的辐角主值，该说法错误。9.参考答案：√解析：根据复数相等的定义，两个复数z₁=a₁+b₁i与z₂=a₂+b₂i相等的充要条件是a₁=a₂且b₁=b₂，即实部相等且虚部相等，因此该说法正确。10.参考答案：×解析：设z=r(cosθ+isinθ)，则z²=r²(cos2θ+isin2θ)。若z²是实数，则sin2θ=0，即2θ=kπ（k∈Z），θ=kπ/2。当k=0时z=r，当k=1时z=r(cosπ+isinπ)=-r，当k=2时z=r(cosπ+isinπ)=-r，当k=3时z=r(cos3π/2+isin3π/2)=ri，当k=4时z=r(cos2π+isin2π)=r，因此z可以是r或-r，不一定是2或-2，该说法错误。四、简答题1.参考答案：复数由实部和虚部组成，一般表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。复数可以在复平面上表示，实部作为横坐标，虚部作为纵坐标。解析：本题考查复数的基本概念。复数是高中数学的重要内容，由实部和虚部构成，虚数单位i是核心概念。复数的表示方法有代数式a+bi和几何式（a,b），后者对应复平面上的点。解析需展开说明实部、虚部、虚数单位i的定义及其关系，强调复数的双重表示形式及其意义，体现对复数基本结构的理解。2.参考答案：两个复数a+bi和c+di相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等，即a=c且b=d。解析：本题考查复数相等的条件。复数相等的判定是复数运算的基础，其核心在于实部和虚部的对应相等。解析需从复数的代数结构入手，说明a+bi=c+di等价于a=c且b=d，强调这是复数比较的唯一标准，避免与实数比较混淆。排除错误理解如模相等或辐角相等等干扰项。3.参考答案：复数加法满足交换律a+bi=b+ai，乘法也满足交换律a(bi)=bi(a)，加法满足结合律(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，乘法也满足结合律(a+bi)((c+di)+(e+fi))=a(bi+cj+df+ei)。解析：本题考查复数运算律。复数运算律与实数类似但需特别验证i²=-1的影响。解析需分别对加法和乘法给出交换律和结合律的证明，强调i²=-1在乘法结合律中的作用，通过具体计算展示运算律的适用性，指出复数运算律是复数代数结构的基础。4.参考答案：纯虚数是实部为0且虚部不为0的复数，即形如bi(b≠0)的复数。其特征是它在复平面上位于虚轴上，不与原点重合。解析：本题考查纯虚数的定义和特征。纯虚数是复数分类的重要概念，其定义a=0且b≠0是关键。解析需说明纯虚数与实数、零复数的区别，强调虚部不为0的条件，结合复平面说明其几何位置，体现对复数分类的理解。5.参考答案：复数z=a+bi的模定义为|z|=\sqrt{a²+b²}，几何意义是复数在复平面上对应的点（a,b）到原点的距离。解析：本题考查复数模的概念和几何意义。复数模是复数的重要属性，其定义源于勾股定理。解析需从代数式\sqrt{a²+b²}推导出模的几何意义，强调模的非负性，结合复平面说明模与点距离的关系，体现代数与几何的统一。6.参考答案：复数乘法的几何意义是：将一个复数乘以另一个非零复数，相当于将原复数对应的向量按辐角（旋转角）乘以另一个复数的辐角，模（长度）乘以另一个复数的模。解析：本题考查复数乘法的几何意义。复数乘法具有丰富的几何内涵，是复数应用的桥梁。解析需说明模的乘法对应长度伸缩，辐角的加法对应旋转，通过向量旋转和伸缩的几何解释，强调复数乘法的变换性质，体现对复数运算深层意义的理解。7.参考答案：复数除法运算是通过乘以除数的共轭复数来实现的，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c²+d²)，结果形式为x+yi，其中x=(ac+bd)/(c²+d²)，y=(bc-ad)/(c²+d²)。解析：本题考查复数除法的运算规则。复数除法是乘法的逆运算，其关键在于引入共轭复数。解析需详细说明除法转化为乘法的过程，通过分子分母同时乘以共轭复数，强调分母实数化的目的，给出实部和虚部的具体计算公式，体现运算的严谨性。8.参考答案：复数在解决实际问题中的应用举例包括：交流电电路中的阻抗计算，利用复数表示旋转和振荡，计算机图形学中的旋转变换，控制理论中的系统稳定性分析，量子力学中的波函数描述等。解析：本题考查复数在实际问题中的应用。复数的应用广泛，是数学工具性的体现。解析需列举不同领域的典型应用，如交流电中的复阻抗，强调复数如何简化计算；通过旋转变换说明复数在计算机图形学中的作用；结合控制理论和量子力学，展示复数在科学前沿的应用，体现复数模型的普适性。五、应用题1.参考答案：-3-4i解析：z^2-2z=(1+2i)^2-2(1+2i)=1+4i-4-2-4i=-3-4i。先展开z^2=(1+2i)^2，再代入计算，最后合并实部和虚部。2.参考答案：实部为1/5，虚部为7/5解析：w=(1+3i)/(2-i)=(1+3i)(2+i)/(2-i)(2+i)=(2+i+6i-3)/(4+1)=(-1+7i)/5=-1/5+7i/5。所以w的实部为-1/5，虚部为7/5。注意分母有理化是关键步骤。3.参考答案：√10解析：向量AB的模长|AB|=|(-1+2i)-(3-i)|=|-4+3i|=√((-4)^2+3^2)=√(16+9)=√25=5。根据复数减法运算和模长公式计算。4.参考答案：a=2，b=3解析：u^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=5-12i。由复数相等的条件得：a^2-b^2=5且2ab=-