2026年北京市高二数学下册期末考试试卷及答案

2026年北京市高二数学下册期末考试试卷及答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知函数f(x)=2x32026年北京中轴线申遗成功两周年之际，某中学组织高二学生开展中轴线上4处遗产点（永定门、正阳门、故宫、钟鼓楼）的志愿讲解活动，每名学生从4个点位中选择1个，则甲、乙两名学生选择不同点位的选法总数为（）A.4B.12C.16D.24(x−2x)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(已知函数f(x)=x3−3ax+1在区间(1,+某班级安排6名同学在周一到周五的5天中参加校园劳动，要求每天至少1人，每人只参加1天，则不同的安排方法种数为（）A.1200B.1800C.3600D.7200下列关于成对数据统计分析的说法中，正确的是（）A.相关系数r越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱B.决定系数R2越接近0，回归模型的拟合效果越好

C.D.利用最小二乘法得到的经验回归直线一定经过样本点中心(x,y)

8.已知函数f(x)=ex−ax有两个零点，则实数a的取值范围是（）

下列求导运算正确的是（）A.(e2x)′=2e2x

B.(xsinx)′=sinx+xcosx

C.(ln1x)′=−1A.甲以2:0获胜的概率为0.36B.比赛恰好打满3局的概率为0.48C.甲最终获胜的概率为0.648D.已知甲第一局获胜，则甲最终获胜的概率为0.84三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）从5名男生和4名女生中选出3人参加社区服务，要求至少有1名女生，则不同的选法种数为______（用数字作答）。已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=3,D(X)=2，则p=______。若直线y=kx是曲线y=lnx+1的切线，则实数k=______。定义在(0,+)上的函数f(x)满足f′(x)<16.（本小题12分）已知在(3x−（2）求展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）；（3）求展开式中系数绝对值最大的项。17.（本小题12分）2026年北京市开展“书香京城”系列阅读推广活动，某书店统计了到店读者的单次消费金额，发现消费金额X（单位：元）近似服从正态分布N(80,σ²)，且P(X≤100)=0.8。（1）求P(60<X<100)的值；（2）现从到店读者中随机抽取3人进行阅读习惯访谈，记抽到的读者中单次消费金额在(60,100)内的人数为Y，求Y的分布列、数学期望和方差。18.（本小题12分）某文创店为了提高中轴线主题文创产品的销量，对产品进行升级改造后，记录了连续5天的线下宣传投入x（单位：百元）和销量y（单位：件）的数据如下表：x（百元）23456y（件）2030405060（1）根据给定数据，求y关于x的经验回归方程y=bx参考公式：b=i=1n(xi−（2）求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。20.（本小题12分）北京某中学高二1班从包括甲、乙在内的8名同学中选出4人参加中轴线遗产点的志愿讲解活动，要求4人被分配到永定门、正阳门、故宫、钟鼓楼4个点位，每个点位安排1人。（1）若甲、乙两人都被选中，求共有多少种不同的安排方法；（2）若甲、乙两人不能同时被选中，求共有多少种不同的安排方法；（3）求甲、乙两人中恰好有1人被选中，且甲、乙都不被分配到故宫点位的概率。21.（本小题12分）已知函数f(x)（2）若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：当x>0时，ex>参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.B解析：由基本初等函数求导法则得f′(x)3.B解析：展开式通项为Tk+1=C6kx6−k⋅(−2x)k=C6k(−2)kx6−3k2，令6−二、多项选择题（每小题6分，共18分，全部选对6分，部分选对3分，错选0分）9.BCD解析：由复合函数求导法则，(e2x)′=2e2x，A错误；由乘积求导法则，(xsinx)’=sinx+xcosx，B正确；ln1x=−lnx，导数为−1x，C正确；由幂函数求导法则，(x−1x)′=1+1x12.74解析：从9人中选3人的总选法为C93=84，选出的3人全为男生的选法为C53=10，故至少1名女生的选法为总选法减去全男生选法，即84-10=74。

13.13解析：由二项分布的期望与方差公式，np=3，np(1-p)=2，将np=3代入第二个式子得3(1-p)=2，解得1-p=2/3，故p=1/3。

14.1解析：设切点坐标为(x0,lnx0+1)，曲线在该点的切线斜率为k=f′(x0)=116.（12分）解：展开式通项为Tk+1=Cnk(3x)n−k⋅k=2时，T3=C102(−3)2x2=45×9x2=405x2；

k=5时，T6解：（1）已知X~N(80,σ²)，正态密度曲线关于对称轴x=80对称，由P(X≤100)=0.8可得P(X>100)=1-0.8=0.2。（3分）

由对称性可知P(X<60)=P(X>100)=0.2，因此P(60<X<100)=1-P(X≤60)-P(X≥100)=1-0.2-0.2=0.6。（6分）

（2）由题意，每名读者单次消费金额落在(60,100)内的概率为0.6，独立抽取3人，故Y服从二项分布B(3,0.6)，Y的可能取值为0,1,2,3。依次计算概率：P(Y=0)=C30×0.60×0.43=0.064；

P(Y=1)=C3Y0123P0.0640.2880.4320.216由二项分布的期望与方差公式，E(Y)=np=3×0.6=1.8，D(Y)=np(1-p)=3×0.6×0.4=0.72。（12分）18.（12分）解：（1）首先计算样本均值：x=2+3+4+5+65=4，y=20+30+40+50+60解：（1）函数定义域为全体实数，求导得f′(x故f(x)的单调递增区间为(−∞,1)f(0)=1，f(1)=13−32+2+1=116解：（1）甲、乙两人都被选中时，需从剩余6名同学中再选2人，选法为C62=15种，将选出的4人全排列分配到4个点位，共A44=24种安排方式，因此总安排方法为15×24=360种。（4分）

（2）从8名同学中选4人分配到4个点位的总方法数为排列数A84=8×7×6×5=解：（1）函数定义域为全体实数，求导得f’(x)=e^x-a。当a≤0时，ex>0，故f’(x)=ex-a>0恒成立，f(x)在R上单调递增；当a>0时，令f’(x)=0解得x=lna，当x∈(-∞,lna)时f’(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(lna,+∞)时f’(x)>0，f(x)单调递增。综上，当a≤0时f(x)在R上单调递增；当a>0时f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增。（4分）（2）当a≤0时，若x→-∞，ex→0，-ax→-∞（a<0时x负、-a正，故-ax随x→-∞趋向负无穷；a=0时f(x)=ex-1，x<0时f(x)<0），不满足f(x)≥0对任意x∈R恒成立的条件。当a>0时，f(x)在x=lna处取得最小值f(lna)=a-alna-1，要使f(x)≥0恒成立，需最小值a-alna-1≥0。令g(a)=a-alna-1（a>0），求导得g’(a)=-lna，当0<a<1时g’(a)>0，g(a)单调递增；a>1时g’(a)<0，g(a)单调递减，故g(a)在a=1处取得最大值g(1)=0，因此g(a)≥0的解为a=1，即满足条件的实数a的值为1。（8分）（3）证明：由（2）可知当a=1时，f(x)=e^x-x-1≥0，即e^x≥x+1，当且仅当x=0时等号成立。构造函数h(x)=e^x-x²-1（x>0），求导得h’(x)=e^x-2x，令φ(x)=e^x-2x，求导得φ’(x)=e^x-2，令φ’(x)=0解得x=ln2。当0