2026学年随机过程期末考试试卷（含详细答案解析）

2026学年随机过程期末考试试卷（含详细答案解析）课程名称：随机过程适用专业：统计学、应用数学、信息与计算科学、金融工程考试时长：120分钟总分：100分考试说明：本试卷共五大题型，满分100分；允许使用计算器，禁止携带笔记、公式手册等资料。一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.设随机过程{X(t),t≥0}，若对任意n≥1、任意时刻t12.独立增量过程中，若初始值X(0)=0，且增量平稳、独立，则该过程最典型的两类代表是________与________。3.马尔可夫链的核心性质是________，即未来状态仅依赖当前状态，与过去历史无关。4.设齐次马尔可夫链一步转移概率矩阵为P，则n步转移概率矩阵P(n)=5.泊松过程{N(t),t≥0}参数为λ，则时间间隔Tn6.宽平稳随机过程需要满足的三个条件：均值为常数、________、________。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.下列过程中不属于独立增量过程的是（）A.标准布朗运动B.齐次泊松过程C.平稳白噪声过程D.维纳过程2.关于马尔可夫链常返态与暂态，下列说法正确的是（）A.有限状态马尔可夫链所有状态必为暂态B.不可约有限状态马尔可夫链所有状态均为常返态C.常返态的首返概率小于1D.暂态一定是周期态3.齐次泊松过程N(t)，强度λ=2，则E[N(3)]=（）A.2B.3C.6D.94.宽平稳过程的自相关函数仅与（）有关A.时间起点B.时间终点C.时间差D.绝对时刻5.布朗运动（维纳过程）不具备的性质是（）A.独立增量B.平稳增量C.处处可导D.连续样本轨道三、简答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）1.简述严平稳过程与宽平稳过程的区别与联系。2.简述齐次马尔可夫链遍历性的定义及实际意义。3.简述泊松过程的三个基本定义条件。四、计算题（本大题共3小题，第1题12分，第2题15分，第3题12分，共39分）1.泊松过程计算（12分）某路口车辆到达服从强度λ=4辆/分钟的齐次泊松过程{N(t),t≥0}。求：（1）2分钟内恰好到达6辆车的概率；（2）3分钟内至少到达2辆车的概率。2.马尔可夫链状态分析（15分）已知齐次马尔可夫链状态空间S={1,2,3}，一步转移概率矩阵：P（1）分析各状态的周期；（2）判断各状态为常返态或暂态；（3）判断该链是否可约、是否遍历。3.平稳过程数字特征计算（12分）设随机过程X(t)=Acos⁡(ω0t+Θ)验证该过程为宽平稳过程。五、证明题（本大题1小题，10分）证明：标准布朗运动{B(t),t≥0}满足平稳增量性质，即对任意h>0,t≥0，B(t+h)−B(t)的分布仅与h有关，与t无关。2026随机过程期末考试详细参考答案及解析一、填空题答案（每空1-2分）1.严平稳随机过程2.泊松过程、布朗运动（维纳过程）3.马尔可夫性（无后效性）4.P5.λ参数为的指数6.自相关函数仅与时间差有关、二阶矩有限二、选择题答案1.C 2.B 3.C 4.C 5.C解析简要说明：第2题：有限不可约马氏链必全为常返态；第5题：布朗运动样本轨道连续但处处不可导。三、简答题标准答案1.严平稳与宽平稳的区别与联系区别：严平稳要求过程的任意有限维分布函数不随时间平移改变，是极强的分布平稳性；宽平稳仅要求一阶矩为常数、二阶矩有限、自相关仅与时间差相关，仅约束数字特征平稳。联系：严平稳且二阶矩有限的过程一定是宽平稳过程；宽平稳过程不一定是严平稳过程。高斯过程中，宽平稳等价于严平稳。2.马氏链遍历性定义及意义定义：若齐次马尔可夫链存在与初始状态无关的极限分布，且极限分布为平稳分布，则称链具有遍历性。意义：系统长期演化后，状态分布趋于稳定，不再随时间变化，可通过平稳分布预测系统长期状态概率，是稳态分析、随机系统稳定性分析的核心依据。3.泊松过程基本条件（1）初始条件：N(0)=0；（2）独立增量性：不相交时间段内的计数增量相互独立；（3）平稳稀疏性：充分小区间内至多发生一个事件，且事件发生概率与区间长度成正比。四、计算题详细解析1.泊松过程计算泊松过程基本结论：N(t)∼P(λt)，概率公式：P(N(t)=k)=已知λ=4（1）t=2，λt=8P(N(2)=6)=（2）t=3，λt=12P(N(3)≥2)=1−P(N(3)=0)−P(N(3)=1)=1−2.马尔可夫链状态分析（1）状态周期：状态1、2：可一步返回自身，周期d=1，为非周期态；状态3：只能自身转移，恒返回，周期d=1。（2）常返/暂态判断：状态3：吸收态，一旦进入永不离开，首返概率为1，为正常返态；状态1、2：可在{1,2}间互通，无法到达状态3，有限闭集内互通状态均为常返态。（3）可约性与遍历性：状态空间可拆分为闭集{1,2}、吸收态{3}，链可约；存在多个正常返类，无全局唯一平稳分布，不具备遍历性。3.宽平稳过程验证已知X(t)=A（1）均值函数：mX（2）二阶矩有限：E[（3）自相关函数：R仅与时间差τ有关，与绝对时刻t无关。满足宽平稳三条件，故该过程为宽平稳随机过程。五、证明题标准答案证明：标准布朗运动平稳增量性根据标准布朗运动定义：1.B(0)=0；2.样本轨道连续；3.任意增量B(t+h)−B(t)∼N(0,h)。对任意t≥0,h>0，增量B(t+h)−B(t)服从正态分布，均值为0，方差为h。该增量的分布参数仅由时间长度h唯一确定，与起始时刻t的取值无关。因此，标准布朗运动的增量分布仅依赖时间间隔，满足平稳增