人教版数学八年级下册 第20章 勾股定理·提升卷 试卷 含答案

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第二十章勾股定理·能力提升建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，252．在中，，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知的三个内角所对的三条边长分别为，则下列条件中，不能确定是直角三角形的是（）A． B．C． D．4．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1．手指沿折线顺序解锁，则按此手势解锁一次手指滑过的路径长为（

）A．5 B． C． D．65．下列选项中，正确的是（

）A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形C．的三边分别为，若，则是直角D．在中，若，则是直角三角形6．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（

）A．18 B．20 C．24 D．487．《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为尺，则下列方程正确的是（）A． B．C． D．8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的面积为10 D．点A到直线的距离是29．如图1所示，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，此时绳长即为适合自己的绳长．将图1抽象成几何图形如图2所示，已知在中，，过点作于点，若米，米，则的长为（

）A．米 B．米 C．米 D．米10．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中，那么的长为（

）A．2025 B． C． D．2024二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，在中，，，垂足为，，，则．12．如图，在中，，，，则的长为．13．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则．14．如图，在四边形中，，分别以四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为．若，则．15．定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为．如果中，，，那么边的高比系数．16．如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为．解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．在中，，，，．(1)已知，，求．(2)已知，，求．18．已知，，是的三边长，且满足，．(1)试求，，的值；(2)判断的形状．19．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．(1)求的距离；(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据）20．如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且．(1)求的度数；(2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，通过计算说明道路被监控到的最大范围为几千米．21．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方．(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是．（填字母）(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度．(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计22．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．(1)当秒时，求的长（不要求化简）；(2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？(3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．(1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理：(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米?(3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程．24．【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为【尝试应用】如图2，在中，，，（1）边的长为______，边上的高的值为______；（2）求的边的“中偏度值”；【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且（3）请直接写出的边BC的“中偏度值”．25．如图，在长方形中，．(1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长；(2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积；(3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长．

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第二十章勾股定理·能力提升（参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案DBDCBCDCAB二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．12．/13．/度14．15．16．或三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．【详解】（1）解：，，，，．.............3分（2）解：，，，，．.............6分18．【详解】（1）解：设，则，，，由，得：，解得：，∴，，；.............3分（2）解：∵，即，∴是直角三角形．.............6分19．【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得，的距离为米；.............3分（2）解：大巴车的速度为，则，，大巴车超速了．.............6分20．【详解】（1）解：连接，，，是等腰直角三角形，，，，在中，，是直角三角形，，；.............3分（2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质，得：，，由（1）知，，，是等腰直角三角形，，∴，，，被监控到的道路长度为．.............6分21．【详解】（1）解：∵两点之间线段最短，故选：A；.............2分（2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得．答：所需金属丝的最短长度为；............5分（3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则．所以；根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程．在中，，根据勾股定理，得：．所以最短路程为．.............8分22．【详解】（1）解：根据题意，得，，当秒时，，，∴，∵，∴；∴的长为；.............2分（2）解：根据题意，，，∴，∵是等腰三角形，，∴，∴，解得，∴出发时间为秒时，是等腰三角形；.............5分（3）解：∵，，，∴，∵沿方向运动，速度为每秒，且点Q在边上，∴，∵是等腰三角形，∴下面分3种情况讨论：①当时，此时，∴，解得；②当时，则，∴，∴，∴，∴，∴，解得；③当时，如图，过点B作于点G，则，，∴，∴，∴，解得；∴综上所述，能使成为等腰三角形的运动时间为9秒或8.25秒或9.9秒．.............8分23．【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为，，即；.............2分（2）设，，在中，，即，解得，即（千米），（千米），答：新路比原路少千米；.............5分（3）设，则，在中，，在中，，，即，解得，．.............8分24．【详解】解：（1）在中，，，，，设BC边上的高为h，，，故答案为：10，；.............4分（2）作的中线，高线，如图，由（1）知，，，为斜边上的中线，，，，则的边BC的“中偏度值”为；.............8分（3）①当在外部时，作的中线，如图，，，，，，，，为的中线，，，即点E到的距离为2，则的边BC的“中偏度值”为；②当在内部时，作的中线，如图，，，，，，，，为的中线，，，即点E到的距离为7，则的边的“中偏度值”为；综上所述，的边的“中偏度值”为6或.........