不确定下的均值方差分析课件

不確定下的

均值-方差分析證券組合選擇問題投資過程的兩個重要任務：證券分析和市場分析：評估所有可能的投資工具的風險和期望回報率特性給定證券市場，投資者確定最優的證券組合：從可行的投資組合中確定最優的風險-回報機會，然後決定最優的證券組合選擇的目標：使得均值-標準差平面上無差異曲線的效用盡可能的大選擇的對象：均值-標準差平面上的可行集證券組合在均值-標準差平面上的顯示通過分析資本市場，一個中心的事實是，風險資產的回報平均來說高於無風險資產的回報，而且回報越高，風險越大。

Markowitznotesthatthiswouldgenerallybeanunwisedecisionbecausethetypicalinvestor,althoughwanting“returnstobehigh”,alsowants“returnstobeascertainaspossible.”Thismeansthattheinvestor,inseekingtobothmaximizeexpectedreturnandminimizeuncertainty,hastwoconflictingobjectivesthatmustbebalancedagainsteachotherwhenmakingthepurchasingdecisionatt=0.Oneinterestingconsequenceofhavingthesetwoconflictingobjectivesisthattheinvestorshoulddiversifybypurchasingnotjustonesecuritybutseveral.

一期投資模型：投資者在期初投資，在期末獲得回報。一期模型是對現實的一種近似，如對零息債券、歐式期權的投資。雖然許多問題不是一期模型，但作為一種簡化，對一期模型的分析是分析多期模型的基礎。在經濟學中，通常有三種方法用來處理不確定性問題：（1）效用函數分析；（2）均值-方差分析；（3）套利分析。均衡定價：供給等於需求均值-方差分析套利定價雖然建立在期望效用最大化基礎之上的資產定價和消費選擇是一種非常廣泛和完美的方法，但是，在實際中，完全刻畫一個人在所有不同狀態下的效用幾乎是不可能的，所以這種方法缺乏實際的可操作性。Markowitz(1952)提出的資產選擇的均值-方差模型。儘管均值-方差不能用來完全刻畫個體的偏好，但由於它的靈活性以及經驗上的可檢驗性，均值-方差分析得到了廣泛的應用。

1.一些基本概念回報率以回報率而不是價格作為研究對象。由於期末的收益是不確定的，所以回報率為隨機變數。價格與回報率之間是一一決定的關係，給定價格，就可算出回報率，反過來，給出了回報率，就可決定價格。在以下的章節裏，通常以回報率為研究對象，並假設，字母（或者字母上加一波浪線）表示隨機變數，字母上加一橫線表示期望值。由於違約和通貨膨脹等不確定因素，證券市場並不存在絕對無風險的證券。我們只是把那些風險相對小的證券視為無風險的，而我們能夠進行投資的絕大多數證券是有風險的。風險利用回報率的方差或者標準差來度量期望回報率利用回報率的期望值來刻畫收益率證券組合的回報率假設有種可得的不同資產，我們把初始財富分成份，投資到這種資產上，設為投資在第i

種資產上的財富,；如果以比例表示，則為，為投資在第

i種資產上的財富的份額，，以表示第i種資產的回報率，則到期末,由i產生的收益為或者，從而該證券組合的總收益為，該證券組合的回報率為例子：表4-1：計算證券組合的期望回報率（1）證券和證券組合的值證券在證券組合每股的初始在證券組合初始名稱

中的股數

市場價格

總投資

市場價值中的份額

A 100 40元 4,000元 4,000/17,000=0.2325 B 200 35元 7,000元 7,000/17,200=0.4070

C 100 62元 6,200元 6,200/17,200=0.3605

證券組合的初始市場價值=17,200元

總的份額=1.0000

在表4-1（1）中，假設投資者投資的期間為一期，投資的初始財富為17200元，投資者選擇A、B、C三種股票進行投資。投資者估計它們的期望回報率分別為16.2%，24.6%，22.8%。這等價於，投資者估計三種股票的期末價格分別為46.48元[因為(46.48-40)/40=16.2%]，43.61元[因為43.61-35/35=24.6%]，76.14元[因為76.14-62/62=22.8%]。證券組合期望回報率有幾種計算方式，每種方式得到相同的結果。（2）利用期末價格計算證券組合的期望回報率證券在證券組合每股的期末名稱 中的股數預期價值總的期末預期價值

A 100 46.48元 46.48元

100=4,648元 B 200 43.61元 43.61元

200=8,722元 C 100 76.14元 76.14元

100=7,614元

證券組合的期末預期價值=20,984元 證券組合的期望回報率=(20,984元-17,200元)/17,200元=22.00% 在表4-1（2）中，先計算證券組合的期末期望價值，再利用計算回報率的公式計算回報率，即，從證券組合的期末期望價值中減去投資的初始財富，然後用去除這個差。儘管這個例子裏只有三種證券，但這種方法可以推廣到多種證券。（3）利用證券的期望回報率計算證券組合的期望回報率證券在證券組合初證券的在證券組合的期望名稱 始價值中份額期望收益率 回報率所起的作用 A 0.232516.2%0.2325

16.2%=3.77% B 0.407024.6%0.4070

24.6%=10.01% C 0.360522.850.3605

22.8%=8.22%

證券組合的期望回報率==22.00% 在表4-1（3）中，把證券組合期望回報率表示成各個股票期望回報率的加權和，這裏的權是各種股票在證券組合中的相對價值。正如我們在上表中看到的，我們既可以用證券組合中各種證券的數量來表示證券組合，也可以用證券組合中各種證券所占證券組合初始價值的份額來表示證券組合。在上表中，我們既可用（100，200，100）來表示該證券組合，也可用（0.2325，0.4070，0.3605）來表示。證券組合回報率的方差和標準差方差標準差例子：對於前面的A，B，C三種證券這裏表示證券和之間的協方差。假設A，B，C三種證券的方差-協方差矩陣為則證券組合的方差為證券形成地組合的回報率標準差不大於單個證券回報率標準差的加權平均。分散化(Diversification)只要，則兩個證券形成地證券組合回報率的標準差小於單個證券回報率標準差的加權平均。只要證券相互之間地相關係數小於1，則證券形成地證券組合回報率的標準差小於單個證券回報率標準差的加權平均。兩個證券組合回報率之間的協方差證券組合1：證券組合2：證券組合1、2之間的協方差為2.兩個假設假設1：所有投資者都是風險厭惡者，且都是非滿足者；投資者投資時只關心證券組合收益率的期望值和標準差，即，投資者首先估計每個證券組合回報率的期望值和標準差，再以這兩個參數為參照物選擇最優的證券組合，即，投資者的效用函數具有如下形式：

圖4-1：風險回避者的無差異曲線假設2：所有風險厭惡者的無差異曲線如圖1所示，在均值-標準差平面上，為嚴格增的凸函數，並且，越在西北方向的無差異曲線，其效用越高。3.不具有無風險證券的資本市場中的證券組合選擇假設在無摩擦市場上存在

N

種可交易風險證券，所有資產回報率的期望和方差均有限且期望互不相等。這N

種可交易風險證券的回報率以向量表示，表示期望值向量。而這N

種可交易風險證券回報率的協方差矩陣以表示證券組合的期望收益率和方差給定證券組合期望回報率方差當證券的種類越來越多時，證券組合回報率的方差的大小越來越依賴於證券之間的協方差而不是證券的方差。3.1可行集可行集由N種可交易風險證券中的任意K種形成的證券組合構成的集合稱為可行集。在均值-標準差平面上來刻畫可行集。例子：兩種證券形成的可行集假設證券1的期望回報率，標準差為；證券2的的期望回報率，標準差為。設由證券1、2形成的證券組合分別有證券組合的期望回報率假設證券1、2收益率的相關係數為，則證券組合回報率的標準差為

每個證券組合回報率的標準差的上、下界證券組合D：上界在=1時達到，下界在=-1時達到例子；=0.5，0.1證券組合收益率的標準差的上下界證券組合收益率的標準差的上下界下界上界下界分散化導致風險縮小。實際的可行集——一維雙曲線=-1=1=0=-0.1可行集的方程假設=0，由1、2兩種證券形成的可行集在均值-標準差平面上的表示。證券組合的期望回報率標準差為通過找出與之間的關係可行集的方程得到為一雙曲線最小方差證券組合MVP(minimum-varianceportfolio)三種以上證券形成的可行集可行集的兩個重要性質（1）只要N不小於3，可行集對應於均值-標方差平面上的區域為二維的。（2）可行集的左邊向左凸。可行集三種證券形成可行集的例子三點形成地區域3.2有效集定理有效集定理投資者從滿足如下條件的證券組合可行集中選擇他的最優證券組合：（1）對給定的回報，風險水準最小（2）對給定的風險水準，回報最大；滿足上面兩個條件的證券組合集稱為有效集。下麵分兩步把有效集定理應用到可行集上，得到投資者最優的可投資集。3.3把有效集定理第一條應用到可行集給定期望回報率，找方差最小的證券組合

證券組合前沿定義：一個證券組合稱為前沿證券組合，如果它在所有具有相同期望回報率的證券組合中具有最小方差。定義：所有前沿證券組合構成的集合稱為證券組合前沿。證券組合前沿的性質性質1：整個證券組合前沿可以由任何兩個前沿證券組合生成。性質2：前沿證券組合的任何凸組合仍然在證券組合前沿上。證券組合前沿的方程任意前沿證券組合的回報率的期望和標準差滿足如下方程：在期望-標準差平面上的證券組合前沿單個證券與證券組合在均值-標準差平面上的位置3.4把有效集定理的第二條應用到證券組合前沿在證券組合前沿上，給定風險，找期望回報率最高的證券組合。有效集和非有效集最小方差證券組合定義：比最小方差證券組合回報高的前沿證券組合稱為有效證券組合，既不是最小方差證券組合又不是有效證券組合的前沿證券組合稱為非有效證券組合。問題：先利用第二條，再利用第一條，得到的有效集是否一樣？3.5只有兩種證券時的特例假設市場上只存在兩種證券A和B。A具有較高的期望回報率和較高的標準差。相關係數3.5只有兩種證券時的特例

可行集、證券組合前沿和有效集期望回報率

A

MVPB

標準差不同相關係數時的證券組合前沿相關係數越小，曲線彎曲越厲害。極限狀況每對證券只有一個相關係數。當只有兩種證券時，可行集與證券組合前沿一致問題：如果證券A

的期望回報率高於證券B

的期望回報率，而標準差小於B

的標準差，這時的可行集、證券組合前沿和有效集是什麼？4.具有無風險證券的資本市場中的證券組合選擇

買賣債券只不過是手段，而實質是存在無風險借貸的市場。是否存在真正意義上的無風險借貸的市場indexbond假設在無摩擦市場上存在N

種可交易風險證券和一種無風險證券。以表示無風險利率。步驟首先利用例子分三步討論：只允許購買無風險債券只允許賣出無風險債券可以自由交易其次，推廣到一般情形4.1只允許購買無風險債券例子：前面的A，B，C三種證券期望回報率向量為把無風險債券當作第4種證券，無風險利率為方差-協方差矩陣為首先考慮證券A和證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集5種證券組合證券組合的期望回報率和標準差期望回報率標準差由證券A和證券4構成的5種證券組合的期望回報率和標準差由證券A和證券4構成的5種證券組合在均值-標準差平面上的圖示其次，考慮一個證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集。證券組合5由證券A、C構成證券組合5的期望回報率、標準差為證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集證券組合5從A變到C證券A、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集證券A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集最後考慮由A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集投資者最優證券組合選擇部分投資在無風險債券上全部投資在風險證券上4.2只允許出售無風險債券首先考慮證券A和證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集4種證券組合由證券A和證券4構成的4種證券組合的期望回報率和標準差由證券A和證券4構成的9種證券組合在均值-標準差平面上的圖示其次，考慮一個證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集。證券組合5由證券A、C構成證券組合5的期望回報率、標準差為證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集證券組合5從A變到C證券A、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集證券A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集最後考慮由A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集投資者最優證券組合選擇賣出無風險債券全部投資在風險證券上4.3無限制的借貸如何求這個切點4.4推廣到一般情形N種風險資產形成的證券組合前沿方程N種風險資產和無風險資產形成的證券組合前沿N種風險資產和無風險資產形成的證券組合前沿方程PassivestrategiesA